численные методы решения уравнений
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

                   Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,  

                          а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

                                                                                                                      Н.Н. Лузин

                С начальной школы каждый из нас слышит, что «Математика – язык всех наук». И, на мой взгляд, это соответствует действительности, так как     по сути любая из отраслей современной науки базируются на применении математических методов, что косвенно подтверждается не только крылатым выражением: «В науке столько науки, сколько в ней математики», но и тем, что подавляющая часть отраслевых научных разработок реализуется на содержательном использовании именно математических методов.

     Работа «Численные методы решения уравнений» в рамках Вахтеровского фестиваля-конкурса творческих работ по математике – личная аналитическая попытка рассмотрения отдельных способов в данном направлении, поскольку именно уравнения сыграли важную роль в истории математики и развитии её идей.

Актуальность сочинения заключена в том, что вчера, сегодня и завтра без численных методов невозможно решение теоретических и прикладных задачах математики.

Итак, попробуем решить уравнение f(x) = x –cos x = 0

Для этого мы рассмотрим два способа решения уравнений, но прежде построим графически и исследуем данное уравнение (см. рис.1). 

                                                                                          Рис. 1

Качественное исследование уравнений

Часто при решении уравнений важно знать заранее, имеет ли оно корни и, если имеет, то где они, примерно, располагаются. Рассмотрим квадратное уравнение:

ax2+bx+c=0     (1)

Если подсчитать его дискриминант D=b2-4ac и убедиться, что он положителен, то можно сделать следующий вывод: уравнение (1) имеет два действительных корня, причём один из них лежит левее точки x0= - b/(2a), другой - правее.

Проведём исследование уравнения, не имея под рукой готового ответа.

На рисунке 2 изображен график функции f(x), непрерывной на отрезке [0,1] и принимающей на  концах отрезка значение Рис. 1 разных знаков: f (0)<0,  f(1)>0. График является непрерывной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

        Рис. 2

Линия должна перейти из нижней полуплоскости y<0 в верхнюю y>0. При этом она не может «перепрыгнуть» через ось x, а должна её обязательно пересечь в некоторой точке x=c. В этой точке функция  f(x) обращается в ноль, т.е. c является корнем уравнения.

Сформулируем наше рассуждение в виде теоремы.

Теорема о существовании корня у непрерывной функции                                                  

Если функция f(x) непрерывна на отрезки [a, b] и принимает на его концах значение разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней мере, один корень уравнения.

Теорема гарантирует существование решения уравнения, но не позволяет определить точного числа корней (см. рис. 3 ).

                                                                                                                               Рис. 3

Требование непрерывности функции f(x) во всех точках отрезка [a, b] существенно. При наличии хотя бы одной точки разрыва утверждение теоремы становится неверным (см. рис. 4).

Обратимся к нашему уравнению f(x) = x –cos x = 0

Функция f(x) = x –cos x  непрерывна на отрезке f(0) = -1<0,  f(1) =1-cos1>0

Отсюда следует существование на отрезке [0, 1] по крайней мере, одного корня уравнения.                                                                                                      

                                                                                             Рис. 4

Теорема не позволяет определить общего числа  корней, однако, мы сделаем это с помощью дополнительного исследования.

Вычислим производную функцию f(x):

f ′(x)=1+sin x

В интересующей нас области изменения переменной x: x принадлежит [0,1] она положительна, следовательно, функция f(x) на отрезке [0, 1] монотонно возрастает и может иметь только один корень.

Метод Вилки

В артиллерии существует следующий метод пристрелки: один снаряд посылают с недолетом, второй с перелетом и при этом говорят, что цель взята в «вилку». Послав следующий снаряд со средним значением прицела между двумя предыдущими, смотрят, как он упадет – с недолетом или перелетом. Такая корректировка прицела продолжается до тех пор, пока снаряды не накроют цель.

Идея этого метода лежит в основе одного из самых простых и эффективных алгоритмов решения уравнений. Его основу составляет процесс построения по методу «артиллерийской вилки» последовательности вложений друг в друга отрезков [an,, bn]. Их концы образуют две монотонные последовательности, одна из которых {an} («недолеты») сходится в некоторой точке x = c снизу (an,≤ c), вторая {bn} («параллельны») – сверху (bn ≥ c). При выполнении условий теоремы, сформированной в предыдущем пункте, доказывается, что предельная точка x = с является корнем уравнения. Тем самым оказывается установленным факт существования решения этого уравнения на отрезке [a, b]. Сам процесс построения последовательности вложенных отрезков [an,, bn], содержащих искомый корень x=с позволяет найти его приближенное значение с любой точностью ε подобно вычислению π по периметрам правильных вписанных и описанных многоугольников {pn} и {qn}.

