Методические особенности обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации
учебно-методический материал на тему

Содержание

Введение ………………………………………………………………………..….. 3

Глава 1. Сущность дифференцированного обучения …………………………… 6

   §1 Исторические аспекты дифференциации обучения ……………………….. 6

   §2 Психолого-педагогические основы дифференциации обучения ….......... 14

   §3 Понятие и сущность дифференцированного обучения ………………...... 18

   §4 Профильное обучение …………………………………………………….... 23

Глава 2. Методические особенности обучения математике в классах
гуманитарного направления профилизации…………………………………….. 27

   §1 Основные задачи обучения математике в классах

         гуманитарного профиля ……………………………………………….….... 27

   §2 Особенности содержания курса математики в классах

         гуманитарного профиля ………………………………………………..…... 29

   §3 Пути реализации обучения математике в классах

         гуманитарного профиля ………………………………………………..…... 33

   §4 Цели, задачи, содержание и результаты опытной работы ……………...... 48

Заключение …………………………………………………………………….….. 53

Список литературы ……………………………………………………….…..…... 55

Приложения ……………………………………………………………………...... 59

Введение

В соответствии с Концепцией модернизации российского образования на период до 2010 года в старшей школе осуществляется переход к системе профильного обучения. Профильная дифференциация позволяет реализовать личностно-ориентированное обучение, что дает школьникам возможность осуществления своих интересов и способностей.

В связи с появлением школ и классов различной профильной направленности по-новому встает вопрос о месте и роли каждого учебного предмета в базисном учебном плане. При обучении математике в старшей школе центральное место занимает обсуждение того факта, каким должно быть преподавание математики в классах различного направления профилизации? Нужна ли вообще математика в гуманитарных классах? Хорошо известно, что математика является объектом общей культуры человека. Она нужна и художнику и математику. Это связано с тем, что рациональные (мышление) и иррациональные (ощущение) психические функции у большинства людей взаимосвязаны,
поэтому подавление одних может немедленно ослабить и другие.

В настоящее время недостаточно разработан вопрос о методах обучения математике в классах различного направления профилизации. Если для классов естественнонаучного и математического профиля в какой-то мере уже определились с объемом излагаемого учебного материала, методикой его преподавания и выбором учебников, то для гуманитарных классов проблема отбора содержания математического образования еще полностью не решена и активно обсуждается учителями-математиками и методистами. Эти факты подтверждают необходимость исследований в области методики обучения математики в классах гуманитарного профиля, а, следовательно, и актуальность выбранной мной темы выпускной квалификационной работы.

Цель исследования: исходя из целей обучения и содержания учебного предмета «Математика» в профильной школе, разработать методические рекомендации обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации.

Объект исследования: методика обучения математике в классах различных направлений профилизации.

Предмет исследования: методика обучения математике в классах гуманитарного профиля.

Цель, объект и предмет определяют частные задачи исследования.

Частные задачи:

• выявить сущность понятия «дифференцированное обучение», его
  цели, задачи и виды;
• раскрыть сущность профильного обучения, его цели и
  способы реализации;
• выявить цели и задачи обучения математике в классах
  гуманитарного профиля;
• определить особенности содержания курса математики в классах гуманитарного профиля;
• разработать методические рекомендации обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации;
• изучить возможности использования информационных и
  коммуникационных технологий (ИКТ) на уроках математики в классах
  гуманитарного профиля;
• разработать уроки с использованием выделенных методических особенностей обучения в классах данного направления профилизации.

Гипотеза исследования: мы предполагаем, что преподавание математики в классах гуманитарного направления профилизации в соответствии с разработанной методикой будет способствовать:

• формированию у учащихся интереса к математике;
• мотивации учеников на изучение математики;
• повышению уровня усвоения знаний школьниками.

Методы исследования:

• изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы;

• изучение опыта работы учителей математики;
• проведение опытной работы в МОУ «Гимназия № 22».

Теоретическая значимость исследования: разработка методического обеспечения обучения математике в классах гуманитарного направления
профилизации на основании целей, задач и особенностей содержания курса математики в гуманитарных классах. 

Практическая значимость исследования состоит в использовании
разработанной методики при обучении математике в классах
гуманитарного профиля.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность исследовательской работы, сформулирована цель, объект и предмет, частные задачи, гипотеза и методы исследования, раскрыта его теоретическая и практическая значимость.

В первой главе мы рассмотрели теоретические основы дифференцированного обучения: понятие дифференциации обучения, ее цели, частные задачи и виды; понятие профильного обучения, его цели и
варианты реализации.

Вторая глава посвящена разработке методики обучения математике учащихся классов гуманитарного профиля.

В заключении сделаны выводы по проведенному исследованию.

Приложение содержит дидактические материалы по теме
исследовательской работы.

Глава 1. Сущность дифференцированного обучения

§1 Исторические аспекты дифференциации обучения

Идея дифференциации обучения является не новой для отечественной системы образования. Чтобы понять её сущность и осознать, что происходит с современной школой, наметить пути её преобразования, обратимся к опыту прошлого, для этого рассмотрим основные реформы российского образования и проанализируем их с позиций дифференцированного подхода в обучении. Начнем с периода правления Петра 1, так как именно при нем стала складываться система светского образования. На первых порах своей государственной деятельности он столкнулся с отсутствием образованных людей, способных реализовать новые идеи. Первой его реформой была реформа образования. Если проследить дальнейшую историю развития нашего государства, то можно заметить, что реформы образования происходили одновременно с общественными преобразованиями в периоды коренных изменений.

1.  Первый этап можно определить как «Организация школ в 18 веке».

В 1701 году Петром 1 в Москве была создана школа «Математических и навигацких (мореходно – хитростных) наук» и названа навигационной. В ней изучались арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия – плоская и сферическая. Общеобразовательные школы назывались цифирными: особое внимание обращалось на изучение арифметики и геометрии. Были также созданы
военные гарнизонные школы, где преподавали офицеры. В этих школах, кроме грамоты и математики, учащиеся изучали основы артиллерии и
инженерного дела.

В 1724 году последовал указ об организации Академии наук, а при ней – университета и гимназии, которую можно считать прообразом
современных лицеев.

Школы создавались не только для дворянских детей, но и для детей рабочего люда. Например, в 1721 году по инициативе В.Н.Татищева (1686–1750) создаются школы для рабочих при Уктусском заводе на Урале, в 1737 году – горнозаводские школы в Екатеринбурге, Соликамске, Каменске. Они выполняли функции современных ПТУ.

Большой вклад в развитие академических гимназий внес М.В.Ломоносов.

Он в 1754 году основал Московский университет и при нем гимназию. Её преподаватели в 1771 году выпустили коллективный труд «Способ учения», который можно считать одной из первых работ по методике преподавания. В ней  при  обучении  математике рассматривалось использование принципов активности и сознательности, «чтобы все предлагаемые доказательства разуметь могли» [36, с.2]. Педагоги считали необходимым условием сначала изучать чистую математику для совершенствования ума человека, а уже затем – смешанную (прикладную).

Следующей вехой в дифференциации обучения стало создание гимназий (государственных училищ) разного типа, «чтобы каждый своему приличному состоянию, склонности и определению обучаться мог» [36, с.2]:

• Училища для учёных людей. Они готовили выпускников для поступления в университеты. В них основательно изучался курс математики, в частности, геометрии.

• Военные училища. В них геометрия использовалась для изучения архитектуры, географии, фортификации (математической географии).

• Гражданские училища. Здесь изучались арифметика, геометрия, логика. Выпускники училищ работали в коллегиях и канцеляриях.

• Купеческие училища. Геометрия была обязательным предметом, но
  большее значение уделялось коммерческой арифметике, ведению счетов
  и различных расчетов.

В последней трети 18 века в России бурно развивалось крупное промышленное производство. Поэтому большое значение придавалось обучению профессии. В 1786 году появился «Устав об организации обучения в народных училищах». Согласно ему, были созданы малые и главные училища, в которых изучались общеобразовательные и реальные дисциплины.

В конце 18 века в работах передовых педагогов и просветителей появилась мысль, что одной из главных целей обучения в школе является выявление у детей склонностей, интересов и их использование в обучении. Писатель Н.И.Новиков в работе «О воспитании и наставлении детей» говорил: «Чтобы сделать человека счастливым и полезным гражданином, нужно возбуждать в нем охоту и склонность к изучению для него нужного; если учитель точно
знает собственные ему силы и склонности…в сем случае нужно только часто и долго придерживать в душе его те предметы, которые для склонностей его более прочих имеют прелести и которыми охотнее всего занимается он по
натуральному побуждению» [36, с.2].

Итак, 18 век – век значительных достижений в сфере просвещения, создания государственной системы образования, сети государственных образовательных и профессиональных школ разного уровня. Обучение в средних учебных заведениях носило элементы дифференцированного характера. В лексикон прочно вошли и широко применялись термины: академия, университет, гимназия, школа, училище.

2.  Второй этап хронологически можно определить как первую
   половину 19 века.

В 1802 году было учреждено Министерство народного образования. Первым следствием стало создание новой системы образования. В ней предусматривались четыре ступени:

• высшая (университеты);

• средняя (гимназии);

• промежуточная (уездные училища);

• низшая (приходские училища).

Гимназии соответствовали современным старшим классам. В них не было дифференциации обучения, а точнее почти не было, потому что в некоторых гимназиях разрешалось увеличивать число учебных предметов, когда находились способные ученики  к какому-либо предмету, что было внесено в устав гимназии (прообраз факультативных занятий или занятий по выбору). Обязательными для изучения предметами были: чистая и прикладная математика; опытная физика; статистика; история; география; политическая экономия;
естественная история; начальные сведения по торговле и технологии; языки – латинский, немецкий, французский; рисование. Гимназия состояла из четырех классов, и математика распределялась следующим образом:

1-ый класс – чистая математика: алгебра, геометрия, тригонометрия. Учитель вел алгебру и геометрию вместе, чтобы использовать первую при решении геометрических задач (реализация внутрипредметных связей);

2-ой – 4-ый классы – прикладная  математика. В это время придавали первостепенное значение приложениям наук, о чем свидетельствует список гимназических учебных предметов.

Следующим проявлением дифференциации обучения было создание лицеев для особо одаренных детей, в которых обучались в основном дети дворян. Самым знаменитым среди них был открытый в 1811 году Царскосельский лицей. Он имел ярко выраженный гуманитарный профиль. Математика, хотя и занимала второстепенное место, была обязательным предметом для изучения, причем ее значение и удельный вес возрастали к старшим классам. На начальных этапах предпочтение отдавалось словесным наукам, так как они с большим успехом изучаются в младшем возрасте.

Такой подход объяснялся тем, что в младших классах нужно изучать то, что развивает память, а в старших то, что развивает ум.

В первой половине 19 века складывалось практическое (реальное) образование. В частности, учитель математики, обучая своих учеников практической геометрии, показывал работу гидравлической машины, мельницы и других механических устройств.

