Численные методы вычисления интегралов
методическая разработка (информатика и икт, 11 класс) по теме

Численные методы вычисления интегралов

Из истории вопроса.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объёмов произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к глубокой древности. Термин «интеграл» (от латинского integer – целый, т.е. целая, вся площадь) был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли и одобрен, хотя и неохотно, Лейбницем.

К понятию определённого интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики. Обозначение для определённого интеграла ввёл Ж. Фурье - . Числа a и b называют соответственно нижним и верхним пределами интеграла.

В своём сочинении «Квадратура параболы» Архимед пользуется методом исчерпывания для вычисления площади сектора параболы, этот же метод или его варианты он применяет для определения площадей и объёмов других фигур. Продолжая развивать идеи своих предшественников, Архимед определил длину окружности и площадь круга, объёмов других фигур. При этом Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII веке интегральное счисление. В терминологии  Архимеда «прямоугольный коноид» - это параболоид вращения, «тупоугольный коноид» -  одна полость двуполостного гиперболоида вращения, «сфероид» - эллипсоид вращения. В XIX предложении своего произведения «О коноидах и сфероидах» Архимед доказывает следующую лемму. « Если дан сегмент какого – нибудь из коноидов, отсеченный  перпендикулярной к оси плоскостью, или же сегмент какого – нибудь из сфероидов, не больший половины этого сфероида и точно так же отсеченный, то можно вписать в него телесную фигуру и описать около него другую, состоящую из имеющих равную высоту цилиндров, и притом так, чтобы описанная фигура было больше вписанной на величину, меньшую любой наперед заданной телесной величины».

Конечно, у Архимеда нет еще общих понятий предела и интеграла, нет и общего алгоритма интегрального исчисления. Приведенные и другие его выкладки всегда связаны с решением конкретных геометрических задач без указаний на то, что в основе всех их лежит один и тот же общий прием арифметического суммирования сколь угодно малых частей фигуры.

Известно, что Архимед в некоторых своих работах вычислял площади фигур и объемы тел, вписывая и описывая около них ступенчатые фигуры и вводя по существу понятие верхних и нижних интегральных сумм.

Однако Архимед еще не выделял и ясно не применял общие понятия предела и интеграла, уже не говоря о том, что он решал каждую задачу отдельно, не владея общим алгоритмом, созданным лишь 2000 лет спустя. Для дальнейшего развития зачаточных интеграционных методов Архимеда необходимо было предварительно создать и развить новую алгебру с ее символикой, ввести понятия переменных, функции и т. д.

Первые значительные попытки развития интеграционных методов Архимеда, увенчавшиеся успехом, были предприняты в XVII в., когда, с одной стороны, были достигнуты значительные успехи в области алгебры, с другой – всё более интенсивно развивались экономика, естествознание и техника, требовавшие более общих и мощных математических методов изучения и вычисления величин.

Одним из первых видных ученых XVI I в., стремившихся к возрождению и развитию интеграционных методов Архимеда, был Иоганн Кеплер, открывший законы движения планет.

1612г. был для жителей австрийского города Ленца, в котором жил тогда Кеплер, и его окрестностей исключительно урожайным, особенно изобиловал виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определять их объемы. Этот вопрос как раз и  входил  в круг идей, которыми интересовался Кеплер. Так родилась его «Новая стереометрия винных бочек», вышедшая в свет в 1615г.

Кеплер вычислял площади плоских фигур и поверхностей и объемы тел, основываясь на идее разложение фигур и тел на бесконечное число бесконечно малых частей, которые он назвал « тончайшими кружочками» или  «частями крайне малой ширины»;  из этих мельчайших частей, суммированных им, он составляет фигуру, эквивалентную первоначальной, но площадь или объем которой ему известен.

Самыми видными учеными, подготавливавшими в XVII в. создание интегрального исчисления были Дж. Валлис, П. Ферма и  Б. Паскаль.

Методы Валлиса, изложенные в его «Арифметике бесконечных» (1655), развивались в след за методом неделимых Кавальери. Валлис говорит о Кавальери как о своем предшественнике и часто пользуется  терминологией метода неделимых. Однако Валлис продвинулся значительно дальше Кавальери. При решении целого ряда геометрических задач Валлис по существу вычислял определённые интегралы от степеней не только с натуральными, но и с целыми отрицательными  и дробными показателями, а также от некоторых других алгебраических функций; у Валлиса также впервые встречается в четком виде арифметизированный предельный переход. При этом Валлис исходит уже не из примитивного понятия всех линий. Он рассматривает площадь (определённый интеграл) как общий предел верхних и нижних интегральных сумм при описании и вписании ступенчатых фигур.

Он впервые разбил фигуру под кривой на малые плоскости, которые можно принять за прямоугольники. При этом, однако, он делил отрезок оси, основание криволинейной трапеции, не на части произвольной длинны, как это делаем мы, а на отрезки, образующие геометрическую прогрессию. Этот метод деления Ферма назвал логарифмическим.

