Урок как целостная методическая система обучения математике
статья на тему

Урок как целостная методическая система обучения математике

Введение

Урок  остается основной формой организации процесса обучения в целом и математике в частности. Из всех известных в настоящее время форм обучения, в том числе нетрадиционных, только урок обеспечивает усвоение учащимися определенной системы математических знаний. Современный урок математики - это урок, который проектируется и проводится на основе новейших достижений психолого-педагогической и методической науки, с использованием передового педагогического опыта.

Рассмотрим основные этапы развития теории и практики урока.

Как известно, в Древней Греции обучение было преимущественно индивидуальным. В школах средневековья преобладала индивидуально-групповая форма обучения. В XVII веке возникла и получила распространение во всем мире классно-урочная система занятий. Для ее развития много сделали и русские педагоги, в том числе К.Д. Ушинский. Он разработал теорию урока, в которой большое внимание уделял самостоятельной работе учеников.

В нашей стране в 20-е годы XX столетия сформировалось резко отрицательное отношение к содержанию и методам дореволюционной школы как буржуазной. Вводились такие формы обучения, как бригадно-лабораторный метод, метод проектов и комплексная система обучения. Математика (как и любой другой учебный предмет) не выступала в качестве самостоятельного и систематического предмета изучения, а являлась «вспомогательным» средством для выполнения определенного проекта в комплексе знаний по трем общим разделам: природа, труд, общество. Такое обучение разрушало принцип систематичности и системности знаний, что привело к снижению уровня математической подготовки учащихся.

В начале 30-х годов прошлого столетия стала возрождаться классно-урочная система обучения, урок становится его основной формой. С тех пор не прекращаются исследования по совершенствованию урока в целом и урока математики в частности.

В пятидесятые годы появился целый ряд основательных теоретических работ, раскрывающих суть урока, который  теперь условно называют традиционным. Деятельность учителя заключалась в объяснении с применением наглядности, комментариями, доказательствами. Деятельность учащихся сводилась к запоминанию объяснений учителя, воспроизведению изученного, выполнению по образцу самостоятельных работ на этапе закрепления и контроля знаний.

Традиционное построение урока в 50-60-е годы прошлого века стало подвергаться резкой критике как со стороны ученых, так и со стороны работающих учителей. Поиск путей повышения эффективности урока шел разными путями. Но в каждом из направлений начинает решаться проблема активизации познавательной деятельности учащихся. Однако ученик при этом продолжал оставаться объектом интенсивного обучения.

          Следующий этап в развитии урока (70-80-е гг.), связанный с решением проблемы активизации познавательной деятельности обучаемых, был направлен на изменение вида этой деятельности. В первую очередь он характеризуется тем, что ученик должен быть активным участником познавательного процесса, а его деятельность должна носить поисковый, творческий характер.

В настоящее время дидакты выделяют два аспекта сущности урока: как целостный педагогический процесс и как форма его организации. Урок в этом смысле - это динамичная и вариативная форма организации процесса целенаправленного взаимодействия определенного состава учителей и учащихся, включающая содержание, формы, методы и средства обучения и систематически применяемая  для решения задач образования, развития и воспитания в процессе обучения.

1. О единстве и целостности образовательной, развивающей и воспитательной функций урока

Образовательная функция урока математики

Образовательная функция обучения математике заключается в усвоении учащимися системы научных знаний, умений и навыков, в формировании у них умений творческого использования этих знаний и самостоятельного приобретения на их основе новых. Образовательная функция решает и мировоззренческие задачи. Учащиеся должны понимать, что такое математика, каков предмет ее изучения, в чем специфика ее метода познания действительности, как она связана с практикой, какова специфика математической деятельности и т.д. Ознакомление с математикой как определенным методом познания мира, формирование понимания диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, о математическом моделировании, владение математическим языком, понимание сущности и роли в познании действительности ведущих математических понятий способствуют миропониманию, вносят существенный вклад в формирование общей культуры личности.

Математические знания включают в себя: историю математики, предмет математики, ее ведущие понятия и их связь с действительностью, путь познания в математике и его методы (в том числе и аксиоматический метод), сущность и методы доказательства и связанную с ними логическую культуру, специфику поисковой математической деятельности и ее методы, стиль математического мышления, специальные методы и приемы.

Развивающая функция урока математики

В процессе овладения системой знаний, умений и навыков происходит развитие:

- мышления (через усвоение логических операций анализа, сравнения, синтеза, обобщения, абстрагирования, конкретизации и т.д.), воображения, памяти, речи, чувств, познавательного интереса и познавательных потребностей;

- качеств ума (пытливость, гибкость, критичность, креативность, глубина, широта, самостоятельность).

Развивающая функция обучения математике связана в первую очередь с развитием интеллекта человека.

Следует отметить компоненты культуры мышления, которые можно формировать у школьников при надлежащем содержании и технологии обучения.

1. Осознание предмета математики, ее ведущих понятий, идей и методов, осмысленное оперирование ими как при изучении математики, так и в ее приложениях и в практической деятельности.

