Методическое пособие "Показательная функция"
методическая разработка (10 класс) по теме

Работа педагога в ПУ отличается от работы учителя в школе. Среди наших учащихся редко встречаются влюбленные в математику, большинству из них приходится доказывать необходимость ее изучения, прививать любовь к предмету, желание посещать твои уроки. Нам сложнее работать в том плане, что наши учащиеся приходят в ПУ получать специальность, а на общеобразовательные предметы мало уделяют внимания. Вот и приходится тщательно готовиться к каждому  уроку, продумывать различные методы ведения урока, приемы активизации мыслительной и познавательной деятельности учащихся.

При подготовке к уроку нельзя обойтись только  одним учебником, я очень многое беру из журнала «Математика в школе», многое придумываю сама, все новое стараюсь связать с уже известным, ранее изученным.

Первые уроки на первом курсе. Это уроки повторения. Сколько тревог и волнений испытывают учащиеся. Нужно время, чтобы к тебе привыкли, шли с желанием на уроки. Я хочу поделиться своими методами, находками в преподавании математики, тем, что я использую на своих уроках.

Глава1. Показательная функция.

С темы «Показательная функция» начинается изучение алгебры на 1-ом курсе. На данную тему отводится 14 часов учебного времени, т.к. занятия в нашем училище проходят парами – это 7 пар.

1-2. Свойства показательной функции и ее график.

3-8. Решение показательных уравнений.

3-4. -  Путем сведения к общему основанию.

5-6. -  Вынесением за скобку общего множителя.

7-8. -  Сводящихся к квадратному.

9-10. Решение показательных неравенств.

11-12. Решение задач.

13-14. Зачетный урок.

§1. Свойства показательной функции и ее график.

На изучение данного параграфа отводится один урок (пара). Этот первый урок необходимо начать с обобщения и систематизации знаний, полученных учащимися при изучении функций в курсе алгебры 7-9 кл. Вспомнить определение понятий функции и области определения.

Упражнения для повторения (кодоскоп):

1. Найти область определения функций: а) y = 3x – 4; б) у = ;  

в)

2. Что значит задать функцию?
3.  На каком рисунке изображен график возрастающей (убывающей) функции?

Очень часто ребята затрудняются ответить на этот вопрос, не могут вспомнить определение возрастающей функции. Стараюсь помочь им, задаю вопросы:

1. Как вы читаете? Слева направо или справа налево?
2. А как вы пишете?

Вот и график нужно читать, двигаясь вдоль оси ОХ слева направо. Вместе приходим к верному ответу и вспоминаем определение возрастающей функции. Обязательно записываем его в тетрадь.

Определение:

1. Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке, если для любых значений х1 и х2 из этого промежутка, таких, что х2  х1, выполняется неравенство f (x2)  f (x1).
2. Функция f (x) называется возрастающей, если она возрастает на всей области определения.

Изложение нового материала начинаю с беседы с постановкой проблемных вопросов:

1. Запишите функции: у = 2Х, у = 3Х ……, у = , у = ….. все они являются показательными, как вы думаете, почему?

Анализируя, учащиеся почти всегда отвечают, что аргумент функции х является показателем степени.

2. Почему а   1?
3. Какие значения может принимать переменная х ?

После этого вводим определение показательной функции. Стараюсь подвести учащихся самих к формулировке определения.

Строим  графики: 1)  у = 2Х ,  2)  у = ,  на одной  системе  координат

(у = - строят учащиеся самостоятельно), по графикам вместе с учащимисч формулируем свойства показательной функции, затем записываем их в тетрадь.

Предлагаю ребятам поработать устно. Всем, сидящим на 1-ом варианте, задаю вопрос: “Возрастающей или убывающей является данная функция (называю)?”, а все сидящие на 2-ом варианте сами приводят пример возрастающей  или убывающей функции и так спрашиваю каждого учащегося с первой парты до последней.

