Решение олимпиадных задач по математике.
олимпиадные задания по теме

Решение олимпиадных задач
Инварианты
Учитель математики Баранова Л.В. г. Печора
Что такое инвариант?
Инвариантом некоторого преобразования называется величина или свойство, не изменяющееся при этом преобразовании.
В качестве инварианта:
Четность и нечетность Остаток от деленияПерестановкиРаскраски
« Разная четность »
Х+2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные).7+2=9 98+2=100\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\Х+1 – четность меняется.7+1=8 12+1=13
Сформулируем два важных утверждения, на которых основано применение идеи четности и нечетности.
Утверждение 1:
Четность суммы нескольких слагаемых совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.
Пример:1+2+…+10 –число нечетное,т.к в сумме 5 нечетных слагаемых.Пример:3+5+7+9+11+13 –число четное, т.к в сумме 6 нечетных слагаемых
Утверждение 2:
Знак произведения нескольких чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.
Примеры:1)Число (-1)(-2)(-3)(-4)-положительно. 2)(-1) 2 (-3) 4 (-5) –отрицательно, т.к…..
Задача 1:Учитель написал на листке бумаги число 10. 15 учеников передают друг другу лист, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу- как хочет. Может ли в результате получиться число 0?
Решение:
* 10- число четное.*1ход-характер четности меняется10+1=11 или 10-1=9(нечетное)*2ход-снова меняет характер четности(четное) *3ход-нечетное и т.д*Значит, после 15(нечетного) хода будетчисло нечетное. Поэтому нуль в конце получиться не может!
Задача 2.
На доске написано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркиваем любые два числа, и если они одинаковые, то дописываем к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске?
Решение:
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1)Если вычеркиваем два нуля, то дописываем нуль, тогда «0»-7, «1»-7.Осталось 14 чисел.Сумма -нечетное.2)Если вычеркиваем две единицы, то дописываем нуль, тогда «0»-9, «1»-5. Сумма -нечетное.3)Если нуль и единицу, то дописываем единицу, тогда «0»-7, «1»-7.Сумма-нечетное число.
Таким образом получаем:
---после выполнения данной операции на доске получается на одно число меньше.---сумма оставшихся чисел все время число нечетное.Значит, после 14 раз указанной операции на доске останется одно и нечетное число, а это-1!
Вывод:
Инвариантом в задачах 1 и 2 являлась четность суммы чисел (она нечетная).
Задача 3.
Квадрат 5х5 заполнен числами так, что произведение чисел в каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел также отрицательно.
Решение:
Найдем произведение всех чисел. ОноОтрицательно. Произведение всех чисел равно произведению чисел в столбцах.А так как произведение всех чисел отрицательно, тоОно д.б отрицательно в пяти, трех или хотя бы в одном столбце.Что и требовалось доказать!
Задача 4:
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них разложить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
Решение:
Т.к количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличается на 1, тоРассмотрим сумму: ч + н + ч +…+ н =55Или н + ч + н +…+ ч = 55.И т.к это будет сумма 16 слагаемых и нечетных слагаемых в ней – 8(четное),то сумма должна быть четным числом!Значит, разложить 55 арбузов нельзя!