2. Владение логической составляющей математической деятельности:

- понимание логической структуры определения понятия (род, видовые отличия, их конъюнктивная или дизъюнктивная связь, наличие и смысл кванторов, умение формулировать отрицание понятия);

- умение оперировать определением понятия: подводить под понятие,

выводить следствия;

- умение сравнивать объекты по указанному признаку, выделять существенные основания для их сравнения;

- умение проводить классификацию понятий по заданному и самостоятельно найденному основанию;

- понимание логической структуры теоремы, умение формулировать обратное, противоположное, противоположное обратному утверждения и понимание логической связи между этими четырьмя предложениями;

- понимание сущности доказательства, полноценности аргументации;

- владение дедуктивными методами доказательств и опровержений:

синтетическим, аналитическим, от противного, методом исчерпывающих проб, полной индукции, контрапозиции, методом математической индукции.

3. Владение эвристической составляющей математической деятельности:

- умение выявлять закономерности и устанавливать аналогии;

- умение осуществлять перебор возможных случаев;

- умение выдвигать гипотезы на основе аналогии, неполной индукции, обобщения, конкретизации, пространственного воображения, интуиции как для постановки проблем, так и для их решения.

4. Умение отличать достоверные выводы от правдоподобных, вероятностных выводов.

5. Владение алгоритмической составляющей математической деятельности:

- понимание сущности алгоритма;

- умение пользоваться готовыми алгоритмами;

- умение самостоятельно создавать алгоритм какого-либо действия.

6. Владение математическим языком (математической терминологией, символикой), умение четко, последовательно, лаконично, логично выражать свои мысли как устно, так и письменно.

Развивающая функция обучения математике будет реализована при соблюдении следующих основных условии:

• включение учащихся в поиск субъективно новых для них знаний в соответствии со спецификой творческой математической деятельности;
• овладевание методами и способами поисковой математической деятельности;
• выявление учащимися проблемы, учебной проблемной задачи, на решение которой и направлен поиск;
• совместное (учителя и учащихся) решение проблемы, оценка найденного способа действия;
• рефлексия учеником полученных результатов и собственной деятельности.

Воспитательная функция урока математики

Воспитывающая функция проявляется в обеспечении:

• - осознания учеником своей учебной деятельности как социально значимой;
• -формирования его нравственно-ценностных ориентиров в процессе овладевания знаниями, умениями и навыками;
• -формирования положительных мотивов учения;
• -формирования опыта общения между учащимися и сотрудничества с учителями в учебном процессе;
• -воспитательного воздействия личности учителя как примера для подражания.

Обучение, развитие и воспитание эмоционально-ценностного отношения к действительности, к деятельности, ее объектам и субъектам - это единый процесс, предполагающий усвоение учащимися знаний, умений, опыта творческой деятельности и эмоциональной воспитанности. Все это, взятое вместе, и обеспечивает духовное развитие личности в целом.

Поскольку личность целостна и едина, то и процесс ее формирования целостен. Целостное, духовное развитие личности ученика призвано обеспечить личностио-ориентированное обучение.

Развитие и саморазвитие личности ученика происходит в процессе целесообразно организованной деятельности, в которой ученик является не объектом «вооружения» его системой знаний, умений и навыков, а соучастником, субъектом получения этих знаний. Ключевыми положениями личностно-ориентированного обучения являются следующие:

- ученик в процессе обучения выступает как субъект познания и личностного развития, поэтому он самоценен;

- создание на уроке таких условий, при которых ученик «может» и «хочет» учиться;

- осознание, рефлексия учеником своей деятельности на всем протяжении процесса обучения;

- любая деятельность на уроке должна содержать для ученика «личностный смысл», когда он наделяет знания личностными, значимыми для него смыслами;

- личностно-ориентнрованное обучение предполагает превращение предметного (объективного) знания в личностное знание ученика. Личностное знание отражает сплав личных потребностей, личностного смысла и объективного предметного знания. Личностное знание связано с потребностью ученика в получении нового для него знания, с процессом познания, в котором он является активным участником получения нового знания.

Хотя стратегическая цель образования и провозглашена как развитие и саморазвитие ученика, это не означает, что собственно математическим знаниям должна отводиться второстепенная роль.  Обучать надо и математике и математикой. Следует уточнить, что развивает не математика сама по себе, а занятия математикой, математической деятельностью. Развивает и воспитывает ученика процесс получения математических знаний, в котором ученик является активным его соучастником, и вызывает у него положительные эмоции.              Необходимо создать такие условия, при которых ученик «хотел» и «мог» учиться математике.

2. Целеполагание и содержание современного урока математики

Цели урока должны отражать результаты учебной деятельности ученика. Результаты же деятельности учителя будут отражены в результатах учебной деятельности учащихся. Цель учителя - четко осознать и сформулировать желаемые результаты деятельности ученика и создать на уроке условия для их достижения. Результаты учебной деятельности ученика на уроке должны быть сформулированы таким образом, чтобы их можно было надежно опознать. На современном языке это означает, что цели обучения, в том числе и урока, должны быть диагностируемы. Наконец, в целях, хотя бы косвенно, следует отразить и характер, способ деятельности ученика, направленный на достижение выделенных результатов.

