Способы развития мышления во внеурочной деятельности у учащихся 5-7 классов
методическая разработка

ТЕМА: «Способы развития мышления во внеурочной деятельности у учащихся 5-7 классов»

«Значение математики в современным мире», согласно Концепции велико и там подчеркнуто, будущее России зависит от качества  математического образования. То есть нашему предмету отведено центральное место в системе образования. Цитирую, «Без высокого уровня математического образования невозможны выполнение поставленной задачи по созданию инновационной экономики…».

  Цель данной Концепции одна, но зато какая, вывести российское математическое образование на лидирующее положение в мире.  Она подчеркивает необходимость «ориентации образования не только на усвоение обучающимся определенной суммы знаний, но и развитие личности, его познавательных и созидательных способностей». Проблема формирования мотивации лежит на стыке обучения и воспитания. Это означает, что здесь в поле внимания учителя оказывается не только осуществляемое школьником учение, но и происходящее в ходе учения развития личности учащегося,  воспитание думающей, внутренне свободной личности, способной формировать, и аргументировано отстаивать собственную точку зрения, ставить перед собой цели и находить эффективные пути их достижения.  

Задач я насчитала семь,  на слайде представлены шесть, которые касаются в первую очередь учителей, и если эти задачи перед нами поставлены, мы их должны решить.

1. Модернизация содержания учебных программ математического образования на всех уровнях (с обеспечением их преемственности) исходя из потребностей обучающихся и потребностей общества.
2. Обеспечение отсутствия пробелов в базовых знаниях для каждого обучающегося, формирование у участников образовательных отношений установки "нет неспособных к математике детей». То есть мы должны на минимальном уровне обучить всех.
3. Обеспечение наличия общедоступных информационных ресурсов, необходимых для реализации учебных программ математического образования, в том числе в электронном формате. Я думаю, что учителя  нашего района, занимают лидирующее положение в этом вопросе, это электронные журналы, электронная очередь к врачам специалистам,  в детские сады, в электронном виде доступны все периодические издания, можно пройти  модульные дистанционные курсы, что важно для профессионального развития.
4. Повышение качества работы преподавателей математики, создание условий для реализации собственных авторских программ
5. Поддержка лидеров математического образования. Учреждены  гранты для учителей.
6. Работа с одаренными детьми. То есть мы должны показать отдельно проводимую работу с одаренными детьми. Обеспечить им участие во всевозможных олимпиадах, конкурсах.

Актуальность обусловлена самой учебной деятельностью, обновлением содержания обучения, формированием у школьников приемов самостоятельного приобретения знаний, развития активности. Мотивация выступает как одно из основополагающих средств развития личности, как главное условие успешного учения. Как гласит древняя мудрость: можно привести коня к водопою, но заставить его напиться нельзя. Да, можно усадить детей за парты, добиться идеальной дисциплины. Но без пробуждения интереса, без внутренней мотивации освоения знаний не произойдёт, это будет лишь видимость учебной деятельности. Как же пробудить желание « напиться» из источника знаний? Как мотивировать познавательную деятельность?

Однажды на уроке в 5 классе я задала логическую задачу у Петра 3 рубля и две монеты, одна из которых не 1 рубль. Каковы монеты у Петра? Учащиеся не смогли ответить на этот простой вопрос.

А чтобы не только рассуждать, но и действовать во благо детей, на базе нашей школы в 2015-2016 году открыты  кружки внеурочной деятельности в 5 классе математической направленности «Логические игры», которые развивают логику и мышление у учащихся, а также способствуют для развития  познавательного интереса к предмету математика, учитывающие потребности ребенка, с усложненными задачами, играми, викторинами. Также организованы факультативные и элективные занятия  для учащихся 9-11 классов, с углубленным изучением математических основ, которое позволяет ученику более успешно подготовиться к итоговой аттестации. В 2016-2017 году мы планируем   внеурочную деятельность для учащихся 6 класса «Развивающая логика», которая является продолжением «Логических игр».

Одной из наиболее распространенных классификаций видов мышления является классификация в зависимости от содержания решаемой задачи. Выделяют наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление.

Наглядно-действенное мышление называют  еще практическим мышлением. Этот вид мышления является основным на протяжении всей жизни человека. Так как оно протекает непосредственно в процессе практической деятельности людей и связано с решением практических задач.

