Методика обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами
план-конспект занятия на тему

Методика работы над задачами, связанными

с пропорциональными величинами.

ПЛАН

1. Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального.

2.Методика работы над задачами на пропорциональное деление..

3. Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.

В начальных классах рассматривается решение задач, связанных с пропорциональными величинами следующих видов:

-задачи на нахождение четвертого пропорционального;

-на пропорциональное деление;

-на нахождение неизвестных по двум разностям.

Кроме того, специально рассматриваются задачи, связанные с движением.

Решение этих задач основывается на знании связей между величинами. Например, чтобы найти стоимость товара нужно его цену умножить на количество. Следовательно, в подготовительную работу необходимо включить:

-знакомство с новыми величинами;

-раскрытие связей между величинами.

Методика работы над задачами на нахождение четвертого пропорционального.

1.Структура задач

-даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью;

-одна величина постоянная (ее значение не меняется), две-переменные;

-даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой;

-второе значение этой величины является искомым.

2.Классификация задач.

(См. табл. 1 на примере задач с величинами: цена, количество, стоимость)

3.Способы решения задач.

Каждую из задач, представленных в таблице, можно решить способом нахождения значения постоянной величины (названия способов детям не сообщается ). Вначальных классах преимущественно используется этот способ.

Например, рассмотрим решение задачи 1:

За два кг моркови уплатили 30 руб. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови?

Решение:

1) 30 : 2= 15 (руб.)-цена моркови.(значение постоянной)

2)15*6=90(руб.)

Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.

      Для задач 1 и 2 видов этот способ называется также способом приведения к единице.

       С целью подготовки детей к усвоению в курсе основной школы( 5-9 кл.)функциональной зависимости необходимо познакомить младших школьников со способом решения, основанном на понятиях прямой и обратной пропорциональной зависимости.

      Делая прикидку результата, выясняем, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел(за 6 кг уплатили больше или меньше, чем за 2кг?), уточняем почему, используя наглядные пособия, узнаем, что количество моркови увеличилось в 3 раза и, следовательно, денег потребуется также в 3 раза больше.

Решение:

1)6:2=3-в 3 раза стало моркови больше.

2)30*3=90(руб.)

Ответ: 90 руб. надо уплатить за 6 кг моркови.

4.Организация подготовительной работы.

      Для введения задач на нахождение четвертого пропорционального необходимо познакомить детей с величинами цена, количество, стоимость и связями между ними. Например, можно на уроке провести игру в «магазин»: На доске товары, к которым прикреплены этикетки с указанием цены

У: Сегодня будем играть в «магазин» и решать задачи про покупки.

      Что продается в магазине? (Называют)

      На вещах обозначена цена. Назовите цену тетради, блокнота, …

      Что показывает цена?

       Сколько стоит 1 тетрадь, 1 блокнот?

      Купили 3 тетради. Что означает число 3? (Сколько купили тетрадей) Иначе говорят,                 число тетрадей или количество тетрадей.

     Купили 4 блокнота. Что обозначает число 4?

К доске прикрепляют 4 блокнота, под каждым записана цена «10 руб.»

У: Сколько денег надо уплатить за 4 блокнота?(40 руб.) Как вы узнали?(10*4=40)

     Почему умножали?

40руб.-это стоимость блокнота.

На доске запись:

Цена                  Количество                  Стоимость

10 руб.               4 блокнота                          ?

У: Что известно в этой задаче? Что нужно найти? Каким действием находили?

        Далее начинается игра: один ученик становится продавцом, остальные покупателями. Покупатели  покупают несколько вещей. Одновременно составляются и решаются задачи про эти покупки, причем каждый раз устанавливается связь: известны цена и количество, находим стоимость умножением.

        Аналогично ведется работа по ознакомлению с величинами других групп. При этом на этапе ознакомления со связями между ними важно выполнять предметные иллюстрации (например, изобразить 3 пакета, под каждым написано «2 кг»), а при выборе арифметического действия сначала опираться на конкретный смысл арифметических действий (например, в 1-м пакете-2 кг муки, во 2-м -2 кг и в 3-м -2 кг; по 2 взяли 3 раза, надо 2 умножить на  3), после чего формулируется вывод (чтобы найти общую массу пакетов надо массу одного пакета умножить на их количество).  