Против этого подхода выступили сторонники классического (гуманитарного) образования. Дискуссия о разнице и преимуществах того и другого подхода выразилась в реформе образования во второй половине 19 века, которая провозгласила учреждение классических и реальных гимназий.

По сути дела те же проблемы обсуждаются и в настоящее время: чему учить юношество, только ли интересующим их предметам? Нужна ли гуманитариям математика? Если да, то какая и в каком объеме и т.д.

Обратим внимание на характерные черты идей, высказанных в то время и касающихся вопроса дифференциации. Во-первых, предмет «математика» признавался всеми и включался как обязательный в программы всех учебных заведений, хотя в то время наука математика еще не имела такого значения, как в современном мире. Высказывалось мнение о том, что математика развивает ум, необходимый человеку для работы в любой области (Н.И.Лобачевский).

Во-вторых, педагоги говорили о специфических особенностях
обучения     в    различном     возрасте,    т.е.     о     дифференциации    обучения

по возрастным группам (И.Ф.Богданович).

Известный педагог и философ И.М.Ямтребцов выдвинул идею индивидуализации обучения, в основе которого должны лежать психологические особенности человека.

Именно в 19 веке были изложены основы педагогической психологии и провозглашены тезисы о воспитывающем и развивающем обучении. Подтверждение этого можно найти в работах Е.О.Гугеля (1804–1842), который отметил метод взаимного обучения, то есть обучения всех одному и тому же материалу. Учитель делил класс на параллельные отделения в зависимости от успехов учеников в изучении предмета. По существу, он использовал
уровневую дифференциацию.

3.  С середины 19 века началась новая реформа образования, которая
   ознаменовала третий этап в истории развития дифференциации обучения.

Политическим фоном реформы была обострившаяся борьба против крепостного права. После его отмены традиционная подготовка учащихся к определенной профессии (прикладное реальное образование) была подвергнута критике, что нашло отражение в Уставе 1864 года. В нем учреждались классические и реальные гимназии, причём разделение учебных планов и программ с целью специализации учащихся начиналось с первого класса.

В классических гимназиях преподавали латинский и греческий языки,
естественную историю, чего не было в реальной гимназии, где большее внимание уделялось курсам математики, физики и естествознания. Остальные же предметы в обоих типах гимназий изучались в одинаковом объёме.

Позже такое деление было признано ошибочным в силу ранней возрастной специализации, когда дети ещё не определили свои склонности,
способности и интересы.

В конце 19 века стала складываться система дифференцированного обучения, его теоретического обоснования. Большой вклад в развитие этой темы внес педагог-просветитель В.Я.Стоюнин (1828–1888). В труде «Мысли о наших гимназиях» он говорил о том, что старших школьников нужно учить немногим предметам, но как следует. В работе «По поводу преобразования реальных гимназий» педагог писал, что математика является обязательным предметом для изучения в юношеском возрасте, так как она служит «ценным приобретением для общего развития, обращая ум на многообразность творений, и ограждает от односторонности» [40, с.46].

Проблемы дифференциации обучения интересовали педагога и психолога П.Ф.Каптерева (1849–1922), который в работе «О разнообразии и единстве
образовательных курсов» говорил о необходимости дифференциации обучения в старших классах, а ее основой считал индивидуальные особенности учащихся. При этом он учитывал психологический аспект индивидуальных
особенностей школьников.

Таким образом, к концу 19 столетия в образовании сложилась ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая наука накопила много новых идей в теории обучения, а, с другой стороны, имела место старая общеобразовательная система, не соответствующая достижениям педагогической психологии. Сложившееся противоречие привело к новой реформе в системе образования. Преобразования касались как всей системы обучения, так и обучения отдельным предметам. Особенно сильным изменениям подвергалась система обучения математике. Итогом движения за реформу образования были исторические Всероссийские съезды преподавателей по математике. Эти съезды можно считать очередным этапом в истории развития дифференциации обучения.

4.  Первый и второй съезды преподавателей математики проходили соответственно в Петербурге с 27.12.1911 г. по 13.01.1912 г., второй – ровно через два года в Москве.

На съездах ученые-математики и учителя обсуждали важные вопросы методики преподавания математики в школе. Среди видных педагогов, принявших участие в обсуждении сложившейся ситуации в
системе образования, можно назвать Н.А.Извольского, К.Ф.Лебединцева, С.И.Шохора-Троцкого.

Особый интерес представляет первый съезд. Именно на нем обсуждался вопрос разделения учебных планов и программ с целью специализации учащихся (вопрос фуркации обучения). Съезд открылся докладом А.В.Васильева «Математическое и философское преподавание в средней школе», в котором рассматривался вопрос о необходимости индивидуализации преподавания, особенно важной в старших классах. Эту мысль развил А.В.Полторацкий: «Пока у нас будет стремление нивелировать всех по одной указке, заставлять работать по одной программе, при самой лучшей программе можно не достигнуть больших результатов, но когда выпадает больше свободы в выборе у преподавателей и у воспитанников, тем лучше будут результаты» [21, том 1, с.23].

В.В.Лермантов с докладом «Содержание курса школьной математики с точки зрения современных запросов жизни и приемы для посильного выполнения школою этих требований» так же выступил в поддержку индивидуализации обучения. В своем выступлении он высказал идею о реализации индивидуального подхода, который сводится к понижению требований до уровня, доступного почти всем ученикам, с одной стороны, и, с другой стороны, – к повышению этих требований для детей, способных к математике, за счет внеклассного изучения (предложение о факультативном изучении математики).

Кроме этого, были высказаны мнения о разделении курса математики на общий, обязательный для всех, и специальный, обязательный для желающих поступать на математическое отделение физико-математического факультета или высшую техническую школу, курсы. В содержание второго должны быть введены аналитическая геометрия и математический анализ. Этого мнения придерживались К.А.Поссе и В.Б.Струве.

Приведенные примеры позволяют говорить о серьезном обсуждении
проблемы фуркации на Всероссийском съезде преподавателей математики.

В 1915 году Министерство народного просвещения, после проведения съездов, в старших классах ввело четыре отделения:

• ново-гуманитарное;

• гуманитарно-классическое;

• естественное;

• математическое.

Комиссия по математике во главе с К.А.Поссе разработала
учебные планы по математике для каждого отделения.Но их реализации помешала начавшаяся революция.

5. Пятый этап хронологически можно определить как период
   с 1917 по 1988 год.

В первые годы советской власти был провозглашен тезис о единой, трудовой и политехнической школе – это объяснялось новыми социально-экономическими положениями в стране. В 1918 году прошел Всероссийский съезд по просвещению, на котором были приняты основные документы: «Положение о единой трудовой школе» и «Основные принципы единой трудовой школы». Вопрос фуркации обсуждался в период подготовки съезда: предполагалась фуркация по трем направлениям – гуманитарному, естественно-математическому и техническому – чтобы удовлетворить склонности молодежи и облегчить выбор профессии. На съезде данная идея была подвержена жесткой критике. Основные возражения сводились к тому, что фуркация – это анархизм и пережиток прошлого.

Школа стала единообразной, одинаковой для всех учащихся. Ведущим принципом было политехническое обучение, которое включало
в себя три компонента:

• усвоение основ наук в связи с применением их на практике;

• знакомство с общими принципами индустрии и сельского хозяйства;

• практическое участие в учебно-производительном труде.

Отсюда видно, что в школе вводилось профессиональное обучение по индустриальному и сельскохозяйственному направлениям.

Вопрос о фуркации в зависимости от интересов, природных способностей и склонностей, учащихся не рассматривался почти до середины 50-х годов. В 1958 году на заседании президиума Академии педагогических наук с докладом «О введении фуркации в старших классах средней школы» выступил профессор Н.К.Гончаров. По его мнению, дифференциация служит, прежде всего, для профессиональной подготовки учащихся и является средним между
классическим и реальным образованием, позволяет обеспечить понимание
и усвоение изученного.

Он предлагал создать на старшей ступени четыре отделения:

• физико-математическое;

• химико-техническое;

• естественно-агрономическое;

• гуманитарное.

Математика была названа общим предметом для всех профилей. На каждом уровне предусматривались часы для общеобразовательных предметов и предметов, по которым идет специализация.

К началу 60-х годов в стране стала складываться сеть специализированных математических классов, что связано с потребностью в специалистах по прикладной математике; в это же время появились такие формы дифференцированного обучения, как факультативные занятия.

В начале 1988 года состоялся Пленум ЦК КПСС, посвященный вопросам образования. Был принят тезис о необходимости дифференцированного обучения, направленного на развитие индивидуальных особенностей учащихся. Идея была одобрена передовыми учителями, которые занялись разработкой концепции дифференцированного обучения. Начался современный этап
дифференциации обучения.

§2 Психолого-педагогические основы дифференцированного обучения

Одним из недостатков обучения в школьной практике была ориентация на «среднего» ученика. Всех, по существу, учили одинаково, без учета индивидуальных психологических особенностей школьников, по единым программам, в учебном процессе использовались одни и те же методы обучения, создавались единые для всех педагогические условия.

Но каждый ребенок учится по-разному за счёт различных психических качеств – старательности, усидчивости, памяти, быстроты и гибкости мышления, творческого воображения и достигает различных результатов в овладении знаниями.

При значительном «разбросе» индивидуальных особенностей учащихся учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого, и учебный процесс будет строиться в расчете на среднего ученика, который будет чувствовать себя более или менее комфортно при таком обучении. Тот, кто выходит за рамки среднего, ощущает дискомфорт.

Заинтересованность общества в создании условий для выявления задатков и развития способностей детей приводит к необходимости дифференциации обучения. Такая необходимость вытекает из задачи общества удовлетворить потребности и интересы человека. Подготовка школьников к продолжению образования в других учебных заведениях требует дифференциации обучения, особенно на старшей ступени школьного образования.

Именно по этой причине в середине 50-х годов прошлого века в нашей стране началось движение за новую реформу школьного образования. В этой связи следует отметить идеи профессора Н.К.Гончарова, который в 1958 году выступил с докладом «О введении фуркации в старших классах».

Он отмечал, что программы по многим предметам школьного цикла очень перегружены, содержат много частностей, что вызывает не только переутомление учеников, но и нарушает систему знаний, преемственность и взаимосвязь в обучении. Кроме этого, существовавшие учебные планы для 9–10-х классов противоречили возрастным особенностям старшеклассников, требованию всестороннего развития каждого молодого человека. Эти проблемы, по мнению Н.К.Гончарова, могут быть разрешены путем введения фуркации, т.е. «создание в старших классах такой системы дифференцированного обучения, которая позволяет учащемуся наряду с получением среднего образования более углубленно и основательно изучать предметы избранной им области» [36, с.7].

По наблюдениям педагога, интересы и склонности школьников начинают проявляться к 8-му классу. Именно в это время необходимо тщательно изучать и выявлять индивидуальные способности ребят с тем, чтобы с 9-го класса
перейти к дифференцированному обучению.

