Математический бой 7,8 класс
статья (7, 8 класс) по теме

Примеры игр «Математический бой» для 7 и 8 классов.

Авторы: учитель математики Н. Г. Ларина, учащиеся 9 классов Базарнов К. и Нестерова А.

 I. Правила игры «Математический бой»

 Основные понятия:

Конкурс капитанов. Кто будет давать первый вызов, определяет команда, победившая в конкурсе капитанов. Он проводится в начале боя. Капитанам предлагаются задачи. Капитан, первым сообщивший жюри о своем желании отвечать, получает такое право. Если он рассказывает правильное решение, то он победил, а если неправильное – побеждает один из его соперников, сообщивший верное решение задачи. Если оба противника верно решили задачу, им предлагается ещё одна. Тот, кто первым решит дополнительную задачу, получает право первого ответа. Следующей отвечает команда капитана, не успевшего решить дополнительную задачу. В случае победы первого капитана, он получает право первого хода, право второго хода даётся команде капитана, который быстрее решил дополнительную задачу, при этом что понимается под "правильным решением": просто верный ответ, ответ с объяснением и т. п. - жюри уточняет перед началом конкурса капитанов.

На решение задачи конкурса капитанов жюри отводит определенное время. Если за это время ни один из капитанов не высказал желания отвечать, жюри может заменить задачу.

Ход игры. Игра состоит из двух этапов: на первом этапе командам дается время 15-20 мин на решение основных конкурсных задач, вторым этапом является сам бой.

Доклад. В начале раунда докладчик рассказывает решение у доски. Доклад должен содержать ответы на все поставленные в задаче вопросы и доказательство правильности и полноты полученных ответов. В частности, докладчик обязан доказать каждое сформулированное им промежуточное утверждение либо сослаться на него, как на общеизвестное. Докладчик должен стремиться к ясности изложения, в частности, он обязан повторить по просьбе оппонента или жюри любую часть своего доклада. Время на доклад ограничено 4 минутами, по истечении которых доклад может быть продолжен только с разрешения жюри. Докладчик может иметь при себе текст решения.

Докладчик имеет право: 

- до начала выступления вынести на доску всю необходимую ему информацию; 
- не отвечать на вопросы оппонента, заданные до начала обсуждения; 
- просить оппонента уточнить свой вопрос (в частности, докладчик может предложить свою версию вопроса: «Правильно ли я понимаю, что вы спросили о том-то и том-то?»; 

- отказаться отвечать на вопрос, сказав, что:  

а) Он не имеет ответа на этот вопрос;

б) Он уже ответил на этот вопрос (объяснив, когда и как);

в) Вопрос некорректен или выходит за рамки научной дискуссии по поставленной задаче. В случае несогласия оппонента с основаниями арбитром в споре выступает жюри.

Докладчик не обязан: 

- излагать способ получения ответа, если он может доказать его правильность и полноту; 
- сравнивать свой метод решения с другими возможными методами, в том числе с точки зрения краткости, красоты и пригодности для решения других задач.

Оппонирование. Оппоненты вызываются в порядке, определённом конкурсом капитанов. В случае, если один из оппонентов не может оспорить решение или ответ, оппонирование начинает игрок следующей команды. Пока доклад не окончен, оппонент может задавать вопросы только с согласия докладчика, но имеет право попросить повторить часть решения. Он может разрешить докладчику не доказывать какие-либо очевидные факты (со своей точки зрения). После окончания доклада оппонент имеет право задавать вопросы докладчику. Если в течение минуты оппонент не задал ни одного вопроса, то считается, что вопросов у него нет. Если докладчик не начинает отвечать на вопрос в течение 30 секунд, то считается, что у него нет ответа.

В качестве вопроса оппонент может: 
- потребовать повторить любую часть доклада; 
- попросить уточнения любого из высказываний докладчика, в том числе:

а) попросить дать определение любого термина («Что Вы понимаете под ...»);

б) переформулировать утверждение докладчика своими словами и попросить подтверждения («Правильно ли я понимаю, что Вы утверждаете следующее:...»); 

- попросить доказать сформулированное докладчиком утверждение, если оно не является очевидным или общеизвестным (в спорных случаях, вопрос об известности или очевидности решает жюри; во всяком случае, известными считаются факты, включенные в общеобразовательную программу по математике); 
- после ответа на вопрос выразить удовлетворенность или мотивированную неудовлетворенность ответом.

