МЕТОДИКА УРОКА МАТЕМАТИКИ НА ОСНОВЕ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ ОШИБОК, ВЫЗЫВАЕМЫХ АССОЦИАТИВНОЙ СВЯЗЬЮ.
статья на тему

МЕТОДИКА УРОКА МАТЕМАТИКИ НА ОСНОВЕ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ ОШИБОК, ВЫЗЫВАЕМЫХ АССОЦИАТИВНОЙ СВЯЗЬЮ.

Ассоциации в обучении играют очень важную роль. Достаточно вспомнить нить, что когда нужно запомнить какой-то фактический материал словарные слова, то взрослый стремится найти какую-то ассоциацию,  опираясь на уже имеющийся опыт, школьнику же подсказывать: запомнить по-другому, организовывая нужную ассоциацию за него.

Ученику начальной школы трудно запомнить написание слова медведь тетрадке появляются и медведь, и мэдведь. Но стоит задать вопрос, что любит больше всего медведь?» - как образовавшая ассоциация медведь - мёд сразу же помогает запоминанию правильного написания этого словарного слова, знакомого ребенку с детства.

Однако существуют acсоциации, спонтанно образующиеся в сознании ученика, коварство которых заключено в том, что к ошибкам они ведут не непосредственно в ходе изучения , а  на много позже - после ее изучения.

ПРИМЕРЫ ОШИБОК, КОТОРЫЕ СКЛАДЫВАЮТЯ У УЧАЩИХСЯ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ:

Умение предупреждать такие ошибки можно отнести к высокой методической грамотности учителя. Самый «знаменитый» пример такой ошибки — это решение неравенства x2 ≤ 4. В работах учащихся девятого, а зачастую и более старших классов нередки такие решения:

x2 ≤ 4, x ≤ ±2.

Ответ: x ≤ ±2.

Каким образом появляется такая ошибка?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вернуться в восьмой класс, где учащиеся впервые знакомятся с алгоритмом решения неполных квадратных уравнений.

Вот цепочка преобразований, которой сопровождается решение уравнения

x2 – 4 = 0

x2 – 4 = 0, x2 = 4, x = ±2.

Ответ: ±2.

И нужно заметить, что такие решения ученик может увидеть не только на классной доске, но и в решебниках и в некоторых пособиях. Придя в девятый класс и встретив такое неравенство или похожее на него, даже уже познакомившись с методом интервалов, он движется все равно в том направлении, в котором «рука писать привыкла». Все это происходит из-за недостаточно го внимания к выполнению записей на доске.

Как же предупредить появление таких ошибок в решениях данного типа неравенств?

Одним из возможных шагов в решении этой методической задачи является некоторое изменение самой методики обучения решению неполных квадратных уравнений. Необходимо предлагать учащимся идти от разложения на множители. Вот как будет выглядеть такое решение:

x2 – 4 = 0,

(x – 2)(x + 2) = 0,

x – 2 = 0 или x + 2 = 0,

x = 2 или x = –2.

Ответ: 2; –2.

В случае, например, уравнения x2 – 3 = 0 решение будет таким:

x2 – 3 = 0,

(x - )(x +  )= 0,

(x -) = 0 или x +  = 0,

x =  или x = - .

Ответ: ;-

У предложенного подхода есть определенные преимущества. Во-первых, он дает возможность закрепить у ученика алгоритм решения уравнения, который с небольшим дополнением можно будет расширить в ходе изучения методов решения нелинейных неравенств. Во-вторых, он позволяет закрепить у учащихся навыки разложения на множители, и наконец, в-третьих, это позволит избежать еще одной ошибки — потери одного из корней.

 Таким образом, методика предупреждения ошибок у школьников можно избежать следующими способами:

1) составление «карт-ошибок», возникающих ассоциативно;

2) построение цепочек связей, препятствующих образованию неверной связи;

3) выполняя коррекционную работу после диагностических работ или экзаменов

4) выявлять  ошибки, допущенные в результате нарушения границ применимости алгоритма решения (или понятия) и распространения его на другие типы, для которых он не пригоден.

Рассмотрим еще один пример. На экзамене ЕГЭ-2009 (основной) одним из этапов получения ответа в задаче С2 было решение неравенства  ≤0. В работах учащихся можно было встретить такие решения:

≤0;

≤34;

 (x – 5)2 – 23 – x2 – 10x + 2 ≤4(!).

