Решение задач как непременное условие развития математических способностей учащихся
статья на тему

Решение задач как непременное условие развития математических способностей учащихся

      Решение  задач – это  умственная  работа. А чтобы научиться какой – либо

работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется

работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.    

             Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой

они представляют, как они устроены, из каких  составных частей они состоят, каковы  

инструменты, с помощью которых производится  решение задач.    

             Так что же такое  задача?

  Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ,

опираясь на те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению

какой-либо  задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования

(вопросы), каковы условия, из которых надо решать задачу. Все это называется анализом  

задачи.

      При анализе задачи  надо расчленить формулировку задачи  на условия и

требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых

элементарных условий;  требований в задаче также может быть не одно. В школьном курсе

математики встречаются несколько видов задач (рис.1).

Мы будем рассматривать задачи двух видов:

1. Практические (житейские, текстовые, сюжетные).
2. Математические (числа, геометрические фигуры, функции и т.д.)

Решить задачу –  значит найти такую последовательность общих положений математики

(определений, аксиом, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям

задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что

требуется в задаче – её ответ.

               Под термином « решение задачи» понимается:

1. вся деятельность человека, с момента начала чтения задачи до конца.                                    
2. действия, которые мы производим над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

Чтобы решить задачу, надо найти план решения (Рис.2).

План решения – это обязательно точный и полный перечень всех действий и

операций, которые надо выполнить, чтобы решить данную задачу. Математические задачи

делятся по характеру требования на три основных класса:

1. Задачи на нахождение искомого.
2. Задачи на доказательство или объяснение.
3. Задачи на преобразование или на построение.

В решении задач главное – умение анализировать задачу, проникать в её сущность.

Решение любой задачи нужно разбивать на три этапа:  

1. предварительный  анализ задачи,
2. анализ задачи в процессе решения,
3. анализ после её решения.

Такой подход позволяет с одной стороны, заострять внимание на интересующих нас

моментах, с другой – видеть процесс анализа во всей динамике, включая  текущие смены

его предмета,  чередование промежуточных целей и определение места решаемой задачи  

в кругу родственных проблем.

        Формированию осознанных знаний, прочных  умений при  решении задач

способствуют самостоятельно составленные детьми задачи, самодельные таблицы, схемы

– опоры, индивидуальные карточки, тестовые задания, перфокарты, алгоритмы

рассуждений, задания дифференциального характера. Если в среднем звене школьники

учатся  главным образом с помощью опорных таблиц, схем, то в старшем звене они

сотрудничают с учителем в создании  специальных тематических таблиц, составлении

авторских задач, тестов, заданий с элементами  тестирования, составление алгоритма

рассуждений.

     Уроки надо строить таким образом,  чтобы лекция,  объяснение нового материала опирались на собственные  знания школьников.

       В пятом классе  обобщаются,   закрепляются, систематизируются и расширяются

сведения, полученные учащимися  по предмету  из курса начальной школы.  Большую

роль в осознанном решении задач на  первоначальном этапе повторения и обобщения, в

среднем звене играет умение правильно проанализировать и  осмыслить задачу.  В начале  

работы надо обеспечить понимание её необходимости и полезности.  Встречаются

задачи, в которых устный разбор условия сопряжен  с трудностью составления краткого

условия, и часто детям в пятом классе решить задачу легче без  составления краткой

записи.                

      Работу надо  строить и проводить таким образом, чтобы  у учащихся возникла

потребность детально разобраться в содержании задачи, отсюда правильно составить

краткое  условие с целью глубокого понимания и видения её решения.

                 Начинать  работу надо с решения простых текстовых задач в пятом классе.  Например, рассмотрим решение задачи на все действия с натуральными числами.          

Два   друга Петя  и  Вася  решили   приобрести  запасные  части   для  тракторов   в  городе  Барнауле.  Из  п. Заря   Петя  выехал  на  своем  автомобиле  со  скоростью  75 км/ч, а  Вася  выехал  в то же  время  с  полевого  стана   на  грузовике  со  скоростью  65 км/ч.  Через  два  часа  Петя  на  легковом  автомобиле  догнал  грузовик  Васи.  Надо  найти  расстояние  между  поселком  и  полевым  станом.

                         Текст  задачи  учащиеся  вначале  воспринимают на  слух.  

 Дети отмечают,  что автомобиль и грузовик движется по шоссе в одном направлении,

(г.Барнаул) из различных пунктов. Каждое транспортное средство имеет свою скорость

(легковой автомобиль – 75 км/ч, грузовик – 65 км/ч).  Время движения обоих объектов

одинаковое – 2 часа. В задаче требуется определить расстояние от п.Заря   до полевого  стана.

 Для удобства обозначим   п. Заря – А, а полевой стан – В.  В ходе работы детям

предлагаются вопросы.  

- В начале движения объекты находятся в пунктах А и В.  Где они будут находится в конце

движения? Через два часа?  

Дети отмечают, что объекты будут находиться в каком-то одном пункте С.

При разборе появляется такая запись-опора:

                                       Автомобиль 75км/ч , 2ч

        А                В        С

        Грузовик 65км/ч, 2ч

Ориентируясь на рисунок,  составляется на доске и в тетрадях краткая запись.