В связи с этим Академия педагогических наук в 1957году выступила инициатором проведения эксперимента, в котором предполагалось провести дифференциацию по следующим направлениям: физико-математическому и техническому; биолого-агрономическому; социально-экономическому
и гуманитарному.

С целью дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы в 1966 году были введены две формы  дифференциации содержания
образования по интересам учащихся: факультативные занятия в 8 – 10 классах и школы (классы) с углубленным изучением предметов, которые, постоянно развиваясь, сохранились вплоть до настоящего времени. Факультативы создавались для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам с целью развития разносторонних интересов
и способностей школьников.

Другая психолого-педагогическая основа дифференциации связана с ростом объёма знаний, необходимого для усвоения учениками. Ускоренное развитие науки приводит к непрерывному увеличению объема знаний и к росту
объёма учебного материала в школьных программах.

На протяжении четырех последних десятилетий попытки регулировать объём знаний в школьных программах не смогли приостановить или замедлить рост объема учебного материала. Объем знаний, которыми должен овладеть ученик за период обучения в средней школе, настолько велик, что недостаток времени на его изучение, и связанная с ним перегрузка учащихся
стали очевидным фактом.

Особенно велика перегрузка для добросовестных школьников со средними способностями. Ученики работают с колоссальным напряжением, что сказывается на их здоровье. Поскольку учащиеся со средними способностями
составляют большинство, то учитель, видя их затруднения в учебной работе, снижает темп и глубину изложения материала. Это ставит в невыгодное положение учеников с хорошими способностями. Последние начинают работать
без необходимого для развития напряжения, ограничиваясь по ряду
предметов только работой в классе, что тормозит развитие их способностей. Часто это сопровождается формированием отрицательных свойств личности: поверхностность, зазнайство и другие.

Наконец, темп и уровень изложения, рассчитанный на среднего школьника,  не соответствует познавательным возможностям учащихся со слабыми способностями к изучению того или иного предмета. Они, как правило, теряют веру в собственные силы и перестают работать.

Таким образом, несоответствие между объемом учебного материала
и временем, отводимым на его изучение, в сочетании с неоднородным
составом   класса   приводит   к организации учебного процесса, при которой не достигаются оптимально возможные результаты.

Особенно необходима дифференциация для выявления и наиболее полного развития детей, проявляющих особенные способности, развитие которых при обычной форме занятий проходит не в оптимальном режиме.

Многолетняя практика показала, что, начиная примерно с 15 лет, обучение должно быть построено с возможностью реализации юношами и девушками своих интересов, способностей и дальнейших жизненных планов. Педагоги и психологи получили следующие результаты исследований:

• 70% старшеклассников желают более углубленно изучать те дисциплины, в которых будут специализироваться;

• 70 – 75% учащихся к концу 9-го класса определились в выборе возможной сферы профессиональной деятельности;
• дополнительная специализированная подготовка к сдаче вступительных экзаменов в вузы восстанавливает преемственность между
  школой и вузом.

Проблема дифференцированного и разноуровневого подхода в обучении широко освещалась в литературе. Ведущую роль в раскрытии теоретических основ дифференциации обучения занимают психолого-педагогические исследования. Следует назвать работы А.Н.Леонтьева по проблемам мотивации
деятельности, дифференциации обучаемых по характеру мотивации; по индивидуально-личностным характеристикам деятельности (С.Л.Рубинштейн); по возможностям восприятия учащимися учебного материала (В.А.Крутецкий).

И.С.Якиманская в работе «Личностно-ориентированное обучение в
современной школе» отмечает важность формирования «механизма саморазвития и самореализации личности, создания условий для превращения ученика из объекта в субъект обучения» [48, с.35].

До сих пор общепринятого подхода к раскрытию сущности понятия «дифференциация обучения» не существует. Однако большинство
специалистов под дифференциацией понимают такую форму организации обучения, при которой происходит учет типологических индивидуально-психологических особенностей учащихся и особая взаимосвязь учителя и учеников. Н.М.Шахмаев указывает: «Учебно-воспитательный процесс, для которого характерен учет типичных индивидуальных различий учащихся, принято называть дифференцированным, а обучение в условиях этого процесса – дифференцированным обучением» [11, с.5]. При этом под типологическими индивидуально-психологическими особенностями понимают такие особенности школьников, на основании которых их можно объединить в группы.

В работах Г.И.Щукиной («Проблемы познавательного интереса в педагогике») дифференциация рассматривается как важнейший фактор познавательной активности обучаемых на основе развития их интереса
и познавательных потребностей.

В педагогической практике часто основой для реализации дифференциации является теория оптимизации обучения Ю.К. Бабанского. В соответствии с указанной теорией разделение  школьников на группы может осуществляться по такому показателю, как «реальные учебные возможности» учеников.

Изучение и анализ психолого-педагогической литературы показывает, что в основе современной концепции среднего образования признана идея
многообразия форм обучения и получения среднего образования в зависимости от склонностей и интересов школьников.

§3 Понятие и сущность дифференцированного обучения

С самых давних времен, говоря об образовании, стремятся подчеркнуть желание учитывать интересы учащихся, строить процесс обучения разнопрофильно, на разную группу усвоения изучаемого материала, так, чтобы цели обучения соответствовали возможностям и желаниям обучаемых и социальному заказу общества. Все это выражается в многообразных концепциях
дифференциации обучения.

В педагогической литературе под дифференциацией обучения понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность
уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Данное определение предложено Г.В.Дорофеевым, С.Б.Суворовой, П.В.Кузнецовым и является наиболее полным из всех существующих [7,с.13].

Дифференцированное обучение в полной мере соответствует понятиям гуманизации в обучении. По мнению Е.Е.Семенова и В.В.Малиновского «...гуманизация обучения означает, прежде всего, необходимость его дифференциации и индивидуализации как «дифференциации в пределе» [12, с.52]. Отвечая принципам гуманизации образования, система дифференцированного образования позволяет:

• получать учащимся радость от учебы и тем самым повышать эффективность и качество обучения;

• создать комфортную психологическую атмосферу в школе, снизив, таким образом, число конфликтных ситуаций;

• повысить социальную защищенность учащихся благодаря более высокой профессиональной подготовке.

Таким образом, при дифференцированном обучении создаются наилучшие условия, при которых ребенок получает возможность приобрести глубокие знания по изучаемым предметам, испытывает наибольший комфорт и радость при обучении, находит свою нишу и поле деятельности. Следовательно, дифференцированное обучение ведет к повышению качества знаний и уменьшению количества неуспевающих и слабоуспевающих учеников.

В «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего
образования» сформулированы основные цели дифференциации обучения,
определяемые с трех позиций:

С психолого-педагогических позиций цель дифференциации –
индивидуализация обучения, основанная на создании оптимальных условий для выявления и учета в обучении склонностей, развития интересов, потребностей и способностей каждого школьника.

Цели индивидуализации:

    – Учет индивидуальных различий для лучшей реализации общих, единых
для всех целей обучения;

    – Воспитание индивидуальности с целью противодействия нивелирования личности. Важнейшим   средством   для    достижения    второй   цели   является

предоставление учащимся возможности выбора.

С социальной точки зрения цель дифференциации – целенаправленное воздействие на формирование творческого, интеллектуального, профессионального потенциала общества, вызываемого на современном этапе развития общества стремлением к наиболее полному и рациональному использованию возможностей каждого члена общества в его взаимоотношениях с социумом.

С дидактической точки зрения цель дифференциации – решение назревших проблем школы путем создания новой методической системы дифференцированного обучения учащихся, основанной на принципиально
иной мотивационной основе.

Задачами дифференцированного обучения являются:

• организация целенаправленного процесса обучения и воспитания, сопровождающегося констатацией достижений каждым учащимся установленных государством образовательных уровней;

• обеспечение равных условий получения образования на основе выстраивания учащимися собственной образовательной траектории;
• создание эффективной системы социально-психолого-педагогического
  сопровождения образовательной деятельности, необходимой для практической реализации каждым учащимся своих интересов, способностей, творческих возможностей.

В психолого-педагогической литературе можно встретить
разнообразные подходы к классификации видов дифференциации.
Наиболее распространенная:

• по организационному аспекту обучения;
• по содержанию обучения.

Сторонники первого подхода выделяет внешкольную и внутришкольную дифференциации. Под внешкольной понимается наличие различных
типов общеобразовательных учреждений (для российской системы
образования – это гимназии, лицеи, школы с углубленным изучением
отдельных предметов). Под внутришкольной, которая подразделяется
на внешнюю и внутреннюю, понимается дифференциация, реализуемая внутри общеобразовательного учреждения.

Внешняя дифференциация затрагивает саму структуру обучения и предполагает учет особенностей учащихся посредством их объединения в отдельные группы. Она может быть реализована в различных формах:

• перераспределение обычных классов в соответствии с уровнем успеваемости учащихся и характером требований к обучению;

• организация специальных классов и школ для обучения детей, имеющих
  глубокий интерес и способности к определенной области знаний;

• организация групп, для которых учебный план приспособлен к интересам и потребностям учащихся;

• обучение по выбору (обязательному или добровольному), при котором возможно углубленное изучение обязательных предметов, изучение дополнительных предметов, факультативное изучение предметов [12, с.53-54].

Выделяют две основные формы внешней дифференциации – по интересам и по способностям.

Под внутренней дифференциацией (дифференциацией на микроуровне) понимают использование на занятиях с детьми одного класса различных методов и средств, обеспечивающих максимальное развитие способностей, склонностей, удовлетворение познавательных потребностей и интересов каждого ученика.

Разделяя дифференциацию на внешнюю и внутреннюю, рассматривают способ организации процесса обучения – предполагается или нет объединение учащихся в отдельные классы, организация специальных школ.

С точки зрения содержательного аспекта выделяют два
основных типа дифференциации:

• уровневую;

• профильную.

Уровневая дифференциация – это такая организация обучения, при которой школьники имеют возможность и право усваивать содержание обучения на различных уровнях глубины и сложности. Она основывается на планировании результатов обучения. Этот вид дифференциации характеризуется тем, что учащиеся, обучаясь даже в одном классе, по одной программе и учебнику, могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом.

Многие специалисты  фактически  отождествляют  уровневую дифференциацию с дифференциацией внутренней (внутриклассной), предполагающей учет индивидуальных особенностей учащихся посредством эффективного сочетания различных методов, организационных форм и средств обучения. Однако заметим, что в последнее время уровневую дифференциацию рассматривают в более широком смысле, связывая ее с реализацией учебных программ различного уровня. Появились и разноуровневые требования обязательного минимума содержания обучения – уровень "А" и уровень "В". Обсуждаются вопросы выделения трех уровней: уровень "А" – общеобразовательный; уровень "В" – повышенный; "С" – углубленный.

Представляется важным определить соотношение между понятиями
«углубленное обучение» и «дифференцированное обучение». В психолого-педагогической литературе термин «углубленное обучение», как правило, не используется: говорят о различных аспектах обучения в школах и классах
с углубленным изучением предметов.

