«Современные образовательные технологии и компетентностный подход. Решение уравнений с модулем».
учебно-методический материал

Необходимость говорить сегодня о модуле объясняется, во-первых, их популярностью на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и, во-вторых, традиционной и незаслуженной «нелюбовью» школьников к задачам с модулями. Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ.

Почему важно уделить этой теме внимание…

Во-первых, модуль очень активно используется в высшей математике.

Во-вторых, модуль носит исследовательский характер (учащиеся проводят классификацию (если в примере есть |а|, то при а ≥ 0 модуль раскрывается как |а|=а и пример принимает один вид, при а < 0 пример принимает другой вид. При большем числе модулей и классификация становится более детальной.)).

В-третьих, модули приучают учащихся критически оценивать полученные результаты.

В-четвертых, использование модуля во многих случаях позволяет более компактно записывать условие задачи.

В-пятых, модуль можно легко включить в условие практически любого примера из алгебры, тригонометрии, начала анализа, что сразу же повышает рейтинг примера.

Теоретический материал

1. При решении уравнений, содержащих абсолютные величины, применяется метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании ее определения:

2. Если уравнение содержит алгебраическую сумму абсолютных величин, то уравнение решается методом интервалов:

1. Находят значения переменных, при которых каждая из абсолютных величин обращается в нуль.
2. Определяют интервалы знакопостоянства выражений, стоящих под знаком абсолютной величины.
3. Данное уравнение равносильно совокупности систем для каждого промежутка знакопостоянства.

Примеры:

1. Х2 – 5 |х| + 6 = 0;
2. 2 |х+1| + |2х – 1| = 3;
3. 2|х +2| -- |2х+1 – 1| = 2х+1;
4. (3х – 7) |lg (3x – 4,4)|= 4lg (3x – 4,4).

Пример 1

Х2 – 5 |х| + 6 = 0;

Х ≥ 0

Х2 – 5 х + 6 = 0;

Д = 1.

Х1 = 3 € [0;+∞)

Х2 = 2 € [0;+∞)

Ответ: 3; -3; 2; -2.

Пример 2

2 |х+1| + |2х – 1| = 3;

Х + 1 = 0.                2х – 1 = 0.

Х = -1                х = ½

        - 1            ½

Ответ: [-1; ½ ]