Нестандартные неравенства и методы их решения
материал для подготовки к егэ (гиа) на тему

 Нестандартные неравенства и методы их решения

1. Простейшие способы решения алгебраических неравенств

а) Метод интервалов

Часто при решении алгебраических неравенств используется метод интервалов, который состоит в следующем.

Пусть надо  решить неравенство

где  — фиксированные числа такие, что . Тогда поступают следующим образом: на координатную ось наносят числа , в промежутке справа от наибольшего из них ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак «минус», затем — «плюс», затем — «минус» и т.д.  

Тогда множество всех решений данного неравенства  будет -объединением всех промежутков, в которых поставлен знак плюс.

Отметим, что объединение всех промежутков, где поставлен знак минус, будет множеством всех решений неравенства  где .

Пример. Решить неравенство .

Решение.

–

Ответ: .

б) Обобщенный метод интервалов

Иногда   встречаются   неравенства  вида  f(x) >0, где

.

Здесь  — целые  положительные числа,  часть из которых   больше   1.   Такие   неравенства   также   могут   быть решены с помощью так  называемого обобщенного  метода интервалов,   если   несколько   уточнить   правило   расстановки знаков, а именно: в промежутке справа от — наибольшего из  корней  многочлена — ставят  знак  «плюс»,  а  затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередной корень  меняют знак, если ki — нечетное число, и сохраняют знак, если kt — четное  число.

Пример.  Решить неравенство .

Решение. Отметив на координатной оси корни –1, 0, 2 многочлена х(х+1)(х — 2)2, расставим знаки «плюс» и «минус» на интервалах между корнями, пользуясь указанным выше правилом.

 Множество решений исходного неравенства состоит из трех интервалов: (–∞; —1), (0; 2);

(2; +∞).

Ответ:   (–∞; —1)∪ (0; 2)∪(2; +∞).

в) Рациональные неравенства

Решение  неравенства

где Р(х), Q(x),  R(x) и  Т(х) — многочлены, в общем случае  проводится следующим образом. Неравенствозаменяется равносильным неравенством

или,    после    приведения  дробей   левой  части к oбщему знаменателю — многочлену  D(x),— заменяется  равносильным неравенством , которое,  в свою очередь,  равносильно неравенству Ф(x)⋅D(x)>0.

Решение этого неравенства проводится методом интервалов. Иной путь состоит в замене неравенства Ф(x)⋅D(x)>0  равносильной ему совокупностью систем неравенств

и последующим  решением  каждой  из  них.

Заметим, что иногда метод интервалов применяют сразу к  неравенству  ,  не переходя к  неравенству Ф(x)⋅D(x)>0.

Пример. Решить  неравенство

Решение.  

–4< x <–1, 2< x <3

Ответ: (–4; – 1)∪(2; 3).

2.Неравенства, содержащие переменную под знаком корня

а)  Возведение в степень.

Основным методом решения неравенств, содержащих радикалы, является возведение, возможно даже неоднократное, обеих частей неравенства в соответствующую степень.

При возведении обеих частей неравенства в степень надо следить за равносильностью преобразований.

Пример 1.  Решить неравенство  .           (1)                                                                                                                                                                                                                                                          

Решение. ОДЗ неравенства состоит из всех x, удовлетворяющих одновременно условиям  х+2>0,     8x +7 ≥ 0, x + 2 ≥ 0, x + 3 ≥ 0,

т.е. ОДЗ есть все х из промежутка. Перепишем неравенство (1) в виде.   (2)

На ОДЗ обе части неравенства (2) неотрицательны, поэтому возводя обе части этого неравенства в квадрат, получим на ОДЗ исходного неравенства равносильное ему неравенство .  (3)

На ОДЗ неравенства выражение 6х+2 принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому разобьем ОДЗ на два промежутка  и . Для любого х, принадлежащего промежутку  , левая часть неравенства (3) неположительная, а правая — положительна. Это означает, что для каждого из таких х неравенство (3) выполняется.