При этом углубленное обучение осуществляется преимущественно
в условиях внешней дифференциации или в условиях внутренней дифференциации, ориентировано на учащихся, имеющих высокие общие способности или проявляющих специальные способности.

Профильная дифференциация связана с целенаправленной специализацией содержания образования на основе интересов, склонностей школьников, их жизненных планов и намерений.

Данный вид дифференциации предполагает обучение разных групп школьников  по  программам, отличающимся  глубиной  изложения материала, объёмам сведений и более широким спектром рассматриваемых вопросов.

Профильная дифференциация предполагает объединение учащихся в относительно стабильные группы, где учебный процесс идет по образовательным программам, различающимся содержанием, требованиями к уровню учеников.

Психолого-педагогические исследования и имеющийся опыт реализации

профильной дифференциации содержания образования показывают, что
наиболее оптимальный возраст для профильного обучения, исходя из
возрастных особенностей учащихся, – 15 лет (Х класс), т.е. возраст, когда
начинают формироваться устойчивые познавательные интересы,
профессиональные устремления и т.д.

Оба вида дифференциации – уровневая и профильная – сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдаётся профильному обучению. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться
уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых
занятий (во всех классах) и факультативов (в 8–9 классах). Эти формы
предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес
к какому-либо предмету, имеющих желание и возможность работать
больше отводимого расписанием времени.

В настоящее время дифференциация обучения рассматривается как средство осуществления профильного обучения и построения «индивидуального образовательного маршрута».

§4 Профильное обучение

а) Сущность профильного обучения.

В соответствии с распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 декабря 2001 г. №1756-р об одобрении Концепции модернизации российского образования на период до 2010г. на старшей ступени общеобразовательного школы предусматривается профильное обучение. Ставится задача создания «…системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда <…> отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Прежде всего, следует разграничить понятия «профильное обучение» и «профильная школа».

Профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в
отношении продолжения образования. Профильная же школа есть институциональная форма реализации профильного обучения, естественно форма
основная, но не единственная.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно
расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной
образовательной траектории.

Переход к профильному обучению преследует следующие цели:

• обеспечить углубленное изучение отдельных дисциплин программы
  полного общего образования;
• создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

• способствовать установлению равного доступа к полноценному
  образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их
  индивидуальными склонностями и потребностями;

• расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению
  программ высшего профессионального образования [49].

Модель общеобразовательной школы с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных вариантов комбинаций учебных курсов, которые должны обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные.

Базовые общеобразовательные курсы – курсы, обязательные для всех учащихся во всех профилях обучения.

Профильные курсы – курсы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения.

Содержание указанных двух типов учебных предметов составляет федеральный компонент государственного стандарта общего образования.

Достижение выпускниками уровня требований государственного образовательного стандарта по базовым общеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единого государственного экзамена.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют 2 функции. Одни из них могут «поддерживать» изучение основных профильных курсов на заданном профильным стандартом уровне. Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

В рамках одного из подходов выделяют следующие четыре профиля:

• естественно-математический;
• социально-экономический;
• гуманитарный;
• технологический.

б) Понятие гуманитаризации математического образования.

В связи с дифференциацией обучения, появлением школ и классов различной профильной направленности по-новому встают вопросы о месте и роли каждого школьного предмета. Одним из них является вопрос преподавания математики в классах гуманитарного профиля.

Существует мнение, согласно которому математика как учебная дисциплина необязательна для учащихся гуманитарных классов. С этим нельзя согласиться. Хорошо известно, что математика является объектом общей культуры человека. Она в равной степени нужна художнику и математику для развития рациональной (мышление) и иррациональной (ощущения, интуиция) психической функции  человека. Математика   представляет    богатые    возможности

для развития гармоничной личности.

Неправильной следует считать точку зрения, согласно которой преподаванию математики в нематематических классах отводится второстепенная роль. Наоборот, значение математического образования в этих классах больше, чем в специализированных математических классах. Объясняется это тем, что в гуманитарных классах математическое образование, как правило, завершается, а после специализированных математических классов оно продолжается
в соответствующих высших учебных заведениях.

Учащиеся на образовательном уровне обучения должны познакомиться с математикой как с общекультурной ценностью. Основной целью обучения в этих классах является выработка понимания учениками того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя.
Одновременно нужно учитывать гуманитарную направленность личности
обучаемых, что выражается в большей значимости для них вопросов мировоззренческого характера, истории математики и ее приложений в
различных сферах человеческой деятельности.

Гуманитаризация математического образования предполагает
усиление взаимосвязи естественно-математического образования с гуманитарным, то есть большее внимание уделяется практическому и прикладному
аспектам ее преподавания. Это означает, что в обучении математике акцент
ставится на общем развитии учащегося, а именно на развитие логического мышления, математической речи, пространственного мышления,
интуиции, чувства прекрасного.

Сущность гуманитарной математики в полной мере раскрывает А.В.Гладкий: «...в гуманитарной школе математика не должна быть падчерицей среди других дисциплин. Но преподавать ее следует именно в гуманитарном плане, ставя во главу угла ее общечеловеческий характер. Этим должны определяться и содержание курса, и конкретные способы преподавания. Говоря о содержании любого курса математики (независимо от особенностей школы), можно выделить три основных аспекта: логический, «образный» и технический. Для гуманитарной школы наиболее важен первый из них. Формировать понятия, строить классификацию, отделяя существенные признаки от несущественных, проводить строгие рассуждения – вот главное, чему должен
научиться в курсе математики ученик такой школы.» [29, с. 6 –7]

Иначе говоря, в гуманитарных классах нужно преподавать математику более для головы, чем для рук [29, с.13].

Глава 2. Методические особенности обучения математике
в классах гуманитарного направления профилизации

§1 Основные задачи обучения математике в классах
гуманитарного профиля

В настоящее время математика на старшей ступени школы является предметом, обязательным для всех профилей, что соответствует современным тенденциям в образовании и объясняется ее ролью в прогрессе общества,
в развитии индивидуальных качеств личности.

Стандарт среднего (полного) общего математического образования, который был утвержден Министерством образования Российской Федерации Приказом 05.03.2004 № 1089, предусматривает существование различных уровней усвоения математики: «углубленный», общий (курс В) и «гуманитарный» (курс А). Профильный курс (курс С) ориентирован на продолжение учащимися
образования в высшей школе по специальностям, требующим достаточно высокой математической подготовки в плане интеллектуального развития, владения математическим аппаратом, обеспечивающим знакомство с
особенностями математического метода и особенностями применения
математики к решению прикладных задач.

Общий курс (курс В) предназначен для школьников выбравших области деятельности, в которых математика играет роль аппарата, средства для изучения закономерностей окружающего мира (технологическое и социально-экономическое направления профилизации).

Базовый курс представляет собой продолжение курса основной школы и имеет общеобразовательный характер со значительным вниманием к интеллектуальному и общекультурному развитию учащихся.

В  рамках  базового  курса  выделяют «гуманитарный» уровень. Основной акцент в нем делается на идейной и прикладной стороне изучаемых вопросов и существенно ограничен объем используемого математического аппарата.

Создание курса, ориентированного на учеников, для которых математика является востребованным предметом, позволило разгрузить курс математики для тех, кто не планирует связывать свою профессиональную
деятельность с данной дисциплиной.

В связи с этим цели обучения математике в 10–11 классах дифференцируются в зависимости от направленности интересов учеников.

Основные задачи обучения математике в классах
гуманитарного профиля:

• формирование представлений о математике как универсальном
  языке науки, средстве моделирования явлений и процессов,
  об идеях и методах математики;

• формирование математического языка и математического аппарата
  как средства описания и исследования окружающего мира
  и его закономерностей;

• формирование и развитие у учеников морально-этических качеств
  личности, адекватных математической деятельности;

• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в высшей школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной деятельности;

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных
  дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

• воспитание средствами математики культуры личности: отношения к математике как к части общечеловеческой культуры: знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для общественного прогресса; повышение уровня владения учащимися родным языком с точки зрения правильности и точности выражения мыслей в активной и пассивной речи [5, с. 110-111].

§2 Особенности содержания курса математики в классах
гуманитарного профиля

Рассмотрим особенности содержания курса математики в классах гуманитарного направления профилизации. Специфической особенностью этого курса является его гуманитарная направленность – специальная ориентация на умственное развитие человека, на знакомство с математикой, как с областью человеческой деятельности, на формирование знаний и умений, необходимых для свободной ориентации в современном мире. При этом обязательные требования по математике совпадают с базовым уровнем подготовки
выпускников средней школы.

Гуманитарии в школе должны изучать «классическую элементарную математику» от Евклида до Ньютона – но с меньшей степенью подробности и с меньшей отработкой деталей доказательств и технического аппарата. Курс математики, ориентированный на учеников гуманитарных классов, призван знакомить школьников с ее фундаментальными положениями, имеющими общекультурную ценность и вошедшими в сокровищницу достижений человеческой мысли, предлагать изложение на доступном языке – без формальных цепочек преобразований и абстрактных умозаключений.

В Программе по математике для профилей гуманитарной направленности «Общекультурная» составляющая курса усилена за счет включения дополнительных историко-культурных и практических вопросов. В математической
составляющей выделены важнейшие понятия, которые позволяют логически завершить школьный курс математики. При этом некоторые математические вопросы, обязательные для усвоения на базовом уровне  и необходимые для создания целостного представления о предмете, но не находящие применения
в других разделах курса, выделены в программе курсивом
и даются в ознакомительном плане.

Согласно федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской Федерации на изучение математики на этапе основного общего образования отводится не менее 280 часов из расчета 4 часа в неделю. Примерная программа для профилей гуманитарной направленности рассчитана на 280 учебных часов. При этом предусмотрен резерв свободного учебного времени в объеме 30 учебных часов.

В программе по математике для гуманитарного направления профилизации на изучение содержательной линии «Алгебра» отводится 30 учебных часов, в то время как на изучение данной линии на базовом уровне отведено 40 часов. При этом в классах гуманитарного профиля дополнительно рассматриваются следующие  разделы: происхождение натуральных чисел и арифметические действия над ними; расширение понятия числа как необходимость создания
математического аппарата для решения насущных и потенциальных задач
практики человека; история возникновения отрицательных и иррациональных чисел и десятичных дробей; развитие и систематизация сведений о
действительных числах.