        Исходя из сказанного, под целями урока будем  понимать желаемый результат учебной деятельности ученика на уроке и способ его достижения

Рассмотрим примеры.

Цели урока ознакомления с новым учебным материалом.

 Тема: «Умножение положительных и отрицательных чисел».

 Цели: формирование знаний о правилах умножения положительных и отрицательных чисел и умений применять их в простейших случаях; развитие умений сравнивать, выделять закономерности, обобщать; воспитание ответственного отношения к учебному труду.

Цели урока-практикума.

Тема: «Применение нескольких способов разложения многочленов на множители». Цели: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при разложении многочленов на множители; развивать навыки самоконтроля; сформировать умения разлагать многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, группировкой и применением формул сокращенного умножения.

          Анализ таких формулировок приводит к следующим выводам. Во-первых, практически всегда образовательные цели ставятся посредством глагола «формировать...». Постановка цели в такой форме, во-первых, неопределенна, во-вторых, не диагностична, в-третьих, не указывает на характер взаимосвязанной деятельности учителя и ученика на уроке. Глагол «формировать» отражает лишь деятельность учителя, да и то неопределенно. Самое же существенное состоит в том, что в них четко не отражены ожидаемые результаты деятельности ученика.

          В педагогической науке выделяются еще два аспекта в постановке целей: содержательный и языковый. Содержательный аспект показывает, какое содержание должны усваивать школьники для достижения стратегической цели математического образования - обучать математике и развивать и воспитывать учебной математической деятельностью. Язык постановки цели помогает определить, усвоено ли это содержание и на каком уровне. В качестве такого языка  используются глаголы «знает», «понимает», «имеет представление», «применяет в простейших ситуациях» и т.д.

Поскольку цели обучения (урока) включают в себя содержательный аспект, то для их постановки следует определить, какое содержание должны усваивать школьники, чтобы обеспечить достижение стратегических целей математического  образования

Содержание образования состоит из четырех взаимосвязанных элементов:

-    знания о человеке, обществе, технике, мышлении и способах деятельности (знания - результат);

- опыт осуществления коммуникативной, умственной, физической и трудовой деятельности, обеспечивающий формирование интеллектуальных, трудовых и др. умений и навыков (представляется в форме умений действовать по образцу);

- опыт творческой поисковой деятельности (представляется в форме умений принимать нестандартные решения в проблемных ситуациях);

- опыт эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам (людям, к миру, к себе). Он состоит не в знаниях и умениях, хотя и опирается на них, отражает направленность личности и проявляется в форме личностных ориентации (убеждений, интересов, желаний и т.д.). Важно формировать у школьников эмоционально-ценностное отношение к изучению математики, к математической деятельности.

Структура содержания общего математического образования, усвоение которого учениками обеспечивает достижение триединой цели (образовательной, развивающей и воспитательной):

- предмет и метод математики, её ведущие идеи и понятия, математический язык, связь с другими науками и практикой, математическое моделирование;

- процесс познания в математике;

- специфика творческой математической деятельности как сплав интуиции и логики;

- методы научного познания (как общие эвристические и логические, так и частные способы и приёмы);

- эстетика математики:

- культура мышления;

- история математики;

- эмоционально-ценностное отношение к математике и математической деятельности;

- информационный компонент.

Выделенное содержание позволяет сформулировать, прежде всего, цели общего математического образования следующим образом.

Выпускник общеобразовательной школы математически образован, если он:

- знает сущность предмета математики;

- имеет представление об особенностях математического метода познания действительности;

- имеет представление о том, что сама математика является методом познания действительности;

- знает ведущие понятия математики и умеет оперировать ими;

- владеет математическим языком и символикой;

- имеет представление о математических моделях простейших реальных процессов и явлений;

- имеет представление о прикладных аспектах математики;

- имеет представление о влиянии математики на социальное развитие общества и наоборот;

- знает основные общенаучные методы познания (эвристические и логические) и умеет применять их как в математической, так и в других видах деятельности;

- знает специальные (частные) математические методы и приемы и умеет применять их для решения математических и прикладных задач;

- овладел культурой мышления;

- владеет культурой общения, культурой труда;

- имеет представление об основных периодах развития математической науки как части общечеловеческой культуры;

- приобщился к опыту творческой математической деятельности и опыту эмоционально-ценностного отношения к деятельности и ее объектам.

Следующее требование к цели урока состоит в том, что она должна носить триединый характер. Триединая цель включает в себя познавательный аспект (дидактическая цель), развивающий и воспитательный. Воспитательная и развивающая цели урока определяются в основном степенью участия ученика в деятельности по добыванию новых знаний. Образовательные цели урока предполагают усвоение знаний, формирование умений и навыков. В категорию знаний входят: знание формулировок определений математических понятий, аксиом, теорем, способов деятельности, а также методологических знаний. Дидактические (образовательные) цели урока формулируются в терминах «знает», «понимает», «имеет представление», «умеет», «применяет в стандартных ситуациях» и т.д. Дидактические цели достигаются в течение одного или нескольких уроков изучения темы.