Прежде чем переходить к подобному методу введём вспомогательное утверждение:

Лемма о переходе к пределу в неравенствах

Пусть члены последовательности {xn} удовлетворяют неравенству

                                                         xn≤b

и пусть последовательность {xn} сходится к пределу а:

Тогда предел, а также удовлетворяет неравенству:

a≤b

Теперь перейдём к описанию метода вилки и доказательства с его помощью теоремы о корне непрерывной функции. Предположим, для определённости, что функция  f(x) принимает на левом конце отрезка [a, b] отрицательное значение, на правом – положительное:

f(a)<0 ,    f(b)>0.

Возьмём среднюю точку отрезка [a, b] ξ=(a+b)/2 и вычислим в ней значение функции f(x). Если f(ξ)=0, то утверждение теоремы доказано: мы нашли на отрезке [a, b] точку с= ξ, в которой наша функция обращается в ноль. В противном случае, когда f(ξ)≠0, поступим следующим образом: рассмотрим два отрезка [a, ξ] и [b, ξ] и выберем один из них, исходя из условия, чтобы функция f(x) принимала на его концах значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a1, b1]. По построению

f(a1)<0 ,    f(b1)>0.

Возьмём среднюю точку отрезка [a1, b1] ξ1=(a1+b1)/2 и опять вычислим в ней значение функции f(ξ1). Если f(ξ1)=0, то теорема доказана, иначе, когда f(ξ1)≠0 снова рассмотрим два отрезка [a1, ξ1] и [b1, ξ1] и выберем тот из них, на концах которого функция  f(x) принимает значение разных знаков. Выбранный отрезок обозначим [a2, b2]. По построению

f(a2)<0 ,    f(b2)>0.

Будем продолжать этот процесс. В результате либо он оборвётся на некотором шаге n благодаря тому, что f(ξ n)=0, либо будет продолжаться неограниченно. В первом случае вопрос о существовании корня решен, поэтому рассмотрим второй случай.

Неограниченное продолжение процесса дает последовательность отрезков [a, b] , [a1, b1], [a2, b2],………Эти отрезки вложены друг в друга: каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:

an≤ an+1n+1≤ bn

причём

f(an)<0 ,    f(bn)>0.

Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю.

Рассмотрим левые концы отрезков {an}. Согласно an≤ an+1n+1≤ bn они образуют монотонно неубывающую ограниченную последовательность. Такая последовательность имеет предел, который мы обозначим через с1:

Согласно an≤ an+1n+1≤ bn и лемме переходе к пределу в неравенствах имеем:

с1 ≤ bn

Теперь рассмотрим правые концы отрезка {bn}.Они образуют монотонно невозрастающую ограниченную последовательность, которая тоже имеет предел. Обозначим этот предел через с2:

Согласно с1 ≤ bn и лемме эти пределы удовлетворяют неравенству с1≤ с2.

Итак,

an≤ с1≤ с2≤ bn

Следовательно,

с1- с2≤ bn - an=(b-a)/2n

Таким образом, разность с1- с2 меньше любого наперёд заданного положительного числа. Это означает, что с1- с2=0, т.е. с1=с2=с.

Найденная точка с интересна тем, что она является единственной общей точкой для всех отрезков построенной последовательности. Используя непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения f(x)=0

Мы знаем, что f(an)≤0. Согласно определению непрерывности и возможности предельного перехода в неравенствах имеем:

Аналогично, учитывая, что f(bn)≥0, получаем:

Из этого следует, что  f(с)=0, т.е. с – корень уравнения f(x)=0. Теорема доказана.