Если х принадлежит промежутку , то обе части неравенства (3) неотрицательны и оно на этой области равносильно неравенству , т.е. неравенству   (4)

Решение неравенства (4) есть все x  из промежутка  

Для x из этого промежутка условию  удовлетворяют только x из промежутка Объединяя полученные решения в каждом из двух случаев, получаем, что решениями исходного неравенства является промежуток

Ответ:

б) Умножение неравенства на функцию.

 В некоторых случаях полезно умножение обеих частей неравенства, содержащих радикалы, на некоторую функцию f (х), имеющую смысл на их ОДЗ.

При решении неравенства надо следить за равносильность: преобразований неравенства на его ОДЗ и поэтому можно умножать обе части неравенства на функцию, принимающую на ОДЗ неравенства только значения одного знака либо разбивать ОДЗ на промежутки, на которых функция знакопостоянна и делать равносильные преобразования на этих промежутках.

Пример 2. Решить неравенство   (5)

Решение. ОДЗ   неравенства (5) состоит из всех х, для которых – 2 ≤ x ≤ 2. Поскольку на ОДЗ , то, умножив исходное неравенство  (5) на функцию ,  получим неравенство   (6)

равносильное исходному на множестве – 2 ≤ x ≤ 2.

При 0 < х ≤ 2 имеем |x|=x и неравенство (6) перепишется в виде   (7)

Решения неравенства (7) составляют промежуток  Поэтому для этих х решения неравенства (6)  составляют промежуток

При –2 ≤ х < 0 неравенство (6) перепишется в виде   (8)

Решения неравенства (8) составляют промежуток Поэтому для этих x решения неравенства (6) составляют промежуток Следовательно, решением неравенства (5) является объединение промежутков и т. е. интервал

Ответ:

3. Неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифма

а) Переход к числовому основанию

Одним из основных способов решения  неравенств вида  (1)  является следующий.

1. Найти ОДЗ  неравенства.

2. Перейти в логарифмах к некоторому основанию а, а — где фиксированное число, а >0 и а≠1, т. е. заменить неравенство (1)—равносильным ему на ОДЗ неравенством (2)

3. Решить полученное стандартное по внешнему виду  неравенство (2) на ОДЗ исходного  неравенства. Его решения и будут решениями исходного  неравенства.

Заметим, что ОДЗ  неравенств (1)  и (2) совпадают, поэтому можно сразу переходить от неравенства (1) к неравенству (2) и решать их на своей ОДЗ.

Пример 3. Решить неравенство   (3)

Решение. ОДЗ неравенства (3) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 2 + x>0, х2 + 2х>0, x>0 х≠1, х2>0, х2 ≠ 1, т. е. ОДЗ состоит  из двух промежутков:0<x<1  и 1<x<+∞.

Перейдем в логарифмах неравенства (3) к логарифмам по основанию, например, 2. В результате получим неравенство  (4)

равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку на ОДЗ исходного неравенства имеем log2 (х2 +2х) = log2 x +log2 (2+x) и log2x2 = 2log2 x, то неравенство (4) для этих х можно переписать в виде

или в виде  или, наконец, в виде   (5)

Неравенство (5) равносильно совокупности двух систем неравенств:

 и

которая в свою очередь  равносильна совокупности двух систем неравенств:

  И  

Решение первой из этих систем есть х>1, а вторая система решений не имеет. Поскольку все х> 1 входят в ОДЗ исходного неравенства, то все они являются его решениями.

Ответ: 1< x <+∞.

б) Неравенства вида

 Согласно общему методу решения неравенств, содержащих неизвестную в основании  логарифмов, неравенство   (6)

равносильно при a>1 неравенству

которое можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно совокупности систем неравенств

 и

или совокупности систем неравенств

  и    (7)

Поэтому неравенство вида (6) можно решать следующим образом:

1.Перейти от неравенства  (6) к равносильной совокупности  неравенств (7).

2.Решить совокупность неравенств (7), ее решения и будут  решениями неравенства (6).

Пример 4. Решить неравенство   (8)

Решение.  Неравенство (8)   равносильно   совокупности двух систем неравенств:

 (9)                   (10)

Система (9) равносильна совокупности двух систем:

   и  

из которых первая не имеет решений, а решение второй составляет промежуток –∞<x< – 1.