Постановка развивающих целей урока - наиболее трудный этап подготовки учителя к уроку. Это объясняется тем, что развитие происходит гораздо медленнее, чем обучение. Невозможно точно сформулировать развивающий аспект целей для одного урока, а иногда и для системы уроков учебной темы.  Цель и результат развивающего обучения заключаются в изменении учеником самого себя в процессе учебной деятельности, субъектом которой является ученик. Поэтому развивающая цель урока может ставиться лишь неявно, косвенно, через специфику учебной деятельности ученика на любом ее этапе, через степень  участия ученика в поисковой деятельности. Развивающий аспект целей,  отражают глаголы: «найти», «открыть», «выявить», «определить», «обосновать», «спрогнозировать», «установить», «исследовать» и т.д. Эти глаголы определяют поисковый характер деятельности ученика на уроке, что способствует развитию познавательного интереса, умения сравнивать, анализировать, синтезировать, выдвигать гипотезы (на основе аналогии, интуиции, неполной индукции), обобщать, доказывать и т.д.

Воспитательные цели также носят долговременный характер и достигаются лишь системой уроков. Воспитательные цели дидакты ассоциируют, прежде всего, с воспитанием эмоционально-ценностного отношения к учебной деятельности, к ее предмету и к ее субъектам (самому себе, учителю, учащимся). Воспитывающее обучение направлено в том числе и на формирование потребностей, мотивов, интереса к предмету, связано с эмоциональными переживаниями.

Исходя из сказанного, можно сделать вывод о том, что развивающее и воспитывающее обучение предполагает превращение предметного знания в личностное знание учащихся, которое характеризуется рефлексией над действиями с предметным содержанием, рождением смыслов.

Участие ученика в получении нового знания, овладение им новыми способами математической деятельности, его эмоциональное и волевое напряжение при этом - все это в единстве обеспечивает достижение образовательной, развивающей и воспитательной целей урока. Поэтому триединая цель урока может интегративно формулироваться посредством глаголов, отражающих поисковый характер деятельности ученика: «найти», «выявить», «отыскать», «исследовать», «обосновать» и т.д. А далее отражается то содержание, которое следует «отыскать» или «исследовать». Однако такая формулировка не полностью описывает ожидаемые результаты обучения, которые можно опознать и продиагностировать. Для того чтобы в соответствии с поставленными целями можно было проектировать весь ход урока, необходимо описать, какими знаниями и умениями должен овладеть ученик в процессе решения поставленной учебной задачи.

Например, цели урока «Нахождение процента от числа, числа по его процентам и процентного отношения» (метод УДЕ) могут быть сформулированы следующим образом.

Выявить (посредством переформулирования соответствующих задач на части) задачи трех указанных видов на проценты и найти способы их решения на основе решения переформулированных задач.

В результате ученик:

- знает о существовании трех основных типов задач на проценты;

- осознает связь между ними как взаимно обратными;

- осознает их связь с задачами на нахождение части от числа, числа по части, отношения величин;

- знает два способа решения каждой задачи (непосредственно по определению процента и по найденному правилу);

- формулирует (составляет) задачи, обратные данной;

- умеет переформулировать задачи на нахождение части от числа, числа по его части.

Сформулированная в такой форме триединая цель урока содержит в единстве образовательные, чисто математические, развивающие и воспитательные цели. Следует отметить, что математическое содержание здесь представлено значительно шире, чем при традиционной формулировке «формировать умение решать задачи указанных трех видов»: акцент делается и на осознании связей шести типов задач, и на умении переформулировать задачи, составлять задачи указанных типов и т.д.

3. Структура урока математики

Традиционный урок математики характеризуется жесткой, инвариантной структурой - последовательностью шагов (структурных звеньев урока), ведущих к достижению поставленной цели.

Триединая цель достигается в ходе всего урока путем решения системы дидактических (учебных) задач - подцелей общей цели урока, которые и определяют основные структурные части урока.

Первая подзадача урока заключается не просто в актуализации знаний, а в формировании у школьника смысла и потребности в предстоящей деятельности. Поэтому первую часть урока называют мотивационно-ориентировочной.

Следующая часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи, а именно на открытие и формирование новых знаний и способов деятельности. В соответствии со структурой учебной деятельности  ее называют операционно- познавательной.

Наконец, третья важная подзадача заключается в осмыслении учеником собственной деятельности, ее процесса и результата. Поэтому  ее называют рефлексивно-оценочной.

Решение учебной задачи каждой части также состоит в решении частных подзадач, которые определяют ее структурные элементы.

Мотивационно-ориентировочная часть может состоять из четырех взаимосвязанных этапов:

    -    актуализации,

-    мотивации (проблемной ситуации),

    -    постановки учебной задачи (вычленение проблемы),

-   планирования ее решения.

Цель этапа актуализации состоит не только в повторении опорных знаний, но и в осмыслении учеником предыдущей деятельности. В систему упражнений на этом этапе важно включать такие, которые внешне сходны с теми, которые ученики могли только что решить, но фактически для их решения не хватает имеющихся знаний или способов действий. Таким образом, этап актуализации плавно переходит в этап создания мотивации дальнейшей деятельности.

