Элементарный способ доказательства "Теоремы Ферма" для учащихся средних общеобразовательных и средних специальных учебных заведений
занимательные факты по алгебре (11 класс) по теме
На Ваш суд я хочу представить одну, на мой взгляд, интересную попытку, придуманную мною, доказать «Теорему Ферма». Это доказательство объяснения данной теоремы довольно простое и удобное для понимания школьниками и интересующимися математикой. Свое доказательство я разбил на две части: для чётной и для нечетных степеней с использованием формулы разложения на множители двучлена.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
12.docx | 25.22 КБ |
Предварительный просмотр:
«Каждое высказанное мною суждение
надо понимать не как утверждение, а как вопрос».
Нильс Бор.
Добрый день. На Ваш суд я хочу представить одну, на мой взгляд, интересную попытку, придуманную мною, доказать «Теорему Ферма».
В попытке доказать данную теорему были открыты многие новые разделы математики. Правда, совсем недавно, было найдено решение этой теоремы. Но это решение было приведено на 101 странице.
Доказательство, которое я представляю на Ваш суд, гораздо короче. Это доказательство объяснения данной теоремы довольно простое и удобное для понимания школьниками и интересующимися математикой.
Окончательный вариант моего доказательства был закончен в 2004 году.
В книге Диофанта «Арифметика» Диофант поставил задачу разложить любое число в квадрате на сумму квадратов двух рациональных чисел. П.Ферма написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень , большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство доказательство, но эти поля слишком узки» (Данная запись взята из книги «Замечательные учёные» под ред. С.П.Капицы, Квант,1980).
Итак…
Запишем данное утверждение в математической форме:
(1.0)
Где, X,Y,Z – некоторые натуральные числа, n- натуральный показатель степени. Данное уравнение не имеет решения для n≥3.
Свое доказательство я разбил на две части: для чётной степени и для нечетной.
- Пусть степень n будет чётной, т.е. n=2k. Где k=1,2,3….
Тогда, уравнение (1.0) примет вид:
(1.1)
В данном случае необходимо доказать, что уравнение (1.1) не имеет решений для k>1.
По свойству степени преобразуем уравнение (1.1) к виду:
Введем замену:
Получаем: a² + b² = c²
Данное уравнение имеет решение, если: b=(a²-1)/2
Тогда: 2b + 2c = 2a (причём, выбираются из всего множества чисел только целые).
Или, сделав теперь замену в обратном порядке:
Подставим полученное равенство в уравнение (1.1):
Перенесем третье слагаемое в правую часть и получим:
Отсюда получаем:
- , но такое возможно только если Y=Z (а это противоречит условию теоремы)
- (1.2)
Разложим уравнение (1.2) используя формулу разложения на множители двучлена:
Где, Z,Y,X – целые числа, неравные друг другу. Но:
+
Тогда: > 1
Но, по условию (1.2) данное произведение должно равняться 1. А это возможно только если k=1 (или, если считать что Z,Y – не целые числа. А это противоречит начальному положению о целостности чисел X,Y,Z. Следовательно, уравнение (1.1) не имеет решений для k>1.
Таким образом, и само уравнение (1.0) не имеет решений для n>2 при чётных значениях n (n=2K).
- Теперь рассмотрим доказательство теоремы Ферма для нечётной степени.
Пусть n=2k+1, где k=0;1;2….
Тогда:
(2.1)
Теперь необходимо доказать, что данное уравнение, или вытекающее из него, не имеет решений при k≥1. Для этого представим уравнение (2.1) в виде:
(2.2)
Рассматривая данное уравнение так же как и уравнение (1.1) введем замену переменных, получим:
a² + b² = c²
b=(a²-1)/2
c=(a²+1)/2 или с+b= a²
Тогда:
Следовательно, подставляя в уравнение (2.1):
, разложим правую часть на множители:
, тогда:
(но это возможно, если Z=Y, а это противоречит условию теоремы) и
(а это неверно, т.к. при разложении аналогично разложению уравнения 1.2)
Значит, уравнение (2.2) не имеет решений при k>1. А это значит, что и уравнение (1.0) не имеет решений для нечётных степеней при n>2.
Объединяя все вышесказанное, уравнение (1.0) не имеет решений для всех целых степеней n>2.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация "Средние специальные учебные заведения"
Презентация для учителей, родителей и учеников Амурской области...
«Использование метода проектов при изучении иностранного языка в среднем специальном учебном заведении»
«Использование метода проектов при изучении иностранного языка в среднем специальном учебном заведении» Введение Современные условия жизни диктуют новый подход к более качественному обучению иностра...
Самостоятельная работа студентов в рамках применения бально-рейтинговой системы для средних специальных учебных заведений
Взгляд на новые стандарты обучения предполагает ориентацию на активные методы овладения знаниями, развитие творческих способностей студентов, переход от поточного к индивидуализированному обучению с у...
Эссе "Профессионально - прикладная физическая подготовка в средних специальных учебных заведениях"
Во все времена превыше всего ценились искусство в ремёслах, умение, профессиональное мастерство. В народе говорится: « Хорошая работа два века живёт». А в наше время, в век автоматики, массовых профес...
Методическая разработка По теме: «Воспитательный процесс в среднем специальном учебном заведении»
В методической разработке рассматриваются вопросы организации воспитательного процесса в СПО и взаимодействия участников воспитательного процесса в СПО....
Методические рекомендации "Качественное выполнение курсовой работы как условие обеспечения стандартов профессионального обучения в среднем специальном учебном заведении"
Действия руководителя курсовой работы должны носить контринтуитивный характер и подчиняться определенной логике.Действия руководителя по организации курсовой работы состоят из следующих этапов:-...
Методические указания и контрольные задания для студентов - заочников средних специальных учебных заведений
ПМ.01 ХРАНЕНИЕ И ПОДГОТОВКА СЫРЬЯ МДК.01.01.ПРИГОТОВЛЕНИЕ И ХРАНЕНИЕ СЫРЬЕВЫХ СМЕСЕЙ ПРОИЗВОДСТВА ТН и СМ и И Методические указания и контрольные заданиядля студентов-заочников средних...