При изучении логарифмов не вводится формула перехода к новому основанию, взамен этого предлагается вычисление десятичных и натуральных логарифмов на калькуляторе и рассматривается применение логарифмов в реальной практике – чего нет в программе для базового уровня. В ознакомительном плане рассмотрена операция логарифмирования, понятие котангенса, формулы синуса, косинуса, тангенса суммы и разности двух углов, синуса и косинуса двойного угла, преобразование простейших тригонометрических выражений. Не изучаются формулы половинного аргумента, выражения
тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

На рассмотрение функций программой отводится 35 часов, в то время как на базовом – 30 часов. В ознакомительном плане рассмотрен раздел преобразования графиков функций: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат. Исключены такие преобразования, как симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой у=х, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Дополнительно включены следующие вопросы: сложные процессы в природе и обществе и необходимость создания специального математического аппарата – дискретных и непрерывных моделей – для их количественного описания; примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях: равномерные и равноускоренные процессы и их описание с помощью линейных и квадратичных функций; процессы экспоненциального роста. Геометрическая прогрессия как пример дискретного процесса быстрого роста; легенды о создании шахмат, сложные процессы, примеры быстрого
роста в живой и не живой природе; периодические процессы
и их описание с помощью тригонометрии.

Учащиеся классов гуманитарного профиля не знакомятся с понятием предела последовательности, понятием непрерывности функции, не изучают производные обратной функции и композиции данной функции с линейной.
В ознакомительном плане рассматриваются длина окружности и площадь круга как пределы  последовательностей; бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма; уравнение касательной к графику функции; понятие первообразной; формула Ньютона – Лейбница; вторая производная и
ее физический смысл. Взамен этого предлагается исторический материал:
создание дифференциального и интегрального исчисления; сведения
из жизни Ньютона и Лейбница.

При изучении уравнений и неравенств меньше внимания, чем на базовом уровне, уделяется решению иррациональных уравнений, вопросу применения математических методов для решения  содержательных задач  из различных областей науки и практики. Дополнительно введен раздел исторического
содержания: зарождение алгебры в недрах арифметики; Ал - Хорезми; рождение буквенной символики; история вопроса о нахождении формул корней
алгебраических выражений, неразрешимость в радикалах уравнений
степени, большей четырех.

В классах гуманитарного профиля на изучение линии «Элементы
комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отводится на 5 часов больше, чем в классах базового уровня. При этом гуманитарии лишь знакомятся с формулой бинома Ньютона, свойствами биномиальных коэффициентов, треугольником Паскаля, но дополнительно рассматривают вопрос
«От азартных игр к теории вероятностей. Ферма и Паскаль».

В курсе геометрии опускаются вопросы о площади ортогональной проекции многоугольника, о симметрии в призме и пирамиде, понятии об объеме тела, отношении объемов подобных тел, об уравнении сферы и плоскости, не рассматривается формула расстояния от точки до плоскости. В обзорном порядке изучаются: параллельное проектирование, угол между векторами, координаты вектора, скалярное произведение векторов, коллинеарные векторы, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, компланарные векторы, разложение по трем некомпланарным векторам. Дополнительно включены вопросы: от землемерения к геометрии; «начала» Евклида; сведения о Пифагоре и Фалесе; знаменитые задачи древности: трисекция угла, квадратура круга, удвоение куба; аксиомы, определяемые и неопределяемые понятия, аксиоматика в математике и в повседневной жизни; Евклидова геометрия и геометрия Лобачевского.

Таким образом, в программе по математике для гуманитарных классов больше внимания уделено вопросам мировоззренческого характера, фактам
из истории математики, описанию ее приложений в различных областях человеческой деятельности. Целью включения дополнительных сведений из
истории математики и вопросов мировоззренческого характера является
знакомство учащихся с историей развития математики, эволюцией математических идей, формирование у учащихся представлений о значимости математики для общественного прогресса. Цель включения вопросов прикладного характера – формирование у школьников представлений о применении
математике в различных областях человеческой деятельности (наука,
техника, производство, экономика и т.д.).

Курс математики для классов гуманитарного направления профилизации несколько меньше по объему по сравнению с традиционным и представляет
собой модификацию содержания базового курса на «общекультурном» уровне. Это позволяет, с одной стороны, сохранить основные разделы курса алгебры и начал анализа и стереометрии, а с другой – устранить излишнюю детализацию, исключить из рассмотрения свойства и теоремы, носящие вспомогательный
характер, тем самым сосредоточить усилия на важнейших аспектах.
Объяснение нового материала основывается на наглядных представлениях.

Таким образом, содержание курса алгебры и начала анализа и геометрии в классах гуманитарного профиля соответствует задачам обучения учащихся данного направления профилизации; обеспечивает знакомство гуманитариев с основными математическими понятиями, знание которых является элементом общей культуры человека любой профессии.

§3 Пути реализации обучения математике в классах
гуманитарного профиля

Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования», основной целью обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации является «образование с помощью математики». Поэтому необходимо выделить  психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов и, основываясь на цель математического образования в классах данного профиля и на особенности памяти, мышления и воображения гуманитариев, сформулировать методические особенности обучения математике в классах гуманитарного профиля.

Психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных классов:

1. преобладание  наглядно-образного мышления;
2. восприятие красоты математики у школьников направлено на её проявление в живой природе, в произведениях искусства, в конкретных
   математических объектах;
3. на уроке в классе гуманитарного профиля внимание может быть устойчивым в среднем не более 12 минут;
4. у гуманитариев наибольшим интересом пользуются вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал;
5. из форм работы на уроке ученики предпочитают следующие: объяснение учителем нового материала; лабораторные работы; деловые игры;
   выполнение индивидуальных заданий с привлечением
   научно-популярной литературы;
6. из методов самостоятельной работы учащиеся выбирают коллективные;
7. у гуманитариев богаче воображение, чем у математиков, сильнее
   проявляются эмоции.[38, с.24–25]

Выделим следующие методические особенности обучения математике в классах гуманитарного профиля.

1.  Изложение теоретического материала в учебниках для гуманитарных классов осуществляется на индуктивно-практической основе. Содержание учебного материала необходимо иллюстрировать чертежами и рисунками. Система упражнений должна состоять по большей части из практических и творческих заданий. В учебных пособиях важно присутствие исторического, прикладного материала, элементов философских обобщений в форме эпиграфов, высказываний классиков. По мнению И.М.Смирновой, в пособия для гуманитариев желательно включать занимательный материал,
   нестандартные задачи.
2.  Использование на уроках сведений из истории математики с целью воспитания средствами математики культуры личности у учащихся гуманитарных классов. В связи с тем, что гуманитарии с интересом относятся к историческим справкам и фактам, хорошо запоминают исторические сведения, с удовольствием готовят сообщения, перед введением нового материала целесообразно приводить факты из жизни великих людей разных эпох, которые так или иначе связаны с изучаемой темой. Кроме этого, полезно рассматривать
   историю возникновения и развития математических понятий и идей. Использование современных компьютерных технологий облегчает доступ к различным источникам информации: репродукции, потреты ученых – математиков, интересные факты из области истории математики.

Использование исторических сведений на уроке особенно важно. Во-первых, история принадлежит сфере интересов гуманитариев. Во-вторых, история любой науки ярко демонстрирует с одной стороны ее связь с конкретными практическими потребностями людей, а с другой стороны, выступает как средство духовного развития. В-третьих, часто знакомство с историческим развитием того или иного вопроса позволяет понять логику изложения этого материала, заостряет внимание учащихся на важных фактах, формирует интерес к процессу обучения, а исторические задачи и даже просто тренировочные задания из старых учебников помогут скрасить работу по формированию необходимых умений и навыков.

В курсе геометрии для гуманитарных классов нужно уделять больше внимания историческим аспектам, философским и мировоззренческим
вопросам. Предлагать исторические сведения о Лобачевском, Декарте и Эйлере; центральном проектировании – перспективе, правильных многогранниках – телах Платона, полуправильных многогранниках – телах Архимеда, конических сечениях, объеме пирамиды.

3. Применение конкретно-индуктивного подхода при введении математических понятий как средство развития абстрактного мышления
   у гуманитариев. У учеников классов гуманитарного профиля слабо развито абстрактное мышление, поэтому перед выводом формулы в общем виде следует предварительно рассмотреть пример с использование числовых значений. В случае, когда они сталкиваются сразу с выводом формулы в общем виде, учащиеся не усваивают общую идею, а, следовательно, затрудняются получить формулу самостоятельно через некоторое время. В ходе рассмотрения частного примера школьники улавливают план вывода.
4. Четкое выделение основных моментов в изучаемом материале с
   целью развития алгоритмической культуры у учащихся классов гуманитарного направления профилизации. По сравнению с учениками других профилей у «гуманитариев» наблюдается низкая избирательная способность при запоминании информации. Они стараются запомнить не способ доказательства теоремы, а все доказательство полностью. Аналогично обстоит дело и с задачами: видят решение конкретной задачи, а не прием решения задач данного типа. В связи с этим необходимо целенаправленное выделение основных моментов в учебном материале. Например, после разбора теоремы в ходе эвристической беседы в гуманитарном классе необходимо четкое выделение идеи, этапов доказательства и связное его повторение от начала до конца. Тоже касается и постоянного заострения внимания на способе решения задачи.

При формировании новых математических понятий и введении их определений важно учить учащихся видеть структуру определений (конъюнктивная, дизъюнктивная, импликативная) (см. приложение 1).

5. Иллюстрация изучаемого материала примерами и наглядными моделями является необходимым условием усвоения теоретических сведений и формирования представлений о математике как средстве моделирования реальных явлений и процессов. Учащиеся гуманитарного профиля более других нуждаются в иллюстрации теоретического материала примерами, наглядными моделями. Поэтому важно предлагать ученикам задания, требующие самостоятельного поиска или создания моделей; подбирать задачи, содержательная сторона которых соответствует реальной действительности.

Большое внимание необходимо уделять наглядности в курсе изучения стереометрии, которая является одним из дидактических принципов обучения. Возможны различные способы изготовления моделей многогранников и тел вращения из разверток и геометрического конструктора, создание компьютерных моделей фигур средствами пакетов Maple и MATLAB, построение графиков и чертежей с использованием современной компьютерной техники. Моделирование способствует развитию у школьников пространственных представлений, конструкторских способностей, формированию понятия математической модели, раскрытию прикладных возможностей геометрии, воспитанию эстетических чувств. Модели являются средством конкретной наглядности – первой стадии, которая ведет к абстрактной наглядности – чертежу. Они могут быть использованы учителем для иллюстрации новых понятий, доказательств теорем, решения задач. Развитие пространственных представлений учащихся предполагает умение правильно изображать основные геометрические фигуры и исследовать их взаимное расположение. От этого зависит успешность изучения геометрии. Поэтому много внимания уделяется вопросам изображения пространственных фигур (см. приложение 2).