Система (10) равносильна совокупности систем неравенств:

   и    

Решения первой системы этой совокупности  есть  множество , а вторая система решений не имеет.

Следовательно, решение исходного неравенства есть все x из объединения двух промежутков –∞<x< – 1 и .

Ответ:  –∞<x< – 1 , .

Процесс решения неравенства вида (6) иногда оформляют следующим образом:

1. Находят ОДЗ неравенства (6).

2. Разбивают ОДЗ неравенства (6) на два множества M1 и М2: M1 — та часть ОДЗ, где ϕ(x)>1, М2— та часть OДЗ, где 0<ϕ(x)<1.

3.На M1 решают неравенство f{x)>g(x), равносильное  на M1 исходному неравенству.

4. На М2 решают неравенство f{x)<.g{x), равносильное на  М2 исходному неравенству.

Объединяя решения, найденные на M1 и М2, получают все решения исходного неравенства.

4. Неравенства, содержащие неизвестную в основании и показателе степени

Рассматриваются  неравенства вида   (1)

При  решении таких  неравенств принято считать, что ОДЗ их определяется из условий:

 1. На ОДЗ  все функции f(x), g(x), ϕ(x)   и  h(x) имеют смысл.

2. На ОДЗ основания степеней, т. е. функции f(x) и g(x), положительны.

а)  Логарифмирование неравенств.

Общим способом решения  неравенств вида (1)  является следующий:

1.Найти ОДЗ неравенства.

2.Логарифмируя затем левую и правую части неравенства по некоторому основанию а, а>0, a≠ l (далее будем считать, что а>1), заменить неравенство (1)равносильным ему на ОДЗ неравенством  

3.Решить на ОДЗ стандартное по внешнему виду неравенство на ОДЗ исходного неравенства.

Пример 5. Решить неравенство  (2)

Решение.

ОДЗ неравенства есть промежуток . Подчеркнем, что основания степеней в обеих частях неравенства (2) положительны на ОДЗ. Логарифмируя неравенство (2) по основанию 2, получим равносильное ему на ОДЗ неравенство

Перепишем это неравенство в виде  или в виде –.   (3)                                                      

Решениями неравенства (3) являются все х из промежутка .Все эти х ,входят в ОДЗ исходного неравенства и поэтому являются его решениями.

Ответ: .

б)Неравенства вида .

Согласно общему методу решения таких неравенств после

логарифмирования неравенства  (4)

получаем неравенство . (5)

равносильное исходному на его ОДЗ. Неравенство  (5) равносильно на этой ОДЗ совокупности двух систем неравенств и  (6)

Легко видеть, что совокупность систем неравенств  (6)  и неравенство   (4)   равносильны  на  ОДЗ  совокупности   (6), т. е. просто равносильны. Поэтому неравенство  (4)  можно решать таким способом:

1.  Заменить   неравенство   (4)   равносильной   ему   совокупностью систем неравенств (6).

2.  Решить  совокупность  систем   неравенств   (6).   Ее  решения и будут решениями неравенства (4).

Пример 6. Решить неравенство  (7)

Решение.    Неравенство   (7)   равносильно   совокупности двух систем неравенств:

Поскольку

то, применяя метод интервалов, получаем, что решение неравенства   есть   объединение   множеств  и , а решение неравенства  есть     объединение      множеств  и .                                                         Следовательно, решения  системы  неравенств   (8)   составляет  множество x >1,  а решение   системы  неравенств   (9)   составляет множество. Решение  исходного  неравенства   (7)  есть  объединение  промежутков  .

Ответ: .

в) Неравенства вида .

Согласно общему методу решения  таких неравенств после логарифмирования

   (10)

получаем неравенство  (11)

равносильное исходному на его ОДЗ. Неравенство (10) равносильно на этой ОДЗ совокупности двух систем неравенств:  и  (12)

Легко видеть, что совокупность систем неравенств (12) и неравенство (10) равносильны на ОДЗ совокупности (12), т. е. просто равносильны. Поэтому неравенство (10) можно решать и таким способом:

1.  Заменить  неравенство   (10)   равносильной  ему  совокупностью систем неравенств (12).