После этого решаем №4 (нечетные), №5 (1,3), 6 (1,2,3), 7 (нечетные).

Д/з. §1, повторить свойства степени с действительным показателем, №1 (1,2), 2 (1,3).

В результате изучения этого параграфа учащиеся должны знать, что такое область определения функции, какие функции называются возрастающими (убывающими); уметь обосновывать возрастание (убывание) функции, заданной графически и в простейших случаях аналитически; знать определение показательной функции, ее свойства; уметь применять свойства показательной функции при построении графиков, решений простейших показательных уравнений и неравенств.

§2. Показательные уравнения и неравенства.

В параграфе рассматриваются приемы решения показательных уравнений и неравенств основных видов. Они классифицируются на типы: 1) путем сведения к общему основанию; 2) путем вынесения за скобки общего множителя; 3) путем приведения к квадратному уравнению.

Изучению способов решения показательных уравнений я отвожу три урока (пары), а затем показательные неравенства объясняю, опираясь на показательные уравнения. Стараюсь довести навыки решения показательных уравнений до уровня «узнаваемости» вида уравнения по условию задачи.

Первый урок начинаю с повторения свойств степени с действительным показателем, умения проводить вычисления.

Раздаю ребятам тестовые задания для самостоятельной работы.

Вычислить:

Задания все разные, а вот ответы находятся под одинаковыми буквами, это дает возможность сразу проверить работы и выставить оценки, назвав ребятам правильный код (т.к. занятия проводятся парами можно за урок получить и две оценки).

Затем разбираем упражнения, аналогичные тем, что рассмотрены в задачах №1,2 учебника.

Так как практически любое показательное уравнение сводится к уравнению вида ах = ав, то необходимо еще раз повторить, что такое уравнение имеет единственный корень.

Для закрепления материала на уроке решаем №13 (1,3), 14 (1,3), 15 (1,3), 21 (1,3), 22 (1,3), 23 (1,3), 24 (1,3)

В конце урока предлагаю самостоятельную работу, три варианта: на «5», «4», «3». У учащихся есть возможность выбрать и решать задания по своим силам и способностям.

На 3                                на 4                                         на 5

1. Вычислить:

2. Решить уравнения:

        Д/з Повторить тему «Вынесение за скобки общего множителя», ξ 1, №14 (2,4), 15 (2,4), 21 (2,4)

        На втором уроке рассматриваю показательные уравнения, решаемые путем вынесения за скобки общего множителя.

Урок начинаю с повторения предыдущего материала. Устно решаем показательные уравнения, сводящиеся к общему основанию (кодоскоп).

Обращаю внимание, что левая часть и правая либо состоят из одного члена, либо содержат произведение нескольких множителей.
Затем предлагаю  учащимся уравнения, где в левой части несколько слагаемых, уравниваем основания степеней всех слагаемых, содержащих неизвестное в показателе степени.

Вспоминаем вынесение за скобку общего множителя на простых примерах:

           Учащиеся быстро вспоминают, как получается выражение, стоящее в скобках – то что было делим на то, что вынесли.

Прошу запомнить их это, запись оставляю на правой части доски (доску делю на две части, в левой  - объясняю, в правой вспоминаем то, что уже знаем).
Предложение: «то что было делим на то, что вынесли» произношу в ходе объяснения постоянно.

Решение уравнения данного вида дается учащимся нелегко, это сложная тема, поэтому во время всего урока отрабатываем навыки решения уравнения данного типа.

Решаем у доски №16 (1,3), 25 (1,3), 27 (1,3).
Д/з. Повторить решение квадратных уравнений, №16 (2,4), 25 (2,4).

На третьем уроке рассматриваем решение показательных уравнений, сводящихся к квадратным. Необходимо, учитывая, сложность предыдущей темы, проверить Д/з, ответить на вопросы учащихся, рассмотреть на доске решение отдельных номеров.