6. Использование на уроке упражнений, способствующих формированию и развитию логической культуры у учащихся гуманитарных классов. Гуманитарии испытывают затруднения при переходе с обычного языка на математический. Это наблюдается при решении текстовых задач на составление уравнений и их систем, при записи условия теоремы. Например, учащиеся часто делают ошибки  при формулировке высказываний, обратных данной теореме. Чаще они получают не обратное, а противоположное утверждение. Причина в том, что под математическим термином «обратное утверждение» они понимают повседневное значение «наоборот», то есть некоторое отрицание. Кроме этого, учащиеся путают необходимые условия с достаточными, свойства и признаки данного понятия. Поэтому при работе на уроке важно раскрывать взаимосвязи между родственными понятиями, их свойствами и признаками, нацеливать учеников на их самостоятельное выделение, показывая при этом необходимость и пользу такой деятельности; осуществлять работу, направленную на правильное использование школьниками признаков и свойств понятий, их необходимых и достаточных условий.
7. Ориентация школьников на вариативность решений задач и доказательств теорем с целью развития критичности мышления у учащихся гуманитарного направления профилизации. При работе над теоремой или задачей необходимо формировать у школьников умение рассматривать все возможные случаи расположения фигур, комбинаций объектов, удовлетворяющих условию.
8. Использование на уроке материала, имеющего положительную
   эмоциональную окраску, в качестве средства мотивации гуманитариев на изучение новых теоретических сведений. Учитывая то, что учащиеся гуманитарного класса более эмоциональны и зачастую у них преобладает образное мышление, эффективным приемом начала учебного занятия является
   предложение эпиграфа к уроку, которой в образной форме представляет
   либо содержание материала, либо методы работы (см. приложение 3); набора слайдов – иллюстраций, снабженных необходимыми комментариями для
   работы на уроке.
9. Применение проблемного подхода при изучении нового материала как необходимое условие формирования познавательного интереса у учеников гуманитарных классов. С целью формирования познавательного интереса на уроках математики в классах гуманитарного профиля необходимо использование проблемного подхода в обучении.

10. Реализация на уроках межпредметных связей с гуманитарными дисциплинами. Использование связей обучения математике с предметами гуманитарного цикла, с одной стороны, является средством мотивации, с другой – способствует формированию интереса к теме урока. Реализация межпредметных связей возможна за счет проведения интегрированных уроков
    (см. приложение 4).
11.  Использование на уроках математики ИКТ как средство мотивации и формирования познавательного интереса у гуманитариев. Под информационными и коммуникационными технологиями понимают широкий спектр цифровых технологий, используемых для создания, передачи и распространения информации и оказания услуг (компьютерное оборудование, программное обеспечение, … , мультимедийные средства), а также Интернет [41, с.12]. Применение ИКТ в учебном процессе способствует развитию у учеников воображения, позволяет эмоционально воздействовать на школьников, повышает уровень наглядности при изучении новых теоретических сведений. Современная компьютерная техника и программные средства, мультимедийные технологии облегчают задачу создания дидактических материалов, сочетание компьютер – тренажер помогает повышению усвояемости изучаемого материала.

Области применения ИКТ на уроках математики:

•  иллюстрация изучаемого материала графиками, схемами,
  таблицами, чертежами, рисунками, портретами ученых – математиков, фотографиями;
•  использование графических редакторов (Corel Draw) и прикладных пакетов (Maple, MATLAB) для создания моделей геометрических фигур;
•  проведение уроков с использованием презентаций;
•  организация лабораторных практикумов и экспериментов;
•  создание электронных учебных курсов по изучению отдельных тем учебной программы;
•  проведение расчетов и решение задач с помощью ЭВМ;
•  организация виртуальных экскурсий на внеклассных математических мероприятиях с целью знакомства с применением математики в архитектуре, искусстве (см. приложение 5);
•  автоматизация процесса проверки и оценивания знаний и умений школьников (проведение компьютерного тестирования) (см. приложение 11 на электронном носителе) [41, с.106 – 107].

12. Проведение внеклассных математических мероприятий в соответствии с интересами учеников гуманитарных классов. Формирование интереса к математике  возможно за счет проведения внеклассных математических мероприятий, реализованных в форме экскурсий, виртуальных экскурсий.

Можно организовать подобные пешеходные экскурсии по своему городу, а если такой возможности нет, то помогут современные компьютерные
технологии и Internet, позволяющие прямо в классе отправиться в увлекательное и познавательное виртуальное путешествие  в  любую  точку  нашей страны

или земного шара (см. приложение 5).

13. Организация элективного курса или факультатива, раскрывающего гуманитарный потенциал математики, ее применение в архитектуре,
    искусстве. Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, возможно предложить элективный курс или факультатив по математике.

Темы элективных курсов по математике для учащихся классов гуманитарного профиля: «Мировоззренческие аспекты математики», «Геометрия и искусство», «Фигурные числа». Возможные темы факультативов: «Математика и лингвистика», «Фракталы: геометрия и искусство», «Союз математики и эстетики» (см. приложение 6).

Проблема мотивации при обучении математике в классах гуманитарного направления профилизации должна выйти на первый план. Почему возникла необходимость изучать данный вопрос именно сейчас? Почему мы не можем решить данную задачу, и каких знаний нам не достает? Все эти вопросы необходимо ставить при введении новой темы. Яркие факты, интересные сведения, личные наблюдения учащихся, парадоксы, проблемные вопросы и ситуации – все это является неотъемлемой частью уроков для гуманитариев.

Среди методов обучения математике учащихся гуманитарных классов необходимо особо отметить объяснительно-иллюстративный метод, деловые игры, лабораторные работы, исследовательские и творческие работы, микроисследовательские практикумы (см. приложение 7).

В качестве методов учебной деятельности разработаны следующие: устная работа как необходимое условие формирования и развития диалоговой культуры учащихся; различные виды дискуссий на уроках при решении задачи или поиске доказательства теоремы; индивидуальные задания; работа с научно-популярной литературой; подготовка докладов и сообщений.

Полезно использовать работу со словарем. Знакомство с
этимологией слова, нахождение более известных и понятных
однокоренных слов способствует более полному пониманию смысла математического термина (рекуррентный, коммутативный, дифференцирование, интегрирование и др.). Интересны также случаи неправильного перевода некоторых терминов (например, «корень»).

Рекомендуется форма обучения математике путем образно-эмоционального воздействия на учащихся: задания с разнообразной подачей условия; использование для самопроверки правильного ответа соответствия между числами и буквами – «кодированные ответы» (что, кроме всего прочего, способствует развитию функционального мышления), кратких и популярных рассказов об известных людях, переданных в форме вопросов и математических заданий. Ученики сами с удовольствием составляют подобные
задания – это способствует обобщению, повторению изученного материала, развитию творческих способностей.

Использование разнообразного материала, учитывающего интересы каждого школьника, способствует повышению интереса и желания учащихся заниматься математикой. Опираясь на этот интерес и желание, можно преодолеть трудности обучения.

Проиллюстрируем конкретными примерами некоторые из сформулированных методических особенностей обучения математике в классах
гуманитарного направления профилизации.

Рассмотрим урок, при проведении которого используются сведения из истории математики (способы вычисления объёмов, справка о Лейбнице), осуществляется связь обучения математики с литературой и русским языком
(эпиграф к уроку, работа со словарем,  используются роман Л.Н. Толстого «Война и мир» и роман Е.А. Замятина «Мы»).

Пример 1. Тема урока: «Интеграл».

Цель:

• Познакомить учащихся с новым понятием «интеграл» и со сферами его применения.
• Формирование у школьников представлений о том, что «математика – наука для описания окружающей действительности».

1. Мотивация учебной деятельности.

1. Эпиграф к уроку (записан на доске).

                                                                               В одном мгновенье видеть вечность,

                                                                              Огромный мир – в зерне песка,

                                                                              В единой горсти бесконечность

                                                                             И небо в чашечке цветка.

                                                                                   (Ульям Блейк, перевод С.Я. Маршака)

Ульям Блейк (1757 – 1827) – английский поэт и художник. Сборники «Песни невинности»(1789), «Песни опыта»(1794), «Пророческие книги» (1789 – 1820) в мифических и библейских образах отразили события Великой французской революции и американской борьбы за независимость. Для поэзии Блейка, а также для его иллюстраций к собственным книгам и к «Божественной комедии» Данте, характерна романтическая фантастика, философская аллегория.

2. Слово учителя.

На сегодняшний урок я принесла, казалось бы, несовместимые вещи:
лимон, роман Л.Н. Толстого «Война и мир», роман Е.А. Замятина «Мы»,
портреты миланского монаха, английского физика, немецкого философа. Тем не менее, все это имеет отношение к нашему сегодняшнему уроку.

3. Демонстрация интегральных сумм. Постановка проблемы.

Предположим, что нам нужно вычислить объем лимона. Он имеет неправильную форму, и применить какую-либо известную формулу объема нельзя.

Можно найти объем с помощью взвешивания и использования формулы , где m - масса лимона, p - его плотность, но плотность лимона в
разных частях разная.

Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку можно приближенно считать цилиндром с малой высотой. Объем такого цилиндра легко вычислить по известной формуле  , где R - радиус цилиндра, H – высота цилиндра. Сложив объемы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объема всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы разрежем лимон.

Этот способ вычисления объемов предложил еще в 3 веке до нашей эры Архимед. Гениальный ум древнего грека предвосхитил многие открытия 17–18 веков. Среди почитателей таланта Архимеда был и член монашеского ордена Бонавентура Кавальери.

4. Историческая справка о Бонавентура Кавальери.

2. Изучение нового материала.

Изложение материала ведется в соответствии с учебником А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа 10 – 11 кл.»

                   Задача 1 (о площади криволинейной трапеции).

Дана фигура, ограниченная графиком функции f , прямыми x=a  и  x=b   и осью Ох (она называется криволинейной трапецией). Найти ее площадь.

                  Задача 2 (о перемещении точки).

По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости движения от времени выражается формулой V=V(t). Найти перемещение точки за промежуток времени.

                   Задача 3 (о вычислении массы стержня).

Дан прямолинейный неоднородный стержень, плотность, которого в точке вычисляется по формуле . Найти массу стержня.

5. Обобщение рассматриваемых задач.

Подведем итоги. Четыре задачи, разные по смыслу, решались с использованием одной и той же схемы рассуждений (а таких задач больше, чем четыре).

Значит нужно создавать математическую модель задачи и изучать ее.

Что это значит? Что для этого надо делать?

• присвоить ей новый термин;

• ввести для нее обозначение;

• научиться с ней работать.

Определение.

Итак, в ходе решения задач мы рассматривали предельное значение суммы произведений. В математике доказано, что этот предел существует, и называется он определенным интегралом от функции f на отрезке от а до b.

Обозначают: , где f(x) – подынтегральная функция, dx – дифференциал, а и b пределы интегрирования.

6. Работа с термином (этимология) и символикой.

Заглянем в словарь. Слово интеграл происходит от латинского слова
integer – целый.

В русском языке слово «интеграция» означает восстановление, восполнение, воссоединение, то есть процесс, ведущий к состоянию связанности
отдельных частей в целое.

Символ – стилизованная буква S – cумма;

f(x)dx – напоминание о слагаемых, из которых состоит сумма.

7. Как вычислять?

Математики ввели новое понятие и не могли обойти вопрос о его «количественном наполнении». Для этого была доказана следующая теорема.

Теорема. Если функция f(x)непрерывна на отрезке [a;b],то справедлива формула

= F(b) – F(a),

где F(x)– первообразная для f(x).