Если оппонент считает, что докладчик тянет время, придумывая решение у доски, или что существенная часть доклада не является изложением решения обсуждаемой задачи, он имеет право (но не ранее, чем через 2 минут после начала доклада) попросить докладчика предъявить ответ (если таковой в задаче подразумевается) или план дальнейших рассуждений.

Докладчик и оппонент обязаны: 
- высказываться в вежливой и корректной форме, обращаясь друг к другу на "Вы"; 
- критикуя высказывания друг друга не "переходить на личности"; 
- повторять и уточнять свои вопросы и ответы по просьбе друг друга или жюри.

По итогам доклада и ответов на вопросы оппонент имеет право дать свою оценку докладу и обсуждению в одной из следующих форм:

а) признать решение правильным;

б) признать решение (ответ) в основном правильным, но имеющим недостатки и (или) пробелы с обязательным их указанием;

в) признать решение (ответ) неправильным, указав ошибки в обоснованиях ключевых утверждений доклада, или приведя контр пример, или указав существенные пробелы в обоснованиях или плане решения. Если оппонент согласился с решением, то он и его команда в этом раунде больше не участвуют.

Если оппонент имеет контр пример, опровергающий решение докладчика в целом, и этот контр пример сам является решением задачи (такое бывает, например, в случаях, когда вопрос задачи звучит как «Можно ли ...?», «Верно ли, что ...?» и т. п.), то оппонент имеет право заявить: «Я с решением не согласен, у меня есть контр пример», но сам контр пример пока докладчику не предъявлять (жюри имеет право потребовать предъявления контр примера в письменном виде, чтобы убедиться в корректности заявления оппонента). В этом случае, если докладчик не изменит своего решения в течение минуты или после взятого командой перерыва, оппонент получает право предъявить докладчику упомянутый контр пример, причем докладчик и его команда уже не имеют права изменять решение или ответ.

Аналогично, если решение требует перебора случаев, оппонент имеет право заявить "Я с решением не согласен, рассмотрены не все случаи", не указывая докладчику, какой именно случай не рассмотрен. Дальнейшие действия докладчика, жюри и оппонента такие же, как в ситуации с контр примером.

Участие жюри в обсуждении. После окончания диалога докладчика и оппонента жюри задает свои вопросы. При необходимости, оно имеет право вмешаться и ранее, во время диалога докладчика и оппонента.

Выступающие и команда. Докладчик и оппонент могут обращаться к своим капитанам с просьбой о замене.

Перемена ролей.  В случае отсутствия ответа, слово получает другая команда без объяснения решения.

Порядок вызовов. Окончание боя. Команды вызывают друг друга по порядку (1, 2, 3). Бой заканчивается, когда все задачи обсуждены или, когда одна из команд отказалась от вызова, а другие команды отказалась рассказывать решения оставшихся задач.

Начисление баллов. Каждая задача оценивается в 4 балла, которые по итогам раунда распределяются между докладчиком, оппонентом и жюри. Если докладчик рассказал правильное и полное решение, все 4 балла достаются ему. Если оппонент сумел найти в решении более или менее существенные ошибки, жюри, прежде всего, решает вопрос о том, удалось ли оппоненту доказать, что задача докладчиком не решена. Если это оппоненту не удалось, то он, тем не менее, может получить баллы за оппонирование в зависимости от серьезности указанных недочетов и от того, насколько докладчику удалось их исправить. Как правило, оппонент получает половину "стоимости" не "залатанных" докладчиком "дыр" в решении (принцип "половины"), но, если докладчик сумел изложить полное решение только после существенных наводящих вопросов оппонента и (или) жюри ("грязь" в решении), то жюри может отобрать у докладчика не более двух баллов и передать их оппоненту или оставить себе. Остальные баллы распределяются между докладчиком и жюри, и раунд заканчивается. Если же оппонент сумел доказать, что решения у докладчика нет, он получает баллы за оппонирование (с учетом принципа "половины"). Если ошибки или пробелы в докладе указаны самим докладчиком и не устранены его командой, то оппонент получает за них баллы так, как если бы он нашел эти недостатки сам. 

Капитан. Во время боя только капитан может от имени команды обращаться к жюри и соперникам. Если капитан у доски, он оставляет за себя заместителя, исполняющего в это время обязанности капитана. Имена капитана и заместителя сообщаются жюри до начала боя.