Решению квадратных уравнений много времени было уделено при повторении школьного курса. На данном уроке ёще раз вспоминаем и записываем формулу корней квадратного уравнения и теорему Виета.

Предлагаю назвать способы решения квадратных уравнений (кодоскоп):

Обращаю внимание, что показательные уравнения, степени которых отличаются на постоянное число слагаемых, решаются путем вынесения за скобки общего множителя, а если показатель степени одного из слагаемых по модулю в 2 раза больше показателя другого, то решать будем путем сведения к квадратному.
          Записываем  это в тетрадь и рассматриваем на примере, подобному задаче №6.

На уроке решаем №18(1,2,3), 28(1,3*,4*),45(1)
          Затем предлагаю учащимся самостоятельную работу обучающего характера.

          В заключение формулируем и записываем в тетради алгоритм решения показательных уравнений:
          1). Уравниваем показатели степеней во всех слагаемых, содержащих неизвестные в показателе степени.
          2). а) Если показатели степеней отличаются только постоянным слагаемым, то выносим за скобку общий множитель (с наименьшим показателем);

б) Если показатель одной из степеней по модулю в два раза больше показателя другой, то вводи новую переменную (степень с меньшим по модулю показателем).

Д/з. повторить все способы решения показательных уравнений, №18 (4), 28 (2,4).
          На четвертом уроке рассматриваю решение показательных неравенств.
Повторяем: 1) методы решения показательных уравнений (кодоскоп, учащимся предлагаются различные уравнения, они называют метод решения);

2) возрастающие и убывающие функции (кодоскоп, учащиеся комментируют графики, изображенные на экране).

Объяснение начинаю со сравнений. Прошу сравнить и провести аналогию зависимости показателя степени от основания:

Подвожу учащихся к записи:

Задаю вопрос:  Чем отличаются уравнения от неравенств?

Ответ: Знаком.

Рассматриваю решение показательных неравенств, используя навыки решения показательных уравнений.

Таким образом, рассматриваем и записываем различные неравенства.

Решаем № 19(1, 3, 5), 46 (1, 2)

Для закрепления раздаю учащимся домино (метод деловой игры), где им предлагаются для решения (устно) простейшие неравенства:

Учащиеся с удовольствием работают с домино. Это вносит в урок новизну, оживление, интерес; играя, ребята думают и играют.

В конце урока прошу учащихся составить алгоритм решения показательных неравенств.

1. выясняем метод решения (аналогично с уравнениями)
2. сводим неравенство к простейшему
3. сравниваем показатели, опуская основания, при этом, если, а>1, то знак неравенства, если 0<а<1, то знак неравенства меняется на противоположный. Записываем эти выводы в тетрадь.

Д/з. № 19 (2, 4, 6), 30 (4)

В результате изучения этого параграфа учащиеся должны знать основные приемы решения показательных уравнений и неравенств и уметь применять их к решению уравнений и неравенств.

Обобщающий (шестой) урок по главе «Показательная функция».

Он является подготовкой к последнему зачетному уроку.

В начале урока провожу с учащимися короткую беседу, поставив перед ними вопросы:

1. Какая функция называется показательной? Сформулируйте ее свойства.
2. Какие уравнения и неравенства называются показательными?
3. Какими свойствами вы пользуетесь, решая простейшие показательные уравнения  и неравенства?
4. Какими способами можно показательное уравнение (неравенство) привести к простейшему уравнению (неравенству)?

Решаем номера из учебника по желанию учащихся. Возможно, что не все учащиеся будут выполнять одинаковые задания, а по уровню их подготовки. Можно предложить домино тем, кто слабо разобрался с неравенствами. Это урок, где каждый решает то, что хочет, у доски работают учащиеся, вызванные учителем (обычно это те, кто что-то не понял), многим предлагаю уравнения различной степени сложности на «3», «4», «5».

Готовимся к зачету, который провожу вместо контрольной работы , по итогам изучения главы I. Здесь каждый учащийся раскрывается полностью и ошибки в оценке его знаний быть не может.