Процесс построения последовательности вложенных стягивающих отрезков методом вилки является эффективным вычислительным алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На n-м шаге процесса получаем

an≤ с≤ bn

Это двойное неравенства показывает, что число an определяет искомый корень с недостатком, а число bn- с избытком, с ошибкой, не превышающей длину отрезка ∆n= an- bn=(b-a)2n. При увеличении  n ошибка стремиться к нулю по закону геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2. Если задана необходимая точность ε (ε>0), то чтобы ее достигнуть, достаточно сделать число шагов N, удовлетворяющее условию:

N>log2((b-a)/ε)

Обратимся к нашему уравнению f(x) = x –cos x = 0

Результаты расчетов, связанны с двенадцатикратным делением исходного отрезка [0,1] пополам.

Мы определили корень с  точностью ε<(1/2)12<0,00025.

Итак, мы можем утверждать, что искомый корень с принадлежит отрезку [0,739 013 671 875; 0,739 257 812 500]

Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных, связанный с именем Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень с на отрезке [a, b],  дифференцируема на этом отрезке и ее производная  f ′(x) не обращается  на

                                                                                                                      Рис. 5

нём в ноль. Возьмём произвольную точку x0 и напишем в ней уравнение касательной к графику функции f (x):

y= f (x0)+ f ′(x0)(x-x0).

График функции f (x) и её касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка x1 пересечения касательной с осью х будет расположена недалеко от корня  (см. рис. 5).

Для определения точки x1 имеем уравнение

f (x0)+ f ′(x0)(x-x0)=0

Таким образом,

x1= x0-( f (x0)/ f ′(x0))

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f (x) при х = x1 и найдём для неё точку пересечения x2 с осью х (см. рис. 4):

х2= x1-(f (x1)/ f ′(x1))

Продолжая этот процесс, получим последовательность {xn}? Определённую с помощью рекуррентной формулы:

xn+1= xn-( f (xn)/ f ′(xn)),          n=0, 1,2,……….

Обратимся к нашему уравнению f(x) = x –cos x = 0. Запишем для него рекуррентную формулу (помня, что f(x)= x –cos x):

xn+1= xn-( xn-cos xn)/ (1+sin xn  ),     n=0, 1, 2,……..     (2)

Выберем в качестве нулевого приближения x0= 0,5 и вычислим несколько следующих приближений по формуле (2)

x1=0,755 222 320 557

x2=0,739 141 702 652

x3=0,739 085 197 449

x4=0,739 085 078 239

x5=0,739 085 078 239

Мы видим, что начиная с  номера n=1, последовательность {xn} убывает и приближается к корню х=с сверху. После четвертого шага процесс останавливается, это значит, что мы достигли точность, превышающую 10-12 и теперь невозможно уловить разницу между xn+1 и xn.

В сочинении мною рассмотрены два метода решения уравнений. Наряду с ними существуют ёще несколько методов. Часто одну и ту же математическую задачу можно решить с помощью разных методов. В таких случаях возникает необходимость сравнить их между собой.

При оценке эффективности численных методов существенное значение имеют различные свойства:

1. универсальность;
2. простота;
3. скорость сходимости.

Посмотрим с этой точки зрения на разобранные методы решения уравнений.

1) Наиболее универсальным является метод вилки: он требует только непрерывности функции f(x).

2) С точки зрения организации вычислительного процесса оба метода просты. Однако и здесь метод вилки обладает определённым преимуществом. Вычисления можно начинать с любого отрезка [a, b], на концах которого непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков. Процесс будет сходиться к корню уравнения f(x)=0, причём на каждом шаге он дает для корня двухстороннюю оценку, по которой легко определить достигнутую точность. Сходимость же метода касательных зависит от того, насколько удачно выбрано нулевое приближение.

3) Наибольшей скоростью обладает метод касательных.

Итак, мы видим, что ответ на вопрос о наилучшем численном методе решения уравнений не может быть однозначным. Он существенно зависит от того, какую дополнительную информацию о функции f(x),мы имеем и, в соответствии с этим, каким свойствам метода придаем наибольшее значение.

Резюмируя, хотелось бы отметить, что в современных условиях нашему Отечеству необходимы не просто фундаменталисты - исследователи в области математики – то кем оно славилось ранее, и о чем постоянно напоминает как научное сообщество, так и первые лица государства, но нестандартно мыслящие практики способные  к практическим внедрениям как уже существующих, так и разрабатываемых вновь математических моделей. Поскольку именно они, математические модели, позволяют – краеугольный камень позволяющий свести исследование реального «нематематического» объекта к решению математической задачи, воспользовавшись для этого универсальным математическим аппаратом.