          Одновременно с работой по закреплению знаний о связях между величинами следует наблюдать за изменением одной величины в зависимости от изменения другой при неизменной третьей Например, решаем ряд односюжетных задач: «Блокнот стоит 10 руб. Сколько будут стоить 2 блокнота, 3 блокнота, 4 блокнота, 12 блокнотов, 15 блокнотов?» Решение записываем в таблице:

         Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении числа блокнотов, их стоимость увеличивается, при уменьшении количества стоимость уменьшается.

          Аналогично можно пронаблюдать и другие зависимости.

5.Ознакомление с решением задач.  

         Первыми рассматриваем задачи с величинами: цена, количество, стоимость, т. к. дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причем сначала включаем задачи 1-го вида (см. табл. 1).

         Сначала задачи иллюстрируем рисунком и выполняем краткую запись в таблице:

       При анализе условия дети объясняют, что показывает каждое число, что требуется найти, что необходимо узнать, чтобы ответить на вопрос .

       Проверка выполняется способом составления и решения обратных задач.

6.Закрепление умения решать задачи.

       После решения нескольких задач 1-го вида с величинами цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов Выполняются упражнения творческого характера по сравнению нескольких задач одного вида, различных видов, по составлению задач.

Методика работы над задачами на пропорциональное деление.

1.Структура задач

-даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью и одна постоянная;

-даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной;

-слагаемые этой суммы являются искомыми.

2.Классификация задач.

     В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2

3.Способы решения задач.

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины

4.Организация подготовительной работы.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

5.Ознакомление с решением задач.  

        Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить способы их решения.

        Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:        

После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и составить задачу по новому условию:

Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй  покупатель?» учитель поясняет , что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде.

У: - Что требуется узнать в задаче?

     -Что значит «каждый»?

     - Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?

    -  Почему нельзя?

     - Можно ли сразу узнать цену тетради?

       -Почему нельзя?

      -Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?

       -Почему можно?

      -Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?

      Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему.

Затем переходят к составлению  плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым  данным.

      Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

 6.Закрепление умения решать задачи.

Для  обобщения способа решения предлагаются задачи 1-го вида с другими группами величин, затем вводятся задачи 2-го вида и несколько позднее 3-го и 4-го видов.

Методика работы над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям.

1.Структура задач

-даны две переменные и одна постоянная величина;

-даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной;

-сами значения этой переменной являются искомыми.

2.Классификация задач.

     В начальной школе решаются задачи только двух видов. Эти задачи представлены в таблице 3.

3.Способы решения задач.

В начальных классах эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины

4.Организация подготовительной работы.

Подготовкой к решению задач этого типа  предлагают задачи-вопросы и простые задачи, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями. Например:

1)Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них уплатил больше денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатит столько же денег, сколько уплатила сестра?

2)Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 9 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

5.Ознакомление с решением задач.  

Методика  работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала предлагается задача не в готовом виде, а составляется из задачи на нахождение четвертого пропорционального, затем включают готовые задачи.

Рассмотрим это на конкретном примере.

Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:

После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе,-120 руб.

Учитель предлагает найти разность стоимостей (60 руб.) Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет новую краткую запись, по которой дети составляют задачу:

На доске и в тетрадях можно выполнить иллюстрацию:

I

II

Выясняется, почему 1-й покупатель заплатил больше, чем 2-й; за сколько метров 1-й уплатил столько же денег, сколько 2-й; за какую материю он уплатил 10 руб.

На чертеже появляется запись:

I

                                                                                                                                  10 руб.

II

Затем составляется план решения.

6.Закрепление умения решать задачи.

      1) решение задач 1-го вида с различными группами величин;

      2) решение задач 2-го вида

      3) упражнения на преобразования задач (например, по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям и сравнить их решение.)

Контрольные вопросы.

1.Перечислите основные виды задач на движение.

2.Почему на этапе ознакомления с новым видом задач детям предлагают задачи именно с величинами цена, количество, стоимость, а не с другими группами величин?

3.Обоснуйте последовательность введения новых видов задач .

4. Охарактеризуйте методику работы над задачами каждого вида.

Классификация задач на нахождение четвертого пропорционального.

Классификация задач на пропорциональное деление.

Классификация задач на нахождение неизвестных по двум разностям.