Цель этапа мотивации заключается в формировании у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с открытием субъективно нового для него содержания. Известно, что деятельности без мотива не бывает. Мотив является внутренней побудительной причиной к действию, желанием удовлетворить какую-либо потребность. Правильно организованные этапы актуализации и мотивации призваны вызвать у ученика чувство уверенности - «могу» и желания - «хочу», что соответствует личностно-ориентированному обучению.

Этап мотивации естественно переходит в этап вычленения проблемы и постановки учебной задачи урока.

Ценность этапа постановки цели состоит в том, что ученик принимает посильное участие в ее формулировке. Цели для ученика должны быть не только понятны, но и внутренне приняты им, т.е. должны приобрести значимость для учащихся.

        Итак, третий этап заканчивается самостоятельной или совместной с учителем постановкой целей предстоящей деятельности.

На уроке они формулируются в форме: «открыть новый способ доказательства перпендикулярности прямой и плоскости», «выявить типы задач, которые можно решать на основе первого признака равенства треугольников», «формировать  умения и навыки в решении различных видов логарифмических уравнений», «исследовать различные случаи взаимного расположения двух плоскостей» и т.д.

Таким образом, поставленные учителем при подготовке к уроку цели в мотивационно-ориентировочной части урока озвучиваются лишь частично, в виде учебной задачи, которую предстоит решить ученикам совместно с учителем.

Цель этапа планирования состоит в проектировании программы дальнейшей деятельности. На этом этапе ученики прогнозируют последовательность действий, ведущих к достижению поставленной цели.

Итак,   можно  выделить  следующие  функции  мотивационно-ориентировочной части урока: побуждающую, смыслообразующую, направляющую.

Операционно-познавательная часть урока направлена на организацию деятельности учащихся, непосредственно связанной с решением учебной задачи. На уроках изучения нового материала она проектируется в соответствии со спецификой поисковой математической деятельности  и конкретизирована далее в технологическом процессе изучения определений математических понятий и теорем.

Рефлексивно-оценочная часть включает в себя следующие этапы:

- соотнесение целей и полученных результатов;

- осмысление методов, приемов, теоретических положений, с помощью которых получены эти результаты;

- осознание ценностей приобретенных результатов и соответствующих им методов;

- оценка собственной деятельности.

На первом этапе рефлексивно-оценочной части соотносятся цели, запланированные в начале деятельности, и полученные результаты по ее окончании. Соответствие целей и полученных результатов вызывает у школьников положительные эмоции от радости победы, от познания нового.

На втором этапе анализируются методы, приемы, теоретические положения, с помощью которых получены соответствующие целям результаты. Ученики оценивают новизну этих методов и приемов. Если они впервые их применяют, то выделяют суть этих методов и приемов, дают им названия. Если же методы и приемы известны учащимся, то они еще раз убеждаются в дополнительных возможностях их применения. Таким образом, школьники осознают не только результаты деятельности, но и способы их получения. Кроме того, ученики пополняют личный опыт новыми эвристическими приемами, преобразовывают теоретические знания в способы деятельности, в эвристические правила.

Под частной эвристикой мы понимаем возможный способ поиска, полученный в результате переформулировки соответствующего теоретического положения: аксиомы, определения, теоремы, результата решения ключевой задачи. Например, доказав теорему о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, и проводя описанную выше работу, получаем следующие эвристики:

1. Если будет известно, что треугольник равнобедренный, то можно использовать: а) равенство двух сторон; б) равенство углов при основании.

2. Для того чтобы доказать равенство двух углов, можно попытаться установить, что эти углы являются углами при основании равнобедренного треугольника.

В последнем случае важно поставить еще один вопрос: «Какие способы доказательства равенства углов вам теперь известны?»

На этапе оценивания собственной деятельности ученик анализирует значимость собственного вклада в совместно полученные результаты, свой уровень усвоения новых знаний и уровень усвоения способов работы с этим знанием, собственное эмоциональное состояние. На этом этапе школьник пытается ответить на вопросы: «Доволен ли я своей работой? Что мне было непонятно? Какой момент мне больше всего понравился? К обсуждению, каких вопросов мне хотелось бы вернуться?» и т.д.

Итак, можно выделить следующие функции рефлексивно-оценочной части: ценностнообразующую, самооценивающую.

Сопоставив выделенные выше элементы структуры урока с традиционными, можно определить элементы структуры современного урока математики в целом:

1. Проверка домашнего задания.
2. Актуализация.
3. Мотивация.

4. Проблемная ситуация.
5. Формулировка проблемы, постановка учебной задачи.
6. Планирование решения учебной задачи.
7. Открытие новых знаний и способов действий.
8. Первичное осмысление, прогнозирование результатов.
9. Воспроизведение изученного и его применение в стандартных ситуациях.
10. Перенос знаний и их применение в новых, видоизмененных ситуациях,

11. Самостоятельное выполнение заданий под контролем учителя.

12. Обобщение и систематизация новых знаний, способов действий, способов рассуждений.

13. Контроль знаний и умений (проверка по пройденному материалу).

14. Рефлексия учеником своих действий и самооценка (своих действий, интереса к изучаемому, отношения к виду учебной деятельности).

15. Текущая диагностика.

16. Подведение итогов.

17. Постановка домашнего задания.