Во время решения задач главная обязанность капитана - координировать действия членов команды так, чтобы имеющимися силами решить как можно больше задач. Для этого капитан с учетом пожеланий членов команды распределяет между ними задачи для решения, следит, чтобы каждая задача кем-то решалась, организует проверку найденных решений. Капитан заранее выясняет, кто будет докладчиком или оппонентом по той или иной задаче, определяет тактику команды на предстоящем бое.

Жюри. Является верховным толкователем правил боя. В случаях, не предусмотренных правилами, оно принимает решение по своему усмотрению. Решения жюри являются обязательными для команд.

Во время решения командами задач всякое существенное разъяснение условий задач, данное одной из команд, должно быть в кратчайшее время сообщено всем остальным командам.

Жюри может снять вопрос оппонента (например, если он не по существу), прекратить доклад или оппонирование, если они затягиваются.

Жюри ведет на доске протокол боя. После начала следующего раунда счет предыдущего раунда изменен быть не может.

Жюри следит за порядком. Оно может оштрафовать команду за шум, некорректное поведение, общение со своим представителем, находящимся у доски.

Жюри обязано мотивировать все свои решения, не вытекающие непосредственно из правил боя. 

Задания для проведения игры. 

II. Для 7 класса

Вопросы для 1 команды:

[9]Ученик умножил 895 на 209 и получил ответ 6090. Докажите, что он не прав.

(Ответ: при умножении 5 на 9 последней цифрой будет 5 или при умножении двух трехзначных чисел должно получиться как минимум пятизначное.)

Для 2 команды:

[9]Для игры в «Кочки» положили 6 обручей с интервалом в 1 метр. Какое расстояние между первым и последним обручем?
(Ответ: если положить 6 обручей в ряд, между ними будет 5 интервалов, следовательно, ответ 5.)

Для 3 команды:

[9]В трех коробках было 75 кг печенья. После того, как во вторую коробку доложили 15 кг, в них стало одинаковое количество печенья. Сколько кг печенья находилось во 2-ой коробке?
(Ответ: после того, как во вторую коробку положили 15 кг печенья, во всех коробках стало по 30 кг, а значит, ответ 30 – 15 = 15.)

Вопросы основного конкурса:

1. [6] За 3.2 кг товара заплатили 115.2 р. Сколько следует заплатить за 1.5 кг этого товара?

(Ответ: 54 р.)

Данный вопрос взят из курса 6 класса, чтобы учащиеся могли вспомнить пройденный материал по теме «Прямая и обратная пропорциональная зависимость».

2. [7] В одном доме на 86 квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?

(Ответ: число квартир в одном доме 353 и 439 в другом доме.)

Данная задача взята из курса алгебры 7 класса для закрепления пройденного материала по теме «Решение линейных уравнений».

3. [6] Сколько чисел от 1 до 90 делятся на 2, но не делятся на 4?

(Ответ: 23.)

Данная задача также взята из курса математики 6 класса для повторения пройденного материала по теме «Делимость натуральных чисел».

4. [9] Когда отцу было 37 лет, то сыну было 3 года, а сейчас сыну в 3 раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас отцу и сколько лет сыну?

(Ответ: 17 лет сыну и 51 год отцу.)

Данная задача взята из курса алгебры 7 класса для закрепления пройденного материала по теме «Решение линейных уравнений».

5.  [5] Сколькими способами из цифр 1, 2, 3, 4 можно составить
   число, кратное 6? При составлении числа каждую цифру можно
   использовать один раз или не использовать совсем.

(Ответ: 9.)

Данная задача также взята из курса математики 6 класса для повторения пройденного материала по теме «Делимость натуральных чисел», а также комбинаторики.

6.  [9] Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ. 

(Ответ: 9 м/мин.)

Данная задача из курса 7 класса может служить для закрепления недавно пройденного материала, логического мышления.

7. [11] Две параллельные прямые пересечены третьей. Из внутренних односторонних углов были проведены биссектрисы. Найти угол, образованный этими биссектрисами.

(Ответ: 90о)

Данная задача из курса геометрии 7 класса взята для того, чтобы участники игры повторили недавно пройденный материал по теме «Параллельные прямые».

8. [8] На листе бумаги нарисован угол. Только сгибанием листа получите угол: а) в два раза меньше данного; б) в два раза больше данного; в) дополняющий его до прямого угла.

(Ответ: сложить лист различными способами.)

Данная задача из курса геометрии 7 класса также взята для того, чтобы учащиеся повторили недавно пройденный материал тем «Смежные углы», «Биссектриса угла».