Ещё более чётко понятие определённого интеграла выступает в трудах Б. Паскаля. Он впервые познакомился с неделимыми у Кавальери, о котором отзывался с большой похвалой. Однако, несмотря на то, что Паскаль пользовался термином « неделимые», он их понимает не так как Кавальери. «Сумма ординат» для Паскаля – это уже не все линии, а сумма неограниченного числа прямоугольников, сторонами каждого из которых служили ордината и маленькие равные отрезки абсцисс. Когда речь идёт о дуге окружности, вместо суммы ординат он употребляет также выражение «сумма синусов», понимая под синусами значения функции и умножая последние на приращение независимой переменной.

Паскаль вычислял и ряд других, более сложных интегралов и интегральных формул. Труды Паскаля означали существенный шаг вперед на пути к созданию анализа бесконечно малых. Достаточно упомянуть, что на рассмотренном выше треугольнике Лейбниц построил свое дифференциальное исчисление.   Этот треугольник, названный им характеристическим, по собственным словам Лейбница, «осенил его лучом нового света». Признавая огромные заслуги Паскаля, следует, однако, отметить его «слабость»: он не пользовался новой символической алгеброй и не производил алгебраических выкладок. Подобно древнегреческим математикам, он всё выражал словами. Вероятно, это обстоятельство явилось одной из причин, из-за которых Паскаль был лишён возможности создать тот новый общий алгоритм исчисления бесконечно малых, который открыли Ньютон и Лейбниц.

С основными достижениями математиками XVII в. Лейбниц познакомился в начале 70-х годов этого столетия, когда под влиянием голландского ученого Х. Гюйгенса изучил, кроме его работ, «Геометрию» Декарта, труды Кавальери, Валлиса, Паскаля и др. Два года спустя после опубликования мемуара 1684 г., первого печатного труда Лейбница по дифференциальному исчислению, в «Acta Eruditorum» появился новый его мемуар, названный им «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». Это была первая печатная работа по интегральному исчислению.

К основным понятиям и к алгоритму исчисления бесконечно малых Ньютон пришел в середине 60-х годов XVII в., когда двадцатилетний Лейбниц был студентом юридического факультета и математикой еще не занимался. В своем «Методе флюксий», составление которого Ньютон закончил в 1671г., автор формулирует основную проблему. Эта общая проблема содержит, в частности, задачу определения функции (называемой первообразной), зная её производную. Именно эта задача приводит к понятию неопределённого интеграла.

Многие задачи из механики и физики ведут к понятию первообразной функции и неопределенного интеграла, однако исторически, в частности у Ньютона, это понятие возникло из геометрии как задача квадратуры кривой.

Английский математик и педагог Томас Симпсон (1710-1761), сын ткача, самоучка, не получил специального математического образования. Благодаря своему трудолюбию, таланту и интересу к математике он настойчиво самостоятельно в совершенстве овладел дифференциальным и интегральным исчислением. В 33-летним возрасте Симпсон преподавателем математики он написал тракт о флюксиях. Книгу по теории вероятности и целый ряд очень ценных трудов, а также учебников и сборников задач по алгебре, геометрии и тригонометрии. Формула, носящая его имя, была опубликована в его «Математических рассуждениях на физические и аналитические темы» (1743). Фактически эта формула была им лишь вновь открыта. Он не знал, что ее содержание было до него известно Торричелли (1644), Грегори (1668), Ньютону (1676) и Котесу (1722).

Известно, что предыстория интегрального исчисления  восходит к глубокой древности, к временам Евдокса, Евклида и Архимеда (IV и III вв. до н.э.). В XVII в. до Ньютона и Лейбница в анализе тоже больше всего было сделано в области интегрального исчисления. Неделимые Кеплера и Кавальери, задачи на квадратуры и кубатуры подготовили почву для возникновения понятия определенного интеграла. Ферма, Паскаль Валлис и Барроу фактически вычислили ряд простейших интегралов. Значительно меньше было сделано до Ньютона и Лейбица в области дифференциального исчисления.

Фактически первые работы Ньютона  по математическому анализу относятся к 1665г., т. е. были выполнены  значительно раньше работ Лейбница, начало которых относится  к середине 70-х годов XVII в. Однако  официальным годом рождения дифференциального исчисления  был 1684г. В мае этого года была опубликована  первая печатная работа, которой излагаются  основные понятия  и методы  дифференциального исчисления. Это была знаменитая статья Лейбница « Nova methodus pro maximis et mihimis…», опубликованная Лейпцигском журнале «Acta Eryditorum» от 1684г.

В этой статье, очень сжатой  и малодоступной, Лейбниц называет  свой «новый метод» дифференциальным исчислением и вводит специальный знак d для выражения дифференциалов, т.е. приращения  величин. Без доказательств  Лейбниц  сообщает правила дифференцирования константы, суммы, разности, произведения, частного, степени и корня. Он дает указания, как применять дифференциалы для исследования максимумов и минимумов и точек  перегиба кривых.