В свою очередь, методическая структура каждого этапа урока зависит от типа урока. В соответствии с основной дидактической целью выделяют следующие типы уроков:

1. Комбинированный урок.

2. Урок изучения нового учебного материала.

3. Уроки совершенствования знаний, умений и навыков. В математике это чаще всего уроки решения задач, уроки-практикумы.

4. Уроки обобщения и систематизации знаний.

5. Уроки контрольные (уроки проверки и оценки знаний).

 Выделенные уроки являются базовыми, основными, общеизвестными.

В последние годы в практике работы учителей проводятся нестандартные уроки: урок-лекция, урок-семинар, урок-практикум, урок-консультация, урок-зачет, урок-ролевая игра, урок-экскурсия, урок-дискуссия, урок-соревнование, урок-деловая игра, интегрированный урок, театрализованный урок и т.д.

4. Технология обучения

Под технологией обучения на уроке понимают систему методов, форм и средств обучения, способствующую усвоению отобранного содержания и достижению поставленных целей. Теоретические основы методов, форм и средств обучения исследуются дидактикой.

Чаще всего сущность метода обучения трактуется как взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на достижение поставленных целей. Применительно к уроку можно сказать, что метод обучения - это взаимосвязанная деятельность учителя и учащихся, направленная на постановку и решение учебных задач урока.

В отечественной дидактике существует несколько классификаций методов обучения:

1. По источникам знаний: словесные знания, наглядные и практические.

2. По степени взаимодействия учителя и учащихся: изложение, беседа, самостоятельная работа.

3. В зависимости от конкретных дидактических задач: подготовка к восприятию, объяснение, решение учебной задачи, закрепление и т.д.

4. По характеру познавательной деятельности учащихся и участия учителя в учебном процессе (по степени самостоятельности учащихся): объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично-поисковый, исследовательский.

5. Логические методы: индуктивный, дедуктивный.

 В наибольшей степени развивающая функция обучения обеспечивается методами проблемного обучения.

Проблемное изложение (рассказ, описание) как метод обучения дает образец мысленно проводимого исследования. В нем имеют место анализ, выявление противоречий и обобщение данных анализа, постановка и формулирование гипотез, последовательная их проверка (анализ и синтез), формулирование решения (синтез и рефлексия). Все выводы принимаются на основе доказательств. Этот образец рассуждения реализует учитель.

Частично-поисковый, или эвристический, метод (эвристическая беседа дискуссия, диспут, мысленный эксперимент, моделирование) опирается на вышеописанную модель проблемного изложения, которая реализуется учителем и учащимися в совместной деятельности. Вопросы задают и учитель, и учащиеся, направление поиска, ход беседы, дискуссии, диспута в значительной степени зависят от ответов учащихся. Эвристический метод позволяет им открыть новые смыслы в учебной информации, ибо анализ, синтез и рефлексия как основа суждений, рассуждений, доказательств и умозаключений, а затем и теоретических обобщений в полной мере способствуют развитию и эвристического и логического мышления. Управление познавательной деятельностью учащихся осуществляет учитель путем специальной системы вопросов, заданий.

Исследовательский метод опирается на полную самостоятельность учащихся в их учебно-познавательной деятельности. Постановку целей деятельности, выявление противоречий, формулирование гипотез, их решение и проверку делают сами учащиеся.

Вместе с тем непосредственное воплощение этих методов на уроках математики невозможно без учета специфики исследовательской математической деятельности.

        Проблемное обучение на уроке может быть организовано следующим образом: выявление проблемной задачи — формулировка цели учебной деятельности — самостоятельное «открытие» математической закономерности на основе эмпирических методов — выдвижение гипотез — проверка их истинности посредством доказательства или опровержения (также связано с поиском).

       Конструирование технологии обучения с опорой на специфику исследовательской математической деятельности отражает деятельностный подход к обучению математике.

         Важным условием успешности включения ученика в поисковую математическую деятельность является владение им базовыми знаниями, умение оперировать ими. В математике в качестве таких знаний выступают основные единицы содержания, которые отражены в стандартах математического образования. Любой ученик должен владеть базовыми знаниями на уровнях «знание», «понимание», «применение в простейших ситуациях». Оптимальному решению этой задачи соответствует разрабатываемый наиболее активно в последние годы технологический подход в обучении. Он включает в себя:

- постановку и формулировку учебных целей, ориентированных на достижение запланированных диагностируемых целей обучения. Эти цели формулируются через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся, которые можно надежно опознать;

- организацию учебных процедур, ориентированных на гарантированное достижение поставленных целей;

- осуществление оперативной обратной связи (оперативная диагностика, позволяющая управлять процессом усвоения, в случае необходимости - его корректировать);

- заключительную (итоговую) оценку результатов в соответствии с поставленными целями.

5. Условия проектирования современного урока математики

Подведем итоги: определим основные условия проектирования современного урока математики.