Все мыслительные операции (анализ, синтез и пр.) возникли сначала как практические операции и лишь, затем стали операциями теоретического мышления.

Наглядно-образное мышление связано с решением мыслительных задач, основанных на образном материале. В образе может одновременно зафиксировано видение предмета с нескольких точек зрения. В этом качестве наглядно-образное мышление практически неотделимо от воображения.

Словесно-логическое мышление функционирует на базе языковых средств и связано с оперированием философскими, математическими, физическими и другими понятиями и суждениями.  Для словесно-логического мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения.

Критичность мышления характеризуется умением не считать верной первую пришедшую в голову мысль, подвергать критическому рассмотрению предложения и суждения других, принимать необходимые решения, только взвесив все «за» и «против».  Развитию этого качества способствует рассмотрение различных способов решения задачи, обращение к исследованию полученного результата.

Вряд ли учащиеся задумываются, как часто они сталкиваются с математикой в повседневной жизни. Думаю, что каждый учитель хотя бы однажды слышал вопрос «А зачем нам это в жизни?». Поэтому для внеурочных занятий я подбираю задачи, которые  помогли бы мне объяснить применение математики, в частности геометрии.  

Задачи, например, могут быть такими.

1. Кружка цилиндрической формы наполнена доверху молоком. Можно ли отлить ровно половину содержащегося в ней молока, не пользуясь измерительными приборами? (Наклонить кружку до тех пор, пока не появится краешек дна.)

2. Как от куска материи длиной 8 м отрезать кусок длиной 5 м, не имея под рукой измерительных приборов? (Перегнуть кусок материи пополам, затем одну из половинок перегнуть еще пополам и, наконец, ту четвертинку, которая ближе к середине, снова пополам. Последняя линия сгиба разделит длину куска в отношении 3:5)

Существует большое разнообразие таких задач, главное  чаще включать их в учебную деятельность.

Хотелось бы предложить методику обучения решению задач с геометрическим содержанием учащихся 5-6 классов во время внеурочной деятельности, основанная на концепции развивающего обучения и использующая групповые технологии (включающая новые дидактические материалы - задачи с раскраской в условии), решая данные задачи, учащиеся 5-6 классов готовятся к итоговой аттестации и развивают логическое мышление.

Для этого я использую различные  способы и методы при решении  по источнику получения знаний.

а) словесные методы (источником знания является устное или печатное слово)

-дискуссия;

-диалог;

-работа с книгой;

-математические дебаты;

-снежный ком

б) наглядные методы (источником знаний являются наблюдаемые предметы, явления, наглядные пособия)

- метод иллюстраций предполагает показ ученикам иллюстративных пособий, плакатов, таблиц, картин, карт, зарисовок на доске, плоских моделей и пр.

-метод демонстраций обычно связан с демонстрацией предметов, опытов, фигур и др.

в) практические методы (учащиеся получают знания и вырабатывают умения, выполняя практические действия).

К способам  развития мышления можно отнести

- индивидуальное личностное обучение;

- индивидуально-групповой способ;

- групповой способ;

- коллективный способ.

Использую различные приемы и игры (корзина идей; проблемное обучение, соревнования; ты мне я тебе и т.д.)

1. Вспомните детские задачи, где нужно найти выход из лабиринта. Если идти неправильным путем, упрешься в тупик, и прийти к выходу можно лишь вернувшись к одной из развилок. Таким же образом и следует развивать мышление.
2. Присмотритесь, как думают (говорят или пишут) другие люди. Попробуйте думать, как каждый из них, возможно, один из этих способов вам понравится.
3. Можно также изучить различные способы мышления, описанные в литературе – художественной и психологической.
4. Попробуйте собрать вместе способы мышления, о которых вы узнали и на их основе, создать свой образ мысли, скорее всего, он вам будет ближе всех.

Но самое важное – не останавливайтесь ни на одном из найденных вами образов мышления, так как каждый из них подходит для успешного решения только определенных ситуаций.

Существует множество различных задач на разрезание. Предлагается рассмотреть несколько видов:

1.      Задачи на клетчатой бумаге

2.      Задачи на разрезание в пространстве

3.      Превращения фигур.

Задачи на клеточной бумаге

Площадь фигуры как сумма площадей её частей

Задача 1. Найдём площадь фигуры АВСD [см. рис.1]. Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1 и 2).