3. Первичное осмысление и закрепление.

        1) Вычислить интегралы и соответствующие буквы, расположенные справа от задания, занести в таблицу ответов. Получите при этом имя автора теоремы.

                       Е

                                            Б

                             Л

                                  Н

                                   П

                Й

                                            И

                       Ц

Ответ: Лейбниц.

        2) Историческая справка о Лейбнице.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716).

Математика не была единственной его страстью. С юных лет ему хотелось познать природу целиком, и математика должна была стать решающим средством этого познания. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем.

Научные и общественные его планы были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок.

Но реальная жизнь вносила коррективы в грандиозные планы. Он не смог организовать всемирную  академию, но в 1700 году организует академию в Берлине, рекомендует Петру 1 организовать академию в России. При организации в Петербурге в1725 году академии наук, пользовались планами Лейбница.

Он прекрасно умеет решать конкретные математические задачи. Но все же Лейбниц всегда стремится рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работами Паскаля, он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий универсальный метод и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на глазах его была пелена».

Лейбниц создает интегральное и дифференциальное исчисление, которые были
построены, но не опубликованы Ньютоном.

Ученый, занимающийся разработкой универсального языка, понимает, какую
роль играет символика. Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме,
предложенной Лейбницем) методы математического анализа не вышли бы за
пределы узкого круга специалистов.

Судьба сыграла с этим человеком, злую шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбница и его постоянное стремление к согласованию спорных взглядов, в последние годы жизни он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве в деле создания дифференциального исчисления. Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками обоих ученых. А правда была в том, что первые результаты получил Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собственным путем. Кроме этого, результаты Лейбница стали известны ученым раньше и раньше
опубликованы. Упомянутый спор отравил остаток жизни Лейбница и когда он умер,
за его гробом шел только один друг.

Правда, справедливость восторжествовала, знаменитая формула о вычислении определенного интеграла носит имя Ньютона-Лейбница.

4. Подведение итогов урока.

            1)Почему в эпиграфе взят именно этот отрывок?

Он удачно иллюстрирует идею интегрирования – замену одной большой величины суммой бесконечного количества малых.

               Сумма мгновений – вечность;

               сумма зерен песка – огромный мир;

               сумма горстей – бесконечность.

       2) Л.Н. Толстой «Война и мир» Эпилог.

«Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей и, достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории».

         3) Е.А. Замятин «Мы».

«Через 120 дней заканчивается постройка Интеграла. Близок великий, исторический час, когда первый Интеграл взовьется в мировое пространство. Тысячу лет назад ваши  героические  предки  покорили власти Единого государства весь земной шар. Вам предстоит более славный подвиг: стеклянным, электрическим, огнедышащим Интегралом проинтегрировать бесконечное уравнение Вселенной. Вам предстоит благодетельному игу разума подчинить неведомые существа, обитающие на иных планетах – быть может еще в диком
состоянии свободы. Если они не поймут, что мы несем им математически безошибочное
счастье, наш долг заставить их быть счастливыми». [53]

Рассмотрим применение метода иллюстрации теоретического материала объектами и моделями окружающего мира и использования на уроках упражнений, направленных на формирование у школьников умений «переходить» с обычного языка на математический и наоборот.

Пример 2. На уроке, посвященном изучению основных фигур стереометрии, важно, чтобы учащиеся представляли себе эти понятия не только как
абстрактные объекты, удовлетворяющие некоторым аксиомам, но и понимали, что они являются идеализацией объектов реального мира. Точка является
идеализацией очень маленьких объектов, то есть таких, размерами которых можно пренебречь. Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити. По прямой распространяется луч света. Плоскость – это идеализированная поверхность зеркала, стола или ровной глади озера. Здесь же необходимо вспомнить обозначение точек и прямых, которые были приняты в курсе планиметрии. Полезно записать эти обозначения в виде таблицы

[38,с.42 – 43].

Рассмотрим применение проблемного подхода в обучении при изучении признака параллельности двух плоскостей.

Пример 3. Учащимся уже известен признак параллельности прямой и плоскости, в соответствии с которым прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости. Естественно предположить, что для параллельности плоскостей достаточно, чтобы прямая (a), лежащая водной из них , была параллельна прямой (b), лежащей в другой плоскости . (рис.1)

Однако использование контрпримеров, в частности, окружающих нас моделей, убеждает в неправомерности подобного вывода: при  плоскости  и  не будут параллельны.

Тогда предположим, что, если , , причем , , то плоскости  и  будут параллельны (рис.2).

Но, используя контрпримеры, легко свести этот случай к предыдущему и сделать вывод, что при указанных
условиях плоскости не будут параллельны.

          Учитывая, что возможны лишь три варианта взаимного расположения двух прямых в плоскости (совпадение, параллельность, пересечение) рассмотрим третью возможность и предположим, что две пересекающиеся прямые
одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны (рис.3).Поиск контрпримеров, отвергающих такую возможность, результатов не дает. Поэтому такое предположение можно считать  обоснованным. Формулируем гипотезу  и строим ее доказательство. Доказательство
подтверждает верность предположения. Формулируем признак параллельности плоскостей [43, с.66 – 68].

В качестве примера реализации межпредметных связей на уроках математики рассмотрим применение логарифмов в музыке.

Пример 4. «Логарифмы в музыке».

                                                          … Даже изящные искусства питаются ею.

                                                            Разве музыкальная гамма не есть

                                                             Набор передовых логарифмов?

                                                                           Из «Оды экспоненте»

Музыканты редко увлекаются математикой; большинство из них питают чувство уважения к ней. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно Сальери у Пушкина «алгеброй гармонию», – встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и при том с такими «страшными» вещами, как логарифмы.

Известный физик Эйхенвальд вспоминал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. «Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, – но ведь пифагорова-то гамма для нашей музыки и оказалась
неприемлемой». Представьте же себе, как неприятно  был поражен мой
товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря на логарифмах…»

И действительно, так называемые ступени темперированной
хроматической  гаммы (12 - звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2
(а не 10, как принято в других случаях).

Положим, что ноте «до» самой низкой октавы – будем ее называть нулевой – соответствует частота, равная n колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний нижнего звука в два раза меньше верхнего, то есть эти частоты соотносятся как 1:2. Тогда ноте «до» первой октавы будут соответствовать 2n колебания в секунду, а ноте «до» третьей октавы –  колебания в секунду
и т.д. Обозначим все ноты хроматической гаммы номерами p. Тогда высоту, т.е. частоту, любого звука можно выразить формулой

.

Логарифмируя это выражение, получаем

, .

Принимая частоту самого низкого «до» за единицу (n=1) и приводя
все логарифмы к основанию 2, имеем

.

Задача. Решите уравнение: ,   x>1

Решение. Данное уравнение равносильно следующему

;

тогда  

Ответ: . [10, с.63]

Примеры реализации других методических особенностей при обучении математике в классах гуманитарного профиля смотрите в приложении.

§4 Цели, задачи, содержание и результаты опытной работы

Опытная работа проведена в МБОУ «ПЛ № 24» г. Рубцовска в 11 «А» классе  в 2014 -2015 учебном году

Цель опытной работы: выяснить приемлемость разработанной методики обучения математике в классах  гуманитарного направления профилизации и ее влияние на качество усвоения школьниками знаний.

Задачи:

• разработать содержание уроков с учетом выделенных методов обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации

и реализовать их на практике;

• выявить доступность для учащихся рекомендованных
  приемов преподавания.

Методы исследования:

• анализ учебно-методической литературы;
• наблюдение за работой учащихся;
• анализ устных ответов учащихся;
• анализ проверочной работы.

Критерии оценивания достижения поставленных задач:

• уровень усвоение учащимися знаний по теме;
• влияние применяемых методов обучения на успеваемость учащихся.

Мною было проведено 10 уроков по следующим темам: «Показательная функция, ее свойства и график», «Решение показательных уравнений».

На уроке изучения нового материала по теме «Показательная функция и ее свойства» учащиеся работали по следующему плану:

1. Построение графика функции  с помощью составления
   таблицы значений функции.
2.  Построение графика функции  с помощью составления
   таблицы значений функции.
3.  Введение понятия показательной функции. Выяснение свойств показательной функции по ее графику.

Ученики вместе с учителем выясняют по графикам следующие свойства показательной функции:

1. Область определения функции.
2. Область значения функции.
3. Промежутки монотонности функции.
4. Нули функции.

Результаты помещаются в таблицу:

Свойства функции

Учащиеся формулируют общие свойства показательной функции при 0и при  a>1:

1. ;

2. ;

3. При  x=0   y=1. (График функции проходит через точку с координатами (0; 1)).

4. История показательной функции.

До начала XVII в. в математике избегали применять дробные и отрицательные показатели степени. Только в конце XVII в. в связи с усложнением математических задач появилась необходимость распространить область определения показателя на все действительные числа. Обобщение понятия степени , где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию () на множестве действительных чисел

Л.Эйлер в двух главах «Введения в анализ» описал «показательные и логарифмические количества». Он писал «Показательные количества разнообразны, смотря по тому, будет ли переменным количеством один только показатель или, кроме того, ещё и само возвышаемое количество. К первому роду относится , ко второму».

Замечательным достижением Эйлера в этой области было открытие связи между показательной и тригонометрическими функциями. Он установил:  (в математике  – «мнимая» единица).

5. Справка о применении показательной функции в науке и практике.

Показательная функция имеет важное применение в науке и технике. Многие явления природы можно выразить посредством функции :

1. Процесс распада радиоактивных веществ (радий, радон, уран и другие) выражается формулой , где m – масса вещества в рассматриваемый момент времени t, M – 

первоначальная масса вещества, T – период полураспада (для урана 4,56 млрд. лет, для радия – 4590 лет и др.);

2. Закон размножения бактерий имеет вид , где  – масса первоначального количества бактерий, t – прошедшее время, k – коэффициент размножения.
3. Закон зависимости атмосферного давления от высоты местности над уровнем моря имеет вид , где h – высота над уровнем моря в метрах.
4. Количество дрожжей, полученных через t часов после брожения, выражается
   формулой , где  – количество дрожжей в начальный момент времени,
   m – некоторый коэффициент.

6. Выполнение практических заданий по теме.

На втором уроке по данной теме мною был проведен устный опрос изученного материала, предлагались следующие задания:

1. Сформулируйте определение показательной функции.
2. Постройте схематически график показательной функции при основании степени, большем 1; при основании степени, большем 0, но меньшем 1.
3. Опишите свойства функции, используя ее график.

При выполнении этих заданий учащиеся не испытывали трудности; они хорошо усвоили зависимость монотонности функции от значения основания степени и тот факт, что график всякой показательной функции, заданной в стандартной форме, проходит через точку с координатами (0;1). Все это свидетельствует о высоком уровне усвоения нового материала школьниками.

После ученики выполняли письменно тест по теме «Показательная функция, ее свойства и график» (см. приложение 8). Результаты тестирования: из 22 учащихся отметку «5» получили 17 школьников, отметку «4» – три ученика, отметку «3» – два ученика.