2.  Решить совокупность систем неравенств (12), ее решения и будут решениями неравенства (10).

Пример 7. Решить неравенство  (13)

Решение.    Неравенство   (13)   равносильно     совокупности двух систем неравенств:

  и

ОДЗ систем неравенств  (14)  и   (15)  есть все x≥0. Докажем, что для  любого x≥0  выполняется  неравенство .В самом деле, при любом х, 0≤x≤1, имеем и , поэтому  .    При   любом x>1 имеем , поэтому . Следовательно, на множестве x≥0 система (15) решений не имеет, а система (14) равносильна системе неравенств (16)

Поскольку при x>0 имеем x+1>0  и x+2>0, то второе неравенство системы (16) для x>0 равносильно неравенству,, которое можно переписать в виде 3x + 4>0. Последнее неравенство справедливо для любого x>0. Следовательно, система неравенств (14) справедлива для любого x>0. Поэтому множество решений исходного неравенства есть все х>0.

Ответ: х>0.

5. Неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины.

а) Неравенства вида |f(x) |

Неравенство |f(x) |   (1)

можно решать основным методом. Однако иногда бывает полезно заменить неравенство (1) равносильной ему системой неравенств

Пример 8. Решить неравенство  .   (2)                 

Решение.  Данное   неравенство  равносильно  системе   неравенств

которую можно переписать в виде  (3)

Решения первого неравенства системы (3) составляют промежуток – 3<x<1, решения второго составляют промежуток x>0. Следовательно, решения системы неравенств (3), а значит, и исходного неравенства (2) составляют промежуток 0<x<1.

Ответ: 0<x<1.

б) Неравенства вида |f(x) | > g (x).

 Неравенство |f(x) | > g (x)                                                           (4)

можно решать основным способом. Однако иногда бывает полезно разбить ОДЗ неравенства (4)

на две части иначе, а именно:

1.  Найти область, где g(x)<0. Все х из этой области дают решение неравенства (4).

2.  Найти область, где g(x)≥0 и на ней рассмотреть неравенство

Объединение найденных решений и дает решение неравенства (4).

Пример 9. Решить неравенство  (5)

Решение. ОДЗ неравенства  (5)  состоит из всех действительных х.

а)  Найдем те х, для которых <0.          (6)                                      

Перепишем неравенство (6) в виде .        (7)                                          

Ясно, что никакое x  из промежутка x≥0 не является решением неравенства (7). Пусть x<0, для этих x неравенство (7) равносильно неравенству (8)

Решения   неравенства   (8)   составляют два  промежутка:

Из этих х условию x<0 удовлетворяют лишь х из промежутка  .

Следовательно, решением неравенства   (6)  являются все х из промежутка , все эти х являются решениями исходного неравенства (5).

б)  Теперь  на множестве  рассмотрим неравенство  (9)

Неравенство (9) можно переписать в виде (10)

Ясно, что x= не есть решение неравенства (10). Для любого x> левая часть неравенства (10) отрицательна, а правая положительна, следовательно, среди x>  нет решений неравенства (10). Для любого x<  левая часть неравенства (10) положительна, а правая отрицательна, следовательно, любое из этих x является решением неравенства (10). Из этих x  в   множество       входят   все   x   из   промежутка

Все они являются решениями исходного неравенства (5).

Объединяя решения, найденные в пунктах а) и б), получаем решение исходного неравенства.

Ответ: x< .

в) Неравенства вида |f(x) | > |g (x)|.