По свойству площадей:

 S = S1  + S2  =  (2∙3):2 + 3∙2  =  3 + 6 = 9 см²

Ответ: 9 см² 

Рис.1                            

Задача 2. Найдём площадь фигуры АВСD [см.рис.2]. Если клетки размером 1х1см.

Разобьем фигуру АВСD на части (1, 2, 3 и 4).

По свойству площадей:

 S = S1  + S2  + S3 + S4  =

= (1∙4):2 + (1∙3):2 + 1∙1 + (1∙2):2  =

= 2 + 1,5 + 1 + 1 = 5,5 см²

                                   Ответ: 5,5 см²   

                   Рис.2                          

Деление многоугольника на треугольники и прямоугольники

Вы, наверное, заметили, что у многоугольных фигур, расположенных на клетчатой бумаге, вершины которых расположены в узлах клеток, нетрудно подсчитать площадь, принимая за единицу площадь одной клетки. При этом приходится разбивать фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники.

Например, площадь изображённого многоугольника складывается из площадей фигур, площадь которых находится легко:

Рис.3

S1= (3 · 2) : 2 = 3

S2= (1 · 2) : 2 = 1        

S3= (3 · 2) : 2 = 3                

S4= 2 · 2= 4

S5=(1 · 2) : 2 = 1        

Суммарная площадь равна: 3+1+3 + 4+1 = 12.

Площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять ещё проще: есть формула, связывающая площадь такого многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на его границе. Эта замечательная и простая формула  называется  формулой   Пика.

Задачи на разрезание

Задача 1.    

Про шоколадку.
Троих учеников - победителей викторины -  учитель угостил шоколадной плиткой 4 х 4. Но проигравший конкурент стащил у них одну дольку. Как поделить оставшуюся часть шоколадки на троих?

З а д а ч а 2. Можно или нельзя?

Имеем куб и 6 одинаковых крестообразных плоских фигур. Площадь каждого  креста равна площади одной грани куба. Можно ли без помощи ножниц обклеить всю поверхность куба этими крестами?

З а д а ч а 3. Блин и кекс. Задачи на разрезание в пространстве

Какое наибольшее число кусков можно получить разрезав блин три раза?

А если три раза разрезать кекс? (Блин 7 частей; кекс 8 частей)

З а д а ч а 4. Можно или  нельзя. (превращение фигур)

Возьмем цилиндрическое кольцо, склеенное из полосы бумаги размером 2 на 8 см. При этом высота цилиндра 2 см. Можно ли без помощи ножниц и клея сложить квадраты площадью 4 см² и 8 см²?

Можно. Первый квадрат мы получим, сложив цилиндр дважды. Таким образом получается квадрат площадью 4 см²  в четыре слоя.

Для получения квадрата площадью 8 см², нам нужно взяться за противоположные нижние части цилиндра и потянуть их в противоположные стороны  и сложить по сгибам квадрат. Получим квадрат двойного сложения площадью 8 см².

Пентамино

 А теперь мы предлагаем вам не задачу, а игру. И она называется ПЕНТАМИНО.

Эта игра была придумана в 50-х годах ХХ в. американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики. Она заключается в складывании различных фигур из заданного набора ПЕНТАМИНО. Набор ПЕНТАМИНО содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти («пента» в переводе  с греческого означает «пять») одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.

Рис. 5

Поскольку всего имеется 12 разных пентамино и каждая из этих фигур покрывает пять клеток, то вместе они покрывают 60 клеток. Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20 (см. рис. 6).

Рис. 6

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения).

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.

Задача

Как из набора «уголков» сложить прямоугольник (Рисунок 7)?
Решение:
Подсчитаем, какую площадь займут все «уголки» 3+4+5+6+7+8=11*3=33. Значит, стороны прямоугольника могут быть равны 3 и 11. Остается заполнить прямоугольник 3*11 данными «уголками». Например, как на рисунке 2:

Рис 7

Рис 8

Задачи на раскраску

Если бумажный кубик разрезать по некоторым ребрам и развернуть, то получится развертка I (Рисунок 9), а если стереть некоторые буквы и потом разрезать кубик иначе, получится развертка II. Какая буква стояла на месте вопросительного знака?

Рисунок 9.

(A) А     (B) В     (C) С     (D) Е     (E) невозможно определить

Решение: «Соберем» первый (Рисунок 10) кубик и расставим на нем буквы (можно использовать модель кубика)

Рисунок 10.                                   Рисунок 11.