Решение содержит две ошибки: в порядке действий и ошибка, вызванная неверной  ассоциацией. Появление второй ошибки свидетельствует о том, что свойство монотонной функции ученик запомнил лишь  виде «приравнивай что сверху — и вперед».

Для того, чтобы предупредить появление таких ошибок, необходимо увидеть в них две методические составляющие: нарушенную методику обучения решению показательных уравнений и недоработку по обобщению методов решения уравнений, в данном случае свойства

монотонной функции.

Обучая учащихся решению показательных уравнений и замыкая дидактический материал на примеры «от простого к сложному» при выполнении действий со степенями

4x = 16,

53x – 4 – 25 = 0,

,

 27x – 9x + 1 = 0,

Но даже хорошо успевающего ученика можно спровоцировать на появление в тетради кратких решений:

27x – 9x + 1 = 0,

33x – 32x + 2 = 0,

3x – (2x + 2) = 0,

откуда до следующего шага с ошибкой уже не далеко. Необходимо изначально, при первом знакомстве, на совсем несложных примерах показать важность приведения заданного показательного уравнения к виду f(α) = f(β). Простейшим примером может послужить уравнение

2x + 3 – 2x + 2 = 8.

Его ошибочное решение, из-за возникающей ошибки, приведет к тому, что

2x + 3 – 2x + 2 = 8,

2x + 3 – 2x + 2 = 23,

x + 3 – (x + 2) = 3, 1 = 3.

То есть уравнение корней не имеет. В то же время, на только что введенной идее решения показательных уравнений путем приведения их к виду f(α) = f(β), можно обратить внимание учащихся на правильное решение:

2x + 3 – 2x + 2 = 8,

2х∙23-2х∙22=23;

2х(23-22)=23;

2х(8-4)=23;

2х=21;

х=1

Группа упражнений для формирования устойчивых навыков решения показательных

уравнений на первом уроке может быть такой:

1. 4x = 16.

2.  3x + 1 = 9x.

3. 27∙3x + 2 = 1.

4. 3x + 1 + 3x = 4.

 5. 2∙3x + 1 – 3x = 15.

6. 2x + 3 – 2x + 2 = 8.

7. 9x + 1 – 32x – 24 = 0.

В дальнейшем можно постепенно усложнять уравнения, вводя более сложные комбинации со степенями, производить расширение за счет метода замены переменной, предлагать комбинированные уравнения и пр.

Успешность в решении иррациональных уравнений закладывается  задолго до изучения самого алгоритма решения. Помимо чисто  операциональных навыков: умение равносильно переносить выражения из одной части  уравнения в другую, правильно возводить двучлены во вторую степень, решать квадратные уравнения, - необходимо чтобы учащаяся не путали понятие отрицательного числа и отрицательного значения выражения. В  противном случае, как только появится отрицательное число, полученных корней в уравнении-следствии станет формальным, сработает ассоциация с тем, что «там, где знак радикала, там не место отрицательным числам».

В итоге для этой темы получается комплексная методическая работа, которая определяет содержание уроков: во-первых, курсе алгебры 7-х и 8-х классов необходимо сформировать представление о значении выражения и об области определения арифметического квадратного корня.

 Для уроков алгебры  7 класса можно использовать  такие задания:

№ 1.

Может ли при каком-либо значении а равняться нулю алгебраическое выражение:

1)а+99999; 2) 3)  4) а2+1.

№ 2.

Указать, какие числовые значения могут принимать буквы а и в в алгебраических выражениях:

1)   4)

При каких значениях а и в значения выражений будет положительны, а при каких отрицательны.

Во-вторых, непосредственно при решение иррациональных уравнений необходимо построить типе упражнений, в которой была бы разрушена связь отрицательный корень - посторонний корень.

Для уроков алгебры 8 класса можно использовать такие задания:

№ 1.

Верно ли равенство:

1)

№ 2.

При каких значениях  а  имеет смысл выражение:

№ 3.

При каких значениях  х справедливо равенство:

.

№ 4.

а) , выберите из числел3;-2;7;-5;9,те при которых выражение существует.

б) какие из чисел 5; -2; 3; -5 принадлежит области значений выражения

3-

Последовательность упражнений для первого урока решения иррациональных уравнений может быть составлена следующим образом:

Успешность работы по предупреждению ошибок, вызванных ассоциацией, зависит от умения учителя прогнозировать развитие формируемого учебного навыка, знание им характерных ошибок учащихся, допускаемых ими при самостоятельном выполнении экзаменационных заданий. Не последнюю роль играет в этом направлении работы и слаженность в требованиях методического объединения учителей математики в школе.