9. [10] Периметр равнобедренного треугольника равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника равен 15 см. Эти треугольники имеют общую сторону. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

(Ответ: 17,5 см,  17,5 см, 5 см , другого варианта нет.)

Данная геометрическая задача взята из курса геометрии 7 класса. С помощью этой задачи учащиеся могут повторить и закрепить материал тем о видах треугольников и периметре треугольников, неравенстве треугольника.

10.  [10] В треугольнике АВС точка D на стороне АВ выбрана так, что АС=AD. Угол А треугольника АВС равен 16°, а угол АСВ равен 134°. Найти угол DCB.

(Ответ: угол DCB равен 52°.)

Данная задача взята из курса 7 класса по геометрии для закрепления знаний по темам «Сумма углов треугольника» и «Равнобедренный треугольник» полученной на уроках геометрии.

Игра проводится среди учеников 7 классов. Время игры занимает 1,5 часа.

III. Для 8 класса:

Первый раунд

Задача 1. Имеются песочные часы на 3 минуты и 7 минут. Надо опустить яйцо в кипящую воду ровно на 4 минуты. Как это сделать? (Поставить часы одновременно, когда 3 минуты пройдет, опустить яйцо.)

Задача 2. 60 листов книги имеют толщину 1 см. Какова толщина всех листов, если в книге 240 страниц?  (Ответ: 2 см)

Задача 3. Требуется полсотни разделить на половину. Сколько получится? (Ответ: 100 )

Второй раунд

           Задачи 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9 относятся к разделу Алгебра из школьного курса 7-го и 8-го класса, а задачи 5, 8, 10 – это раздел школьного курса Геометрии 7-го и 8-го класса.

1. С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса.

(Для решения этой задачи необходимо составить таблицу, в которую записывается вся имеющаяся информация о скорости, времени и расстоянии автобуса и такси. Далее на основе таблицы составляется дробное уравнение, которое в процессе преобразования становится квадратным. Полученный положительный корень уравнения «60» является скоростью автобуса. По условию скорость такси больше на 20 км/ч, поэтому она равна 80 км/ч Ответ: 60 км/ч и 80 км/ч.)

Учащиеся должны уметь составлять таблицы, правильно распределять и использовать информацию, которая дана в задаче. Также требуется умение решать дробные и квадратные уравнения. Программа 7-го класса.

2. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 183 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч, за 13 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

(Так как пешеход двигается в том же направлении, что и поезд, то скорость поезда относительно пешехода будет меньше ровно на столько, с какой скоростью движется этот пешеход, то есть 180 км/ч. Длина поезда измеряется в метрах, следовательно его скорость нужно из км/ч перевести в м/с. Для этого мы 180 км переводим в метры, 1 час в секунды, а потом делим метры на секунды, получается 50 м/с. Поезд проехал мимо пешехода за 13 секунд, значит мы умножаем его скорость 50 м/с на 13 секунд Ответ: 650 м) В этой задаче нужно умение перевода из одной единицы измерения в другую. Также следует знать, что нельзя перемножать разные единицы измерения. Программа 8-го класса.

3.  Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую – со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

(Средняя скорость равна частному всего пройденного расстояния на сумму времени первой и второй половины пути, то есть   , где  – половина пройденного пути. При решении этого уравнения получаем S: , или  Ответ: 72 км/ч).

 Для решения такого рода задачи ученикам нужно знать, что такое средняя скорость и как её вычислить, уметь решать дробные выражения. 8-го класса.

4.  Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные – 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов.

(Для решения этой задачи нужно составить пропорцию. По свойству пропорции  x = . Ответ: 135 кг)

Для решения этой задачи нужно уметь составлять пропорцию и знать её основное свойство. Программа 7-го класса.

5.    Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 21, BF = 20.

 (В трапеции биссектрисы из углов А и В пересекутся и образуют треугольник АВF. Так как ВС||АD, то углы А и В как односторонние будут в сумме давать 180˚. Биссектрисы делят эти углы пополам, а значит углы АВF и ВАF в сумме равны 90˚, следовательно на угол ВFA приходится 90˚ и треугольник прямоугольный. Далее эта задача решается по теореме Пифагора. Ответ: АВ = 29). 

Здесь для решения требуется знание свойств биссектрис в трапеции, а также знание теоремы Пифагора. Программа 8-го класса.

6.   Решите уравнение    

(Для решения такого уравнения нужно корень из левой части перенести в правую, тогда знак корня меняется ион сократится с другим корнем, число 24 переносим вправо, получается квадратное уравнение. После нахождения корней уравнения, эти корни подставляются в каждую часть уравнения отдельно. Если результат в обеих частях совпал, то корень подходит. Ответ: -4).