 Неравенство |f(x) | > |g (x)|   (11) можно решать согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заменить неравенство (11) неравенством f 2(x) 2(x), т. е. неравенством (f(x) +g(x)) (f(x)– g(x)) <0, равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 10. Решить неравенство .           (12)

Решение.   ОДЗ   этого   неравенства   есть  все  действительные x. Неравенство (12) равносильно неравенству

которое можно переписать в виде .  Решением этого неравенства является любое действительное х, кроме x = 0. В самом деле, для любого х, принадлежащего промежутку , имеем х3<0 и , поэтому  для любого такого х. Для любого х, принадлежащего промежутку (–π; 0), имеем х3<0 и sin x <0, поэтому и . В силу четности функции  получаем, что все x>0 также являются решениями неравенства. Очевидно, что x = 0 неравенству не удовлетворяет.

Ответ:

г) Использование свойств абсолютной величины.

 При решении уравнений и неравенств с модулем иногда бывает полезно решать их не по основному методу, а применять свойства модуля, в основном неотрицательность на ОДЗ выражения, находящегося под знаком модуля.

Пример   11.Решить неравенство  (13)

Решение.   Для   любого х≤2   имеем   7 –x ≥5,    поэтому , а это означает, что ни одно из не является решением неравенства (13).

Для любого х≥4 имеем |x|≥4, и поэтому , а это означает, что ни одно х≥4  также не является решением неравенства (13).

Для любого х из  промежутка 2<x<4 имеем 3<7–x<5, поэтому    |7–х|>3    и    |х| >2.   Следовательно,   ,   а  это  означает,  что  ни  одно х из  промежутка

2<x<4 не является решением неравенства (13). Итак, неравенство (13) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

6.Применение основных свойств функций

а) Использование  ОДЗ.  

 Иногда  знание  ОДЗ   позволяет доказать, что неравенство   не имеет решений, а иногда позволяет найти решения неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 12. Решить неравенство . (1)

Решение. ОДЗ неравенства (1) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям , т. е. ОДЗ состоит из двух чисел  и . Подставляя  в неравенство (1), получаем, что его левая часть равна 0, правая равна , т. е.  есть решение неравенства (1). Подставляя  в неравенство (1), получаем, что  не является его решением, поскольку левая часть неравенства (1) равна 0, а правая часть равна .

Ответ: х=1.

б) Использование ограниченности функций.

При решении  неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы неравенства f(x)>A и g(x)где А — некоторое число, то на множестве М неравенство f(x)решений не имеют.

Заметим, что роль числа  А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.

Пример 13. Решить неравенство  (2)

Решение. ОДЗ неравенства (2) есть все действительные х, кроме x = –1. Разобьем ОДЗ на три множества: х < –1, –l<x≤0, x>0 и рассмотрим неравенство (2) на каждом из этих промежутков.

Пусть х < –1. Дли каждого из этих х имеем g(x)= <0, а f (x)= >0.

Следовательно, все эти х являются  решениями неравенства (2).

Пусть –l<x≤0.    Для каждого из этих х   имеем    g(x) =1–≥1, а  f (x)= ≤1. Следовательно, ни одно из этих  х не является решением неравенства (2).

Пусть x>0 .  Для каждого   из этих х имеем   g(x)= 1–<1, a f (x)= >1. Следовательно, все эти х являются  решениями неравенства (2).

Ответ: x < –1, x >0.

в) Использование монотонности.

Пример 14. Решить неравенство  (3)

Решение. Каждая из функций , непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит,  такой же является и исходная функция у= . Легко видеть, что при x=0 функция  у=  принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х>0 имеем >3, при  х<0 имеем  <3. Следовательно, решениями неравенства (3) являются все x<0.

Ответ: x<0.

г) Использование графиков.

При решении неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение неравенства было очевидно.

Обратите  внимание, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо обосновать.

Пример 15. Решить неравенство   (4)

Решение.

ОДЗ неравенства (4) есть все x из промежутка [–1, 1]. Эскизы графиков функций  и g(x) =  представлены на рис. 1. Из графика следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (4) справедливо. Докажем это. Для каждого х∈[–1, 1] имеем , а для каждого такого х имеем, что . Значит,    для   каждого   х∈[–1, 1]  имеем . Следовательно, решением не

Рис.1

равенства (4) будут все х из промежутка [–1, 1]. Ответ: –.

Выступление на МО учителей математики

Учитель Плющик Н. П.