Лег.  авт. –V1=75км/ч,   t=2ч,    S1=AC

Груз.   V2=65км/ч,          t=2ч,    S2=BC

Вывести решение с помощью опоры детям становится легче.  Оно возможно двумя

способами: с помощью уравнения и арифметическим путем.

      Анализ данной математической задачи позволяет развивать не только логическое мышление, но и стимулировать творческие способности школьников через поиск разных путей решения задачи.

      Работая над анализом математической  задачи, особое внимание обращается на

формирование умения выполнять схематическую запись условия задачи.  

В краткой записи используются и развиваются умения учащихся представлять  информацию в вербальной форме. А  схематическая запись нацеливает на умение работать с образной информацией.

В зависимости от цели работы проводится  устный или письменный, по выбору,

индивидуальный, групповой, коллективный или самостоятельный разбор решения задачи.

В 6 классе подобному условию могут быть добавлены десятичные дроби, процентные

соотношения.

       В 7 классе условие задачи ещё более усложняется.

Например:  

         На летних  каникулах Коля  отправился  к  бабушке  в  деревню,  в      гости.  Добраться  до  деревни  можно было  по реке.  И    Коля купил билет на теплоход.  Расстояние от города до  деревни  теплоход  проплыл  за 9 часов  по течению  реки, а на обратный путь затратил 11 часов. Надо найти собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

    В начале повторим план - алгоритм решения задачи(таблица 1).

Затем читается условие и мысленно представляется, о чем в ней говорится.

Дети знают, что теплоход проходит по течению реки определенное расстояние, а

затем возвращается обратно. По течению у него скорость будет больше, так как ему

помогает двигаться течение реки, а по возвращению обратно скорость меньше, так как

течение мешает движению.

Дети рассуждают и выполняют чертеж задачи, составляют краткую запись условия на

доске и в тетрадях.

                                  По течению 9ч

        А         течение реки 2км/ч        В

        Против течения 11ч

Пусть Х км/ч – собственная скорость теплохода.

Тогда его скорость по течению реки  будет (Х+2)км/ч, а против – (Х - 2)км/ч.

Время движения из города в деревню 9ч, обратно 11ч.

По течению – (Х+2)км/ч,  9ч                   Путь тот же

Против течения – (Х - 2)км/ч,  11ч

Составляется и решается уравнение.

    (Х+2)9=(Х - 2) 11

    9Х+18=11Х – 22

     9Х-11Х= - 18 - 22

      -2Х= - 40        Х=20

Прежде чем записать ответ еще раз необходимо акцентировать внимание детей на вопрос задачи.

Ученики отмечают, что нужно найти собственную скорость теплохода, а она была взята за

Х, значение которого мы нашли. Следовательно, собственная скорость теплохода 20км/ч.

Записываем ответ.

     Таким образом, каким бы методом не решалась текстовая задача, мы в процессе анализа

на пути к выводам выполняем ряд действий. На этапе анализа текста задачи необходимо обучать  детей в первую очередь умению выделять объекты, о которых идет речь в задаче, её  условие и вопрос, устанавливать известные, неизвестные, искомые величины, выделять ситуации, описанные в задаче.      

         На этапе поиска плана решения следует целенаправленно формировать и развивать умения записывать функциональную зависимость между величинами и выражать величину из

формулы, составлять из заданной задачи подзадачи, выделять из условия задачи

предложения, выражающие зависимость между величинами, и преобразовывать их.

В рамках реализации плана параллельно развивать мыслительную деятельность,

математические способности через формирование умения переводить зависимости  

между величинами на математический язык.

Приоритетными формами математической деятельности являются:

1. Использование известных формул, алгоритмов, процедур;
2. Преобразование, интерпретация;
3. Классификация и систематизация;
4. Правдоподобные рассуждения;
5. Выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;
6. Разработка алгоритмов.

     Существуют специальные  памятки-инструкции (алгоритмы), используя которые можно решить не только алгебраическую задачу, но и геометрическую(таблица1).

На  уроках необходимо проводить интеграцию знаний по экономике и математике. Вместе с

учащимися можно собирать материал и составлять задачи с экономическим содержанием.

Итак, для того, чтобы научиться решать задачи надо много и много работать.

Необходимо запастись знаниями теории, но еще в большой степени – терпением и

упорством в достижении поставленной цели: решить задачу и уметь перенести навыки,

сформированные в учебной  деятельности, в реальную жизнь, видеть прикладное назначение

предмета. Для того, чтобы по-настоящему научиться решать задачи, необходимо анализировать решение

каждой мало-мальски новой и более или менее сложной задачи не жалея на это времени

и сил: все это в будущем окупится.

    При анализе любого вида задач обязательно надо уделять внимание словарной работе  с

терминологией, со словами, лексическое значение которых неизвестно, развитию

речеведческих  умений и навыков, обогащением лексического запаса учащихся,

формированию целостного представления о человеке и мире через уроки интегративного

характера.

        Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс

изобретательства. Учитесь творить и изобретать в процессе решения задач!

Рис.1

Рис.2

Таблица1.