Чтобы решить эту задачу, нужно уметь решать квадратные уравнения и знать одно свойство корня (корень не вычисляется из отрицательного числа).  Программа 8-го класса

7. Найдите значение выражения      при а = 17, с = 60

(Для решения такого уравнения требуются навыки сокращения и приведения к общему знаменателю. В данном случае получается обыкновенная дробь. Ответ: -8).

Для решения данного выражения учащиеся должны уметь приводить дробное выражение к общему знаменателю и уметь сокращать дроби. Программа 7-го класса

8. Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСD делят сторону СD на отрезки СМ, МР и РD. Известно, что СВ=8см, МР =2см. Найдите периметр параллелограмма.

(1 вариант решения (когда биссектрисы углов не пересекаются). СВ – одна из сторон парал-ма, значит она равна противоположной стороне АD. АВ||СD,  следовательно углы АВМ и СМВ равны как накрест лежащие. Биссектриса угла В делит его на два равных угла. Получается, что углы СВМ и СМВ равны и треугольник ВМС является р/б, а ВС = СМ = 8. Аналогичная ситуация получается с треугольником АDP и АD = DP = 8, а CD = 18.  После того, как стороны найдены, можно найти периметр.

2 вариант решения (когда биссектрисы углов пересекаются). Получаются треугольники ВСР и АМD, которые являются р/б ( объяснение см. вариант 1). Но так как биссектрисы пересекаются, то точка Р будет лежать на стороне DM треугольника АМD, а точка М будет лежать на стороне РС треугольника ВСР. ВС = СР = 8 (т.к р/б), а СМ = СР-МР = 8-2 = 6. Точно так же, как и с треугольником ВСР, будет происходить в треугольнике АМD, т.е DP = DM-MP = 8-2 = 6, следовательно СD = 14. Далее считается периметр.

Ответ: 52 и 44 ).

Для решения такой задачи нужно знать свойства биссектрис в параллелограмме и уметь находить периметр (знать формулу периметра). Программа 8-го класса.

9.  Решите систему уравнений 

 (Данная система уравнений решается с помощью метода подстановки. Когда мы подставим второе уравнение в первое, получится квадратное уравнение. Далее мы находим два корня x и подставляем их в любое из уравнений для нахождения второй переменной y. Ответ: (5/7; 0); (1; 2)).

Чтобы решить такую систему уравнений, учащимся нужно уметь решать системы методом подстановки, уметь подставлять получившиеся значения одной переменной в любое уравнение системы и, таким образом, находить значение второй переменной. Программа 7-го класса.

10. Диагональ АС прямоугольника АВСD образует с меньшей стороной угол в 30˚. известно, что отрезок ВО=4см, где О- точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найти площадь прямоугольника.

 (Для того чтобы найти площадь, нужно найти две смежных стороны прямоугольника. Диагональ АС делит прямоугольник АВСD на два прямоугольных треугольника. ВО – половина диагонали ВD, равна 4 см, значит вся диагональ равна 8 см, а ВD=АС. В треугольнике АВС есть АС=8 см и угол ВАС=30˚, а значит катет ВС равен половине АС, равен 4 см. Для нахождения АВ используется теорема Пифагора. АВ=4√3. Площадь АВСD=АВ*ВС. Ответ: 16√3).

Здесь требуется знание того, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Также следует знать свойство катета, который находится напротив угла 30˚, и теорему Пифагора. Программа 7-го класса.

Литература и информационные ресурсы:

1. Учебники по алгебре и геометрии за 7 –й и 8-й класс Ю.М. Колягин, Ш.А. Атанасян;

2. Терентьева Е. С., Кабанова С. Н., Фомичёва И. Б. «Математический бой» как одно из средств повышения эффективности обучения // Молодой ученый. — 2014. — №21. — С. 692-694. — URL https://moluch.ru/archive/80/14459/ [4] 

3. Сборники заданий ОГЭ по математике.

4. multiurok.ru

5. http://olimpotvet.ru/задания-по-математике/[5]
6. http://olimpiada.ru/activity/72/tasks[6]
7. http://ruolimpiada.ru/olimpiada-po-matematike-7-klass.[7]
8. https://moluch.ru[8]
9. https://mathkang.ru[9]
10. http://geometriyaprosto.ru[10]
11. https://wiki.eduvdom.com[11]