Д/з. Повторить весь пройденный материал по главе I  «Показательная функция».

Итоговое занятие (седьмой урок).

В проведении зачета мне помогают два ассистента, которые сдали данную тему заранее. У всех учащихся имеются «Листы учета знаний», включающие вопросы,  выносимые на зачет. За каждое задание каждый учащийся получает оценку, задания различные по форме, содержанию и сложности, поэтому всем ребятам есть возможность показать свои знания по теме. Двоек за зачет никогда не бывает. Предлагаю развернутый план зачетного урока.

Тема №1. Показательная функция.

Тема урока №19-20. Зачетная работа по теме «Показательная функция»

Цели урока: Учебная  - контроль и оценка знаний учащихся.

Развивающая – развитие мыслительной деятельности, наблюдательности, логического мышления учащихся.

Воспитательная – формирование умений осуществлять взаимоконтроль, взаимосотрудничество, активности в процессе коллективной и самостоятельной работы, увлеченности занятиями.

Тип урока: Контроль и проверка знаний.

Методы ведения урока: Активация мыслительной и познавательной деятельности путем применения дифференцированного задания, фронтального опроса, игровых моментов, тестированного задания, самостоятельной работы.

Оснащение урока:

1. 1. Таблицы
2. 2. Тестированные задания (карточки)
3. 3. Кодоскоп
4. 4. Карточки с уравнениями
5. 5. Домино
6. 6. Карточки для устной работы

Содержание урока.

1. Организационный момент                                                        (2мин.)

Вступительное слово учителя.

2. Проверка и контроль знаний.

1. Степень с действительным показателем.

(5м.)   а) Фронтальный опрос (устная работа по карточкам, учащиеся отвечают с места на предложенные вопросы).

Вопросы:

(5м.)    б) Письменные упражнения

(Тестовые задания. Всем учащимся раздаются карточки для работы, где нужно выбрать верный ответ на поставленный вопрос из нескольких вариантов). Оценка выполненной работы (данные заносятся учащимися в лист учета оценок, полученных на уроке)

1. 2. Показательная функция, её свойства и график.

(5м.)   а) Работа по таблице. Вопрос учащимся:

По предложенной вам таблице расскажите все, что вы знаете о показательной функции и её свойствах.

(5м.)  б) Математический диктант (кодоскоп).

(Учащимся предлагаются четыре графика, нужно ответить на вопросы.)

                Рис.1        рис.2

                 Рис.3                                                        рис.4

Вопросы.

1. Запишите номер рисунка, где изображен график убывающей показательной функции? (возрастающей)
2. Запишите функцию, график которой расположен на рис.2 (рис.3)
3. Рассмотрите рис.3 (рис.2) Докончите предложение: При X>0  Y ? 0
4. Рассмотрите рис.2 (рис.3) Докончите предложение: При X<0 Y ? 0
5. Запишите область определения (множество значений) показательной функции.

Оценка выполненной работы.

1. 3. Решение показательных уравнений.

(5м.)        а) Фронтальный опрос

1. 1. Какими методами мы пользуемся при решении показательных уравнений?
2. 2. Определить способ решения уравнений, предложенных на доске (кодоскоп)

(30м.)    б) Письменные упражнения. (Решение уравнений , дифференцированный подход)

Учащимся предлагаются уравнения различной степени сложности: на «5», «4», «3».

Оценка работы.

1.  4. Показательные неравенства.

(3м.)  а) Фронтальный опрос. (Повторить этапы решения показательных неравенств).

(5м.) б) Элементы игра (домино)

(7м.) в) Письменные упражнения (дифференцированный подход (кодоскоп)).

Оценка выполненной работы.

5. Выставление итоговой оценки за урок.

3. Итог урока
4. Д/з

Учебный материал по т. «Показательная функция» в объеме 14 часов (7 уроков) пройден и изучен полностью.

625-1/4