Перевернем его на себя (Рисунок 11):
Если полученный кубик разрезать, то на месте вопросительного знака , то есть справа от D , будет буква Е.
Ответ: (D)

Танграм

Базовым элементом танграма является тан. Таны возможно получить при разрезании квадрата первоначально на два больших равных треугольника, далее согласно рисунка. Если сторону квадрата принять равной 1, то длины сторон фигур будут соответственно равны величинам, приведенным на рисунке, углы вершин кратны 45º. Минимальное количество базовых фигур равное семи приводит к гениальной простоте комбинаций.

Задания.

В игре танграм можно выделить 3 основные категории заданий:

1. Поиск одного или нескольких способов построения данной фигуры или изящного доказательства невозможности построения фигуры.
2. Нахождение способа, позволяющего с наибольшей выразительностью или юмором (или тем и другим вмести) изобразить силуэты животных, людей и другие узнаваемые предметы.
3. Решение различных задач комбинаторной геометрии, возникающих в связи с составлением фигур из 7 танов.

Например:

Задачи со спичками

Головоломки со спичками уже давно используются в качестве задач для развития логики и творческого мышления. Популярность подобных заданий обусловлена удобством использования и доступностью материала, из которого составляются занимательные геометрические и арифметические фигуры. Логические игры на перекладывание спичек бывают как простыми и сложными. Правило любой подобной головоломки, задачи или игры заключается в том, что вам необходимо переложить одну или несколько спичек таким образом, чтобы выполнилось поставленное условие. Однако зачастую прийти к верному решению бывает не так-то просто. Для этого следует проявить настойчивость, внимание и креативность. Можно выделить несколько общих правил для того, чтобы правильные ответы при прохождении спичечных головоломок:

1. Внимательно прочитайте задание. Выясните, нет ли в нем подвоха, двусмысленности формулировок. Поймите точно, что от вас хотят. Иногда в условии задачи может содержаться подсказка.
2. Практически любая задача направлена на логику и смекалку, поэтому сразу приготовьтесь искать нестандартное решение, которое у вас может потребовать некоторое время. Обратите внимание, что списки могут накладываться друг на друга, перемещаться в любом направлении, а также переворачиваться, если обратного не дано в условии.
3. Смотрите на фигуры шире. Часто в условии задачи вас просят переместить спичку так, чтобы получилось определенное количество геометрических фигур (треугольников, квадратов). Обратите внимание, что несколько маленьких фигур могут составлять одну большую. Например, четыре квадрата, поставленные в 2 ряда, образуют 5 квадратов: 4 маленьких и один большой.
4. Постарайтесь решать задание, сохраняя спокойствие, не пытаясь во чтобы то ни стало найти ответ. Ищите ответ последовательно, вдумчиво, постепенно перебирая возможные варианты, стараясь не пропустить правильный ответ. Поспешность может привести к тому, что вы пропустите ответ, от которого находились всего в одном шаге.

Учащиеся не только с удовольствием решают данные задачи, но и готовят задачи своим одноклассникам, учатся защищать свои способы решения данных задач.

Геометрические задачи, решаемые методами складывания листа бумаги 

Из произвольного листа бумаги при помощи сгибов получаем квадрат, а затем методом перегибания  делим сторону квадрата на три равные части.

Деление прямого угла на три равные части

Упражнения с куском бумаги.

Как из бумажного прямоугольника получить квадрат?

Или равносторонний треугольник?

Также с помощью перегибаний можно получить правильный шестиугольник и восьмиугольник, завязать загадочный узел в виде правильного пятиугольника или доказать  известную теорему Пифагора. Все это можно найти в книгах [3],[5], [7] и разнообразить учебный материал интересными упражнениями и заданиями, тем самым повысить интерес учащихся к трудным и неподдающимся задачам.

С удовольствием замечаю, что мои ученики становятся коммуникабельней, душевней, они открыты,  умеют обосновать свою точку зрения; находят свой способ решения задач, учатся отстаивать свою точку зрения. Стать идеальным учителем трудно, но стремиться к этому надо. Это стремление побуждает к постоянной работе над собой. Учитель состоялся как мастер, если видит природную талантливость каждого ученика, его неповторимый внутренний мир, который делает жизнь ребенка счастливой.