Статья.Великая теорема Ферма
статья (8 класс)

Великая теорема Ферма

Одной из знаменитых поныне нерешенных задач в области диофантовых уравнений является так называемая «Великая теорема Ферма».

        Пьер Ферма (1601-1665), выдающийся французский математик, был одним из тех ученых, которые в XVII веке развили метод координат и заложили основы высшей математики. По профессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время посвящал математическим исследованиям, которые проложили новые пути во всех отраслях математики.

        Он являлся одним из создателей теории чисел, то есть той ветви математики, в которой изучаются свойства целых чисел. Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в частности                                                                                                    Арифметика» Диофанта.

На одной из страниц второй книги своего произведения Диофант решает следующую задачу: «Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом».

Задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения  (1.4.2)

Это уравнение, называемое, «пифагоровым», так как выражает известное из «теоремы Пифагора» метрическое соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, имеет бесконечное множество решений, например: 3, 4, 5;   5, 12, 13 и т.д. Все такие тройки чисел x, y, z, Удовлетворяющие

данному уравнению, называются «пифагоровыми» числами. Чтобы найти их, можно воспользоваться следующими формулами:

                                        х=pІ-qІ, у=2pq, z=pІ+qІ,

где  p  и  q –целые произвольно взятые числа, причем p›q.

        На полях страницы экземпляра «Арифметики» Диофанта, которой пользовался Ферма, имеется собственноручная заметка последнего: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить».

Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение                                                                         хⁿ+уⁿ=zⁿ                                                               не имеет целых решений для n›2. Это предложение и было названо «Великой, или большой, теоремой Ферма»

Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не оставалось следов доказательства, о котором он говорит в вышеуказанной записи на полях «Арифметики» Диофанта. Начиная с XVIII века были сделаны большие усилия для доказательства теоремы Ферма. В 70-х годах XVIII века Эйлер ее доказал для n=3 и n=4. Для n=5 доказательство было дано в 20-х годах XIX века Лежандром и Дирихле.

В 1837 году французский математик Г. Ламэ дал доказательство для n=7. Известный успех был достигнут в рассматриваемой задаче немецким математиком Е. Куммером, наметившим общий подход к проблеме, с помощью которого он нашел доказательства для всех простых чисел, содержащихся между 3 и 100.

        Вначале XX века проблема Ферма привлекла к себе внимание не только специалистов, но и любителей математики. Это было связано с тем, что в 1907 году немецкий астроном П. Вольфскель, сам всю жизнь безуспешно пытавшийся доказать теорему, учредил премию в сумме ста тысяч марок тому, кто найдет ее доказательство. Чтобы получить премию, нужно было опубликовать доказательство и получить признание его верности от Геттингенского математического общества не менее чем через два года. В Геттингенский университет посыпались различные «доказательства», отличавшиеся крайней безграмотностью. Правда, инфляция, последовавшая за первой мировой войной, свела к минимуму эту премию, а заодно и число желающих доказать теорему. Однако до сих пор находятся люди, одержимые стремлением доказать знаменитую теорему. Их называют «ферматисты». Поддавшись обманчивой легкости формулировки, они надеются найти элементарное доказательство. Но, как убеждает вся история теоремы, сделать это невозможно.

        Независимо от того, верна или неверна теорема Ферма, следует признать, что ее практическое значение весьма мало. И даже, если она в ближайшее время будет доказана при помощи уже существующих методов, большим событием для математики это не станет. Совсем другое дело, если для доказательства будут разработаны принципиально новые подходы, возникнут новые понятия! Именно такую роль играет эта теорема в течение уже трех с половиной веков. При попытках ее доказательства были созданы многие важные области высшей арифметики. Это и дало основание назвать теорему Великой. Кроме того, эта теорема - последнее утверждение Ферма, не доказанное до сих пор. В связи с этим ее иногда называют Последней теоремой Ферма.