1.  Целостность урока, которая обеспечивает его новое качество как системного явления. Это условие предполагает рассматривать урок как целостную методическую систему, как органичный синтез основных ее компонентов: особенностей учащихся данного класса, целей, содержания, технологии обучения. Целостность, гармоничность урока не возможна без логики. Она проявляется, прежде всего, в его математическом содержании. Если это урок изучения нового, то подобранные упражнения для этапа актуализации, мотивации, проблемной ситуации, целеполагания в основном должны быть связаны с новыми для учеников знаниями. Если это уроки решения задач, то важно, чтобы задачи были связаны единой идеей, определяемой целью урока, но не подобраны по принципу «какие есть в учебнике». Логика содержания определяет и логику этапов урока. Важно, чтобы каждый этап урока был логически связан с последующим. При этом учителю следует делать логические переходы от одного этапа к другому (подводить по ходу урока промежуточные результаты, мотивировать переход к следующему этапу и т.д.). В таком случае смысл деятельности будет понятен каждому ученику, а мотивация будет осуществляться не только в начале, но и на протяжении всего урока.

Логика урока состоит и в системе вопросов и заданий учителя.

2.  Методологической основой проектирования каждого компонент урока в отдельности и урока в целом является интеграция основных психолого-педагогических концепций обучения, направленных на развитие и саморазвитие личности ученика: личностно-ориентированное обучение, принципы гуманитаризации и дифференциации, деятельностный и технологический подходы к обучению.

3. Триединая цель урока математики:

        -   представляет желаемые результаты деятельности ученика на уроке, способы их достижения;

-    задается в диагностичной форме и отражает содержательную, процессуальную и результатирующую функции обучения;

-    «рождается» на уроке в атмосфере сотворчества учителя и учащихся и служит ориентиром учебной деятельности последних.

4. Содержание, усваиваемое учащимися, должно быть гуманитарно-ориентированным и адекватным триединой цели урока.

5. Технология обучения проектируется в соответствии с выделенными

выше концепциями и должна гарантировать достижение диагностично поставленных целей урока.

6. Структура урока математики должна содержать три инвариантные части: мотивационно-ориентировочную, операционно-познавательную, рефлексивно-оценочную, на каждой из которых ученик - активный соучастник.

7. Создание ситуации успеха на уроке для каждого ученика. Принцип посильных трудностей. Ученик может быть активным участником на уроке лишь в том случае, если у него есть желание - «хочу» и уверенность в своих силах - «могу». Основная идея личностно-ориентированной дидактики заключается в том, чтобы «хочу» и «могу» выступали совместно, поддерживая друг друга. При этом важно создавать «ситуацию успеха». Конечно, эта ситуация будет разной для каждого ученика. Поэтому в арсенале учителя должны быть вопросы и задачи разного уровня сложности.

8. Сотворчество учителя и учащихся. Современная дидактика трактует обучение как целенаправленное, заранее запрограммированное общение, в ходе которого осуществляется образование: школьниками усваиваются отдельные стороны опыта человечества, опыта деятельности и познания и осуществляется развитие, саморазвитие и воспитание ученика. Это общение на уроке переходит в сотворчество учителя и ученика, которое строится на взаимопонимании, совместном «проживании» и переживании. Приоритетное значение имеет личность самого учителя: насколько ему самому интересно то, что он излагает, может ли он вызвать положительные эмоции, создать психологический комфорт каждому, сформировать познавательные интересы («хочу» и «могу»). Общение на уроке проходит в форме диалога. Последний предполагает и стимулирует свободное высказывание учащимися гипотез, проблем, идей решения, даже если они и ошибочны. Важно создать обстановку, когда любой ученик не боится высказывать свое мнение, предложить гипотезу. Целью атмосферы сотрудничества и сотворчества учителя и ученика на уроке является поиск истин в обстановке доброжелательности, комфортности, эмоциональной напряженности всех участников процесса обучения.

9. Эстетическая направленность урока математики. Следует отметить два направления, обеспечивающие эстетику урока математики. Во-первых, это красота математического содержания и связь математики с миром красоты в окружающей действительности.

Проблема состоит в том, чтобы ученик осознал и воспринял эту красоту. Поэтому второе необходимое условие эстетической направленности урока состоит в степени участия ученика в учебной математической деятельности. Философы утверждают, что эстетика проявляется в процессе любой деятельности человека при условии, что деятельность носит творческий характер. Творчество по своей природе эстетично, так как оно предполагает активизацию и концентрацию человеческих чувств. Все выделенные выше условия проектирования современного урока математики обеспечивают в том числе и его эстетическую направленность.

Урок математики украшает «красота мысли». Общеизвестно, что истинное удовольствие от урока математики получают не только учитель и ученики, но и другие присутствующие на нем от того, как ученики рассуждают, участвуют в поиске, высказывают свои гипотезы, понимают, когда высказанное суждение только правдоподобно, а когда оно достоверно (логически обоснованно). Четкое, логически грамотное доказательство теоремы, обоснование решения, проведенное учениками, доставляет удовлетворение и ему самому, и тем, кто его слушает. Поскольку мысль на уроке выражается в речи, то урок математики украшает математически грамотная речь учащихся. Это возможно при определенных условиях. Прежде всего, сам учитель должен давать образец такой речи. Во-вторых, необходимо целенаправленно и настойчиво развивать речь учащихся.

