Методические особенности обучения учащихся решению уравнений в курсе алгебры 8 класса
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) по теме

 «Методические особенности

обучения учащихся решению уравнений

в курсе алгебры VIII класса»

Учитель: Агеева Ю. В.

В VIII классе изучение уравнений представляет собой одну из важнейших задач курса алгебры, в котором учащиеся овладевают умением решать ещё два вида уравнений – квадратные и дробно-рациональные.

Решают уравнения на основе тождественных преобразований и свойств равенств.

Первый вид уравнений, с которыми знакомятся учащиеся в учебнике VIII класса под редакцией С. А. Теляковского  – это уравнение x2 = a, где a – произвольное число.

Для его решения учащимся необходимо помнить 3 правила:

1) если a < 0, то уравнение x2 = a корней не имеет;

2) если a = 0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю;

3) если a > 0, то уравнение имеет два корня:  

В курсе алгебры VIII класса важное место отводится изучению квадратных уравнений. Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с её помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений.

В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Во всех современных школьных учебниках алгебры и термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, а именно: «квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c -  некоторые числа, причем a  0», что обязывает организовывать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Поэтому в первую очередь учителю важно сформировать само понятие «квадратное уравнение» и место коэффициентов в нем.

Первый тип квадратных уравнений, с которыми учащиеся знакомятся в учебнике алгебры VIII класса под редакцией С. А. Теляковского, - неполные квадратные уравнения.

С решением неполных квадратных уравнений учащиеся уже встречались, причем не один раз. Поэтому необходимо привести в систему и отработать нужные навыки.

Итак, различают 3 основных вида неполных квадратных уравнений:

1) ax2 + c = 0, где ;

2) ax2 + bx = 0, где    

3) ax2 =  0.

Рассмотрим алгоритм решения каждого из этих видов уравнений.

1. Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2 + c = 0 при  поступают следующим образом:

1) переносят его свободный член в правую часть;

2) делят обе части уравнения на a;

3) решают получившееся уравнение вида

При этом возможны 2 случая:

а) если  > 0, то уравнение имеет два корня: ;  

б) если  < 0, то уравнение не имеет корней.

4) записывают ответ.

Замечание: случай, когда  = 0 быть не может, так как   

2. Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2 + bx = 0, где  поступают следующим образом:

1) раскладывают его левую часть на множители;

2) решают получившееся уравнение, используя правило: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю;

3) записывают ответ.

Замечание: неполные квадратные уравнения вида  ax2 + bx = 0, где  всегда имеют два корня.

3. Неполное квадратное уравнение вида ax2 = 0 равносильно уравнению x2 = 0 и имеет единственный корень 0.

Далее учащиеся решают квадратные уравнения способом выделения квадрата двучлена, который необходим для подготовки учащихся к осознанному восприятию вывода общей формулы корней. Но вырабатывать навык выделения квадрата двучлена здесь не предполагается. В связи с этим задерживаться на изучении данного пункта нецелесообразно.

Принцип решения квадратных уравнений этим способом можно описать так:

1) выделить в данном квадратном уравнении полный квадрат двучлена;

2) решить получившееся уравнение вида (x - a)2 = b, где a и b - некоторые числа, алгоритм решения которого учащимся известен (о нем мы говорили выше);

3) записать ответ.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям, поэтому учащихся знакомят с «универсальным» способом решения квадратных уравнений по формуле.

При выводе формулы корней квадратного уравнения важно, чтобы учащиеся поняли, что мы действуем точно так же, как и при решении конкретного квадратного уравнения. Фактически мы решаем квадратное уравнение общего вида. Можно поступить следующим образом: записать в столбик решение какого-нибудь квадратного уравнения, например, 2x2 + 3x + 1 = 0,  и затем параллельно, шаг за шагом, провести вывод формулы корней.

Заметим, что вывод формулы корней относится к числу трудных вопросов школьного курса математики. Поэтому в слабом классе можно ограничиться предъявлением этой формулы, разъяснением ее значимости и удобством, после чего перейти к решению уравнений.

Важно, чтобы учащиеся понимали структуру формулы и хорошо усвоили алгоритм вычисления корней. На первых уроках формула обязательно должна быть перед глазами учащихся, а запомнить ее они смогут постепенно, в процессе многократного применения. Если учитель сочтет целесообразным, то он может разрешить пользоваться справочным материалом постоянно.

При выводе формулы корней никаких ограничений на коэффициенты не накладывалось (кроме условия  0), то есть подставлять в нее можно любые числа. Однако есть смысл разъяснить учащимся, что при решении уравнений с отрицательным первым коэффициентом удобнее поменять знаки всех членов уравнения на противоположные. Точно также, целесообразно сразу же избавляться от дробных коэффициентов.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен несколькими различными способами: сразу для общего или сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению х2 – а = 0 или к уравнению х2 = а. Но в любом случае приходится использовать выделение полного квадрата в трехчлене ах2 + bх + с, сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом выводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется  вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

Можно предложить следующий алгоритм решения квадратных уравнений по формуле:

1) при необходимости выполнить тождественные преобразования:

- перенесение выражения из правой части в левую, меняя знаки;

- деление обеих частей уравнения на одно и то же число;

- применение тождеств сокращенного умножения;

- приведение подобных членов;

2) записать уравнение в стандартном виде;

3) выделить в уравнении коэффициенты;

4) вычислить дискриминант;

5) сравнить его с нулем и сделать соответствующий вывод:

а) если D > 0, то вычислить корни по общей формуле: ;

б) если D = 0, то вычислить корни по формуле: ;

в) если D < 0, то действительных корней нет;

6) записать ответ.