В 1685г. Шотландский ученый Джон Крег опубликовал работу «Метод определения квадратур фигур»,  воспроизводившую метод Лейбница для проведения  касательных. В 1686г. Появилась первая печатная работа по интегральному исчислению – статья Лейбница «О глубокой геометрии и анализе неделимых, а также бесконечных». В ней впервые  появляется знак интеграла.

В 1689-1695 гг. появляются и другие статьи Лейбница в области анализа. С 1690г. Ближайшие сотрудники Лейбница, братья Якоб и Иоганн Бернулли, начинают опубликовывать некоторые свои работы в области математического анализа. Однако все упомянутые статьи были опубликованы в малораспространенных журналах. Если добавить, что статьи эти писались очень сжато, тяжеловесным и трудным для понимания стилем то станет ясным, почему они были доступны лишь узкому кругу специалистов.  А между тем с каждым годом все больше назревала потребность в широком применении новых результатов, в ознакомлении многочисленных математиков и ученых с элементами анализа; требовалось создание общедоступного курса, систематически излагающего основы нового исчисления.

Такой первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь.

Маркиз Гильом Франсуа Лопиталь родился в 1661 г. и уже в молодости занялся серьезными математическими исследованиями. Благодаря своему таланту и трудолюбию Лопиталь стал известен как один из виднейших математиков Франции того времени.

Прочитав «Новый метод» Лейбница, Лопиталь сразу же стал одним из его приверженцев. В1692г. в  Париж приехал один из ближайших сотрудников Лейбница –  Иоганн Бернулли. Лопиталь его пригласил в свое имение. Здесь в Турени они провели четыре месяца и совместно занимались математикой. В том же году началась переписка Лопиталя с Лейбницем и И.Бернулли. В последующие годы Лопиталь наряду с Лейбницем, Гюйгенцом и братьями Бернулли решает ряд актуальных в то время экстремальных задач.

Наибольшую славу принесло Лопиталю решение знаменитой задачи о брахистохроне, поставленной Иоганном Бернулли. В 1696г. Лопиталь без указания своей фамилии опубликовал «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий». Интересно отметить, что он предварительно спросил у Лейбница согласия на выпуск этой книги. Лейбниц горячо одобрил инициативу Лопиталя.

Первый печатный курс дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малых» Лопиталя состоит из предисловия и 10 глав, что он предворительно спросил у Лейбница согласия на выпуск этой книги. Лейбниц горячо одобрил инициативу Лопиталя.

Первый печатный курс дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малых» Лопиталя состоит из предисловия и 10 глав..

 Методы левых и правых прямоугольников.

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла .

В своей экзаменационной работе я продемонстрирую четыре численных метода интегрирования и сравню их результаты. Следует заметить, что численными методами часто пользуются для вычисления интегралов, потому что, как правило, для вычисления используют компьютеры.

Рассмотрим идею метода левых прямоугольников.

Для простоты будем считать функцию  f (x) неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] 

Рис. 2.1

Разобъём отрезок  на n отрезков одинаковой длины точками  и пусть ,        где  

На каждом из отрезков  как на основании построим прямоугольник высотой .

Площадь этого прямоугольника равна: а сумма площадей всех таких прямоугольников равна:

Таким образом,

                                                      (1)

Формула (1) называется формулой левых прямоугольников. Геометрическая интерпретация её приведена на рисунке (2.1).

Далее рассмотрим функцию  неотрицательную и непрерывную на отрезке

Далее рассмотрим идею метода правых прямоугольников.

Разобьем отрезок  на n равных частей.  

Рис. 2.2

На каждом из отрезков  как на основании построим прямоугольник высотой . Сумма площадей всех таких прямоугольников равна: .

Таким образом,

                                      (2)

Формула (2) называется формулой правых прямоугольников. Геометрическая интерпретация этой формулы приведена на рисунке (2.2)

Метод трапеции.

Для простоты вычисления интеграла  от непрерывной функции разобьем отрезок  на n равных частей точками .

Рис. 3.1

На каждом из отрезков  построим прямоугольную трапецию с основаниями и .

Тогда сумма площадей всех таких трапеций равна  

или

      (3)

Формула (3) называется формулой трапеций. Геометрическая интерпретация приведена на рисунке (3.1). Очевидно, что чем больше число разбиений n тем точнее формула (3) даёт приближённое значение интеграла.

Метод Симпсона.

Рассмотрим идею, которая лежит в основе метода Симпсона.

Если для каждой пары отрезков  построить многочлен второй степени (см рис 4.1), затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддетивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

                           (4)

Рис 4.1

Если отрезок  интегрирования слишком велик, то его разбивают на 2n равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков  применяют формулу Симпсона (4).

В итоге получаем:

          (5)

Формула (4) называется формулой Симпсона для вычисления интеграла.