При изучении темы «Решение показательных уравнений» мною была
составлена таблица-памятка «Алгоритм решения показательного уравнения» (см. приложение 9). Необходимость составления такой памятки объясняется тем, что гуманитариям очень сложно ориентироваться в большом количестве разных видов уравнения, а точнее в способах их решения. Кроме
этого, учащиеся гуманитарных классов не всегда хорошо усваивают
алгоритм выполнения упражнений.

При изучении данной темы группа учащихся из пяти человек выполняла творческое задание – готовили сообщение по теме «Показательная функция и ее применение в экономике, физике и биологии».

После изучения темы была проведена самостоятельная работа (пять вариантов по пять заданий в каждом варианте; критерии оценивания: отметка «5» – верно выполнены все задания, отметка «4» – верно выполнены четыре задания, отметка «3» – верно выполнены три задания, «2» – верно выполнено менее трех заданий), результаты которой следующие: из 23 человек отметку «5» получили 10 учащихся; отметку «4» – 10 учеников; отметку «3» – 3 школьников. Ошибки в работах объясняются невнимательностью учащихся и недостаточно хорошо сформированными вычислительными навыками (деление, умножение чисел, вынесение за скобку общего множителя).

(Содержание остальных вариантов самостоятельной работы
смотрите в приложении 10.)

Основываясь на результатах тестирования, самостоятельной работы,
беседы с учениками и наблюдения за их учебной деятельностью на уроке,
уровень усвоения учащимися знаний по темам «Показательная функция,
ее свойства и график» и «Решение показательных уравнений»,
можно представить в виде таблицы:

Если же говорить о влиянии применяемых методов обучения на качество знаний школьников, то перед проведением опытной работы процентное
соотношение между числом учеников, занимающихся на отметку «5», «4» и «3», выглядело следующим образом:

результаты по окончании проведения опытной работы таковы:

Полученные данные свидетельствуют о приемлемости разработанной
методики обучения математике в классах гуманитарного направления
профилизации и дают право сделать вывод о том, что гипотеза исследования подтвердилась – повысилось качество знаний учащихся, ученики стали
проявлять больший интерес к изучению математики.

Заключение

Изучение психолого-педагогической, математической и методической литературы, опыта работы учителей математики и собственного
опыта во время прохождения педагогической практики в школе
позволяют сделать следующие выводы:

1. Исходя из принципов построения дидактической системы, целью обучения математике в классах гуманитарного направления профилизации является «образование с помощью математики».
2. Усиление «Общекультурной» составляющая курса математики для профилей гуманитарной направленности осуществляется за счет включения дополнительных историко-культурных сведений и практических заданий.
3. Большое внимание в преподавании математики в гуманитарных классах
   уделяется вопросам мировоззренческого характера, фактам из истории
   математики, описанию ее приложений в различных областях
   человеческой деятельности.
4. Использование наглядных моделей и проблемного подхода на уроках
   математики в классах гуманитарного профиля способствует
   формированию у учащихся познавательного интереса.
5. Наиболее важным в классах гуманитарного профиля является этап мотивации изучения нового материала, так как дальнейшая деятельность гуманитариев никак не связана с математикой. Средствами мотивации могут выступать: исторических экскурсы; обращение к происхождению того или иного термина, которым обозначается математический объект (особенно актуально в классах филологического профиля, где основное внимание уделяется углубленному изучению языков); материал, имеющий положительную эмоциональную окраску; использование ИКТ (презентация по теме урока, портреты ученых – математиков, чертежи и рисунки, модели изучаемых фигур, созданные средствами пакетов Maple или MATLAB, графики функций,
   построенные с помощью табличного процессора Excel, программы
   Advanced Grapher).
6. Формирование у школьников интереса к математике возможно за счет проведения внеклассных мероприятий, организации факультативов.
7. Учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике целесообразно предложить элективный курс, содержание которого должно иллюстрировать связь математики с окружающей жизнью и гуманитарными дисциплинами.

Список литературы

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-ориентированный курс. – М.: Школа-Пресс, 1999. – 160с.
2. Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения:   Общедидактический аспект.– М.: Педагогика, 1977. – 96с.
3. Белобородова С.В. Об историко-генетическом методе на уроке математики.//Математика в школе – 1999. – №6 – С. 7–10.
4. Белобородова С.В. Педагогическое значение истории математики на примере становления понятия логарифмов.//Математика в школе. – 2003. – №9 –
   С. 65–70.
5. Васильева Т.Б., Иванова И.Н. Математика. Содержание образования: Сборник нормативно-правовых документов и методических материалов. – М.: Вента-Граф, 2007. – 160с.
6.  Вергазова О.Б. Симметрия древнерусского орнамента.// Математика в школе. – 2007. – №6 – С.44–49.
7. Владимирцева С.А. Теория и методика обучения математике. Общая методика. – Барнаул: Изд-во БГПУ. – 2005. – 158с.
8. Влазнер А.И. Профильное обучение: варианты решения // Профильная школа. – 2004. – №2. – С. 39–41.
9. Волошинов А.В. Математика и искусство.– М.: Просвещение,
   2000. – 300с.
10.  Волошинов А.В. Союз математики и эстетики.// Математика в школе. –

– 2006. – №7 – С. 62–66.

11. Выгодский Л.С. Избранные психологические исследования. – М.: Педагогика, 1956. – 95с.
12. Гнеденко Б.В., Черкасов Р.С. О преподавании математики в предстоящем тысячелетии.//Математика в школе. – 1996. – №1 – С. 52–54.
13. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учеб. Пособие. – М.: Логос, 2004. – 160с.
14. Дмитриева О.А., Велиховская В.Л. Геометрические экскурсии по Петербургу и его окрестностям.// Математика в школе. – 2007. – №9 – С. 12–24.

15. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. – М.: Аякс, 1999. –.150с.
16. Зеленцов Б.П. Обучающий словарь по математике.//Математика в школе
    – 2000. – №5 – С. 43–45.
17. Калашников А.Г. Проблемы политехнического образования.//Избр. Труды. – М.: Педагогика. – 368с.
18. Карпушина Н.М. Любимая книга глазами математика (использование математики в литературе).//Математика в школе. – 2004. – №8 – С. 19–20.
19. Кравченко Т.В. Технология уровневой дифференциации в личностно- ориентированном обучении математике.//Математика в школе. – 2007. – №1 – С. 7–15.
20. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. – М.: Учпедгиз, 1951. – 120с.
21. Лобачевский Н.И. О важнейших предметах воспитания.// Математика в школе. – 1977.– №2 – С.42–44.
22. Макарова М.А. Приёмы работы с учащимися «нематематического уровня».//Математика в школе. – 1999. – №4 – С. 24–25.
23. Миронова Г.В. Приёмы активизации учебной деятельности на уроках математики.//Математика в школе. – 1994. – №5 – С. 12–15.
24. Носова О.Л. Как учить математике «гуманитариев». // Математика в школе. – 2007. – № 2 – С. 71–73.
25. Пашкина О.А. Программа интегрированного курса «Литература-Математика».// Математика в школе – 1996. – №4 – С. 50–55.
26. Перькова О. Встреча с Пушкиным на уроках математики.//Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 1999. – №17 – С. 2–7.
27. Пичурин Л.Ф. Математика – гуманитарная наука.// Математика в школе – 2002. – №6 – С. 8–11.
28. Полякова Т. Использование литературы в обучении математике. //Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 1996. – №1 – С. 6–7.
29. Розов Н.Х. Гуманитарная математика.//Вестник Московского университета. Сер.20. Педагогическое образование. – 2004. –№2 – С. 3–13.
30. Розов Н. Гуманитарная математика. //Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 2004. – №21 – С. 9–12.
31. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики.//Математика в школе.–1995. – №5 – С. 36–38.
32. Смирнова И.М. Геометрия в гуманитарных классах.//Математика в школе.– 1994. –№2 – С. 33–39.

33. Смирнова И.М. Геометрия в гуманитарных классах.//Математика в школе.– 1994. – №4 – С. 41–47.
34. Смирнова И.М. Геометрия в гуманитарных классах.//Математика в школе.– 1994. – №5 – С. 36–40.
35. Смирнова И.М. Геометрия для гуманитариев. //Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 1995. – №42 – С. 9–10.
36. Смирнова И.М. Исторические аспекты дифференциации обучения. //Математика (приложение к газете «Первое сентября»).–2000. – №44 – С. 1–8.
37. Смирнова И.М. Методические рекомендации по изучению геометрии в гуманитарных классах. //Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 2000. – №34 – С. 24–29.
38. Смирнова И.М. О преподавании геометрии в гуманитарных классах.//Математика в школе.– 1994. – №1 – С. 42–45.
39. Стоюнин В.Я. Избранные педагогические сочинения. – М.: Педагогика, 1991, 368с.
40. Стройк А.Я. Краткий очерк истории математики. – М.: Наука,
    1990. – 210с.
41. Тевс Д.П., Подковырова В.Н., Апольских Е.И., Афонина М.В. Использование современных информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе. – Барнаул: БГПУ, 2006. – 111с.
42. Халипова Т. Современные идеи гуманизации и гуманитаризации образования на уроках математики. Возможно ли это? //Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 2000. – №48 – С. 1, 2, 32.
43. Шапиро И.М. Практикум по дидактике математике. Учебное пособие.– Барнаул: изд. БГПУ, 1997. – 112с.
44. Шестакова Л.Г. Как повысить логическую культуру учащихся гуманитарных классов.//Математика в школе. – 1999. – №5 – С. 90–95.
45. Шестакова Л.Г. Математика в гуманитарном классе. //Математика в школе. – 1996. – №1 – С. 10–13.
46. Щукина Г.И. Проблемы познавательного интереса в педагогике. – М.: Педагогика, 1971. – 256с.
47. Элективные курсы в профильном обучении. // Министерство образования РФ – Нац. Фонд подготовки кадров.– М.: Вита-Пресс, 2004. – 144с.
48. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. – М.: Педагогика, 1996. – 96с.
49. http://informatika.moipkro.ru/Dokuments/konz_prof.htm Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования.
50. http://www.vologda.edu.ru/cpk/novosti/3-1.doc Элективные курсы: требования к разработке и оценка результатов обучения.
51. http://www.college.ru/modules.php?name=Teacher¶m=viewlink&cid=189 Павлова С.Н. Программа элективного курса для учащихся гуманитарных профилей 10-11-х классов «Мировоззренческие аспекты математики».
52. http://festival.1september.ru/index.php?numb_artic=415116 Лабораторная работа по геометрии.
53. http:// festival.1september.ru/article.php?ID=200204003 Брагина Е. Л. Урок математики в гуманитарном классе.
54. http://www.sidorova.21420s11.edu.ru/DswMedia/udivitel-nyimirsimmetrii.doc Интегрированный урок: математика + биология + физика + изобразительное искусство + музыка + литература по теме «Этот удивительный
    мир симметрии».