В ряде учебников, кроме основной формулы для корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0, приводятся ещё формулы корней уравнения х2 + px + g =0 или  х2 +2px + g =0. Иногда использование этих формул упрощает вычисления, при наличии времени полезно их рассмотреть.

При выводе второй формулы корней квадратного уравнения, прежде всего, следует показать на примере решения конкретного уравнения с четным вторым коэффициентом, что новая формула корней позволяет упростить вычисления. А далее можно разрешить пользоваться любой из двух формул. Неиспользование указанной формулы при решении уравнения со вторым четным коэффициентом нельзя считать недочетом.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Изучение материала, касающегося теоремы Виета, целесообразно начать с организации исследовательской работы. В левый столбец таблицы, начерченной на доске, учитель записывает несколько приведенных квадратных уравнений и предлагает учащимся вычислить их корни. После этого заполняются остальные столбцы таблицы. Сумма и произведение корней каждого уравнения сравнивается с его коэффициентами. Результат сравнения учащиеся должны сформулировать в словесной форме и записать  соответствующие буквенные равенства. Таким образом, итогом исследования окажется утверждение, которое, как сообщит учитель классу, называют теоремой Виета. Идея доказательства также вполне понятна, и в техническом отношении оно не является сложным, а поэтому изучение этого вопроса может быть проведено с максимальной долей самостоятельности школьников.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Обратим внимание на типичные ошибки, которые допускают учащиеся при работе с этим материалом:

1) говорят о сумме и произведении корней, забывая проверить, имеет ли уравнение корни;

2) рассматривая неприведенное квадратное уравнение, применяют к нему формулы Виета, выражающие соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.    

В связи с изучением в курсе алгебры VIII класса рациональных дробей рассматриваются уравнения, содержащие переменную в знаменателе. В учебнике алгебры для VIII класса под редакцией С. А. Теляковского вводится  такое определение: «уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями». Далее вводится определение дробно-рационального уравнения: «рациональное уравнение, в котором левая и правая части являются дробными выражениями, называют дробным».

Известно, что решение дробно-рациональных уравнений возможно двумя основными способами:

1) из условия равенства дроби нулю получаем:  

2) из условия равенства двух дробей с одинаковыми знаменателями:

В курсе алгебры в основном используется второй способ.

При решении дробно-рациональных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель;

5) записать ответ.

Данный алгоритм учащиеся закрепляют при решении соответствующих уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида  и биквадратные уравнения. Ещё один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает также сложность перевода на язык математики. В целом можно сказать, что освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Кроме того, имеющийся у учащихся запас графических представлений позволяет ознакомить их с графическим способом решения уравнений. Основной акцент делается на такие уравнения, которые учащиеся не могут решить аналитически, например 5,5 – 0,5х2 = ,  х3 + х – 4 = 0. В первом случае учащиеся могут решить уравнение, построив графики функций y = 5,5 – 0,5х2  и  y =, во втором - y = х3 и y = 4 – х. Следует обратить внимание учащихся на то, что графический способ позволяет находить, вообще говоря, приближенные значения корней, причем точность результата зависит от выбранного масштаба и качества выполнения чертежа.

Основное, что необходимо потребовать от каждого ученика в результате изучения квадратных уравнений, - это умение решить квадратное уравнение, полное или неполное, записанное в каноническом виде, а именно уравнения вида ах2 = 0, ах2 + bx = 0, ах2 + с= 0 и ах2 + bх + с = 0. Кроме того, необходимо также предусмотреть умение привести уравнение к каноническому виду в простейших ситуациях типа 2х2 – 3х = 5х + 2 или х2 – 8х + 5 = 3, в которых нарушается аналогия с ходом решения линейных уравнений. Ученик должен увидеть, что он имеет дело с квадратным уравнением, и привести его к тому виду, в котором он может применить известную ему формулу. Немаловажно при этом, что анализ характера применения квадратных уравнений  в дальнейшем курсе, а также в смежных предметах позволяет прийти к выводу, что указанными выше случаями исчерпывается подавляющее большинство ситуаций, требующих использование квадратных уравнений. Например, необходимость в решении квадратных уравнений возникает при решении неравенств методом интервалов, при исследовании функций определенного вида (нахождение нулей функции, точек экстремума, промежутков возрастания и убывания), при решении задач на нахождение наибольших и наименьших значений. И во всех этих случаях требуется находить, при каких значениях x выражение вида ах2 + bх + с обращается в нуль. Такая же ситуация чаще всего возникает в ходе решения тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений, которые путем введения вспомогательной переменной сводятся к квадратным. При вычислении абсцисс точек пересечения графиков функций в задачах на площадь криволинейной трапеции, при вычислении времени по формуле координаты тела, двигающегося под силой тяжести (в курсе физики), и др. мы приходим к уравнению, у которого в одной части – выражение ах2 + bх + с, а в другой – или линейная функция, или число.

Практика показывает, что если ученик уверенно решает уравнения указанного уровня сложности и овладел общими приемами сведения уравнений к простейшему виду, то он справится с решением уравнений и в таких, например, случаях: x(x - 3) = 10,  х2 +  (x + 2)2 = 20.

Все сказанное относится и к рациональным уравнениям. Уровень обязательной подготовки по этим вопросам предполагает умение применить тот основной прием их решений, который отличает их от других видов уравнений.