Эстетическую направленность урока обеспечивает не только логическое, дедуктивное, мышление, но и чувственно-эмоциональное. Эмоциональная деятельность является одним из ведущих компонентов познавательной деятельности в целом. Она во многом определяет как успешность учебной деятельности ребенка, так и формирование всех его личностных структур.

Примерная схема анализа урока математики, с описанных выше позиций

1. Общие сведения: число, месяц, год, класс, школа, учитель.

2. Общая характеристика математического содержания урока:

    а) тема урока, её связь с предшествующим и последующим материалом, роль в изучении курса в целом;

   б) анализ особенностей математического содержания: понятия и логическая структура их определений; теоремы, приёмы и методы их доказательств, их новизна для учащихся; типы, приёмы и методы решения задач и т.д.;

   в) предпосылки для организации развивающего обучения, определяемые

математическим содержанием.

3. Постановка триединой цели урока как синтеза развивающих, образовательных и воспитательных целей: на каком этапе и кем сформулированы цели урока.

4. Выбор типа урока, методов, приёмов, средств, форм обучения и их соответствие поставленным целям.

5.  Анализ структуры урока, его отдельных этапов:

а) проверка домашнего задания: цели задания и проверки; приёмы проверки; глубина проверки знаний, умений и навыков учащихся, их мотивированная оценка; реакция учителя на ошибки учащихся; ликвидация причин появления ошибок; обучающая и воспитывающая роль контроля, его эффективность;

б) подготовка учащихся к активному, сознательному усвоению: актуализация знаний и её приёмы; пути создания мотивации учения или проблемных ситуаций; постановка целей урока, участие в ней школьников;

в) научность, полнота и последовательность изложения материала;

приёмы активизации деятельности школьников при изучении нового, степень их самостоятельности, приёмы управления познавательной деятельностью школьников, осуществление обратной связи; степень отражения в содержании урока и технологиях основных компонентов гуманитарно-ориентированного содержания математического образования, программных требований; соответствие содержания учебного материала триединой цели урока;

г) система упражнений и заданий на этапе осознания, осмысления, её соответствие поставленным целям;

д) система упражнений и задач на уроках-практикумах: методика постановки задач; формы организации деятельности учащихся и степень их самостоятельности в решении задач; нестандартные задачи и оригинальные решения; возбуждение интереса учащихся к математике через решение задач;

е) формы и приёмы контроля за усвоением знаний: диагностика достижения целей урока:

ж) логика урока, взаимосвязь его этапов, логика в переходе от одного этапа урока к другому;

з) оформление записей на доске и в тетрадях на различных этапах урока;

и) приёмы подведения итогов урока;

к) приемы выдачи домашнего задания;

л) распределение времени на различные этапы урока.

6. Общий анализ реализации развивающих и воспитательных целей:

     а) развитие общеучебных умений школьников: работа с учебником и справочной литературой, с таблицами; планирование своей деятельности и ее оценка и

     б) развитие интеллектуальных умений: эвристических, логических, речевых;

     в) формирование научного мировоззрения: связь математики с практикой, внутрипредметные и межпредметные связи; обучение методам научного познания в математике;

г) развитие самостоятельности, умения учиться;

д) осуществление дифференцированного подхода, учет индивидуальных особенностей учащихся;

е) развитие мотивации учения;

ж) развитие положительных качеств мышления: глубины, гибкости, критичности, активности и самостоятельности, осознанности и т. д.;

з) точность и выразительность, эмоциональность речи учителя;

и) уровень требовательности учителя, объективность в оценке знаний, умений учащихся; реакция учащихся на оценки;

к) культура общения учителя с учащимися, создание «комфортности учения на уроке, умение снять напряжение в конфликтной ситуации;

л) атмосфера сотрудничества на уроке: «учитель - учащиеся», «ученик ученик» и т.д.;

м) эмоциональный настрой учащихся на работу;

н) реализация других аспектов воспитания и развития.

Организация урока: точность начала и окончания; подготовленность классного помещения и оборудования к уроку; длительность организационного момента; быстрота включения класса в деловой ритм; эмоциональный на строй, заинтересованность, собранность учителя; темп урока.

Общие выводы по уроку: выполнение плана урока и достижение поставленных целей; что произвело на уроке особенно сильное впечатление; какие коррективы целесообразно внести при повторном проведении урока на эту же тему; общая оценка урока.

Литература

1.  Иванова Т.А. Современный урок математики: теория, технология, практика //Книга для учителя. – Н.Новгород. - 2010
2.  Иванова Т.А. Методология научного поиска – основа технологии развивающего обучения // Математика в школе. – 1995. - №5
3.  Концепция математического образования (в двенадцатилетней школе)// Математика в школе. – 2000. - №2
4.  Концепция структуры  содержания общего среднего образования (в двенадцатилетней школе)// Математика в школе. – 2000. - №2
5.  Лекционно-семинарская система преподавания математики / С.М. Саакан, Т.А. Иванова и др. // Математика в школе. – 1987. - №3
6.  Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики: Книга для учителя – М.: Просвещение, 2002
7.  Утеева Р.А.Формы учебной деятельности учащихся на уроке // Математика в школе. – 1995. - №2