Методическая разработка урока математики по теме "Исследование функций по графику. Построение графиков функций"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

№п/п

Этапы урока

Деятельность преподавателя

Деятельность учащихся

1

2

3

4

I

Организационный момент

(1 мин.).

Приветствие.

Определение отсутствующих учащихся.

Проверка готовности к уроку учащихся.

Приветствие.

Предоставление рапортички с отметкой отсутствующих.

II

Сообщение темы урока (1 мин.)

Сообщение целей

(1 мин.)

Обоснование значения темы и цели урока

(1 мин.)

Сообщение структуры урока

(1 мин.)

Сообщение темы урока: Исследование функций по графику. Построение графиков функций.

Сообщение целей:

- Цель нашего урока – это обобщение и систематизация знаний по теме: «Свойства функции» и формирование навыков построения графиков функции на основании их свойств.

Материал урока очень важен, так как задания, которые сегодня будем выполнять входят в экзаменационную работу.

Все упражнения, решаемые нами на данном уроке взяты из Сборника заданий для экзамена (преподаватель показывает «Сборник заданий».)

План урока (записан на доске)

1. повторение и обобщение изученного материала;
   
2. В-65(4), с.55;
   
3. О.с.р. 3.л.2 №1,2;
   
4. Проверка о.с.р.;
   
5. В-25 (4), с.22;
   
6. О.с.р. 3.л.2 №3,4;
   
7. Проверка о.с.р.;
   
8. Задание на дом.

Слушают.

Актуализация опорных знаний обучающихся.

(10 мин.)

Устный фронтальный недифференциро-ванный опрос.

Рассмотрение материала, дополняющего основную часть.

(5 мин.)

- На уроке мы будем использовать ранее изученный материал, поэтому сейчас необходимо вспомнить

определение числовой функции.

- Как называются переменные х и у?

- Что называется областью определения функции?По какой оси мы ее читаем?

-Назвать и показать область определения функции заданной графиком, изображенным на плакате.

Для ответа учащиеся используют плакат «Свойства функции».

- Что мы понимаем под областью значений функции? На какой оси она читается?

- Назвать и показать область значений функции заданной графиком, изображенном на плакате.

- Дать определение возрастающей функции и убывающей.

- Покажите промежутки монотонности функции по графику, изображенному на плакате.

- Какие точки называются точками экстремума функции? На какой оси они читаются?

-Назовите точки  экстремума на графике и укажите характер экстремума.

- Чему равно наибольшее значение функции изображенной на плакате?При каком значении х оно наибольшее?Наименьшее?

- Что такое нули функции?

- Показать на графике изображенном на плакате, нули ф-ции.

-При каких значения х данная ф-ция принимает положительные значения? Отрицательные? Как это определить по графику?

- Очень часто нам придется сравнивать значения функции  с числом отличным от нуля. Давайте разберем этот случай.

Для пояснения преподаватель использует плакат «Графический метод решения неравенств»( Приложение 5).

- Пусть задана функция y=f (x). Нужно определить при каких значениях х данная ф-я принимает значение больше  или меньше 2. Для этого на оси Оу отметим  число 2 и проведем прямую параллельно оси Ох. Найдем абсциссы точек пересечения прямой y=2 с графиком функции.

Если в неравенстве знак больше, то решением будут значения  х при которых график расположен выше прямой.  

Если знак меньше, то решением будут значения  х при которых график расположен ниже  прямой.

Если неравенство  строгое, то абсциссы точек пересечения графика  с прямой не включаем в решение (скобки круглые).

Если неравенство нестрогое, то абсциссы  точек пересечения графика  с прямой включаем в решение (скобки квадратные).

Обучающиеся отвечают на вопросы, выслушива-ют ответы, дополняют или исправляют неверные ответы. Работают по графику, изображенному на плакате «Свойства функции» (Приложение 4).

Определение: Числовой ф-ей называется за-висимость между двумя переменными, при ко-торой каждому значению переменной из одного мн-ва соответствует единственное значение переменной из другого множества. 

х – независимая переменная или аргумент;

 у – зависимая переменная или функция.

О.о.ф. называется мн-во всех значений, которые может принимать ее аргумент.По оси Ох.

Показывают на графике, изображенном на плакате «Свойства функции», область определения функции  Д(у) = [ - 6; ∞ )

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений (область значений) функции. На оси Оу.

Е(у) = [ - 3; 1 ]

Функция называется возрастающей на некото-ром промежутке, если большему значению аргу-мента соответствует большее значение функции и  убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Называют и показывают на плакате промежутки монотонности.

Функция возрастает на промежутках  [- 6; - 2,5];  

[ - 2; ∞). Функция убывает на промежутке [ - 2,5; 2]

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. На оси Ох.

Показывают точки экстремума на графике:

х = - 2,5-точка максимума; х = 2-т.минимума

f наиб. = f (-2,5) = 1

f наим. = f (2) = -3

Точки пересечения с осью Ох.  f(x) = 0.

х = -4; х = -1

Показывают промежутки знакопостоянства

f (х) > 0 при х Є (-4; -1);

f (х) < 0 при х Є [- 6; -4) u (-1; ∞).

Учащиеся слушают.

III

Получение новых знаний путем постановки и решения проблем, основанных на обобщении и систематизации имеющихся знаний.

(12 мин.)

- Повторив изученный материал по теме «Свойства функции» мы сможем применить эти знания к исследованию функции по графику.

3.1 Объяснение решения задания из «Сборника заданий»  

(график проецируется на экран с помощью мультимедийного проектора, Приложение 6)

Вариант  65 (4), страница 55:

- Функция у=f(х) задана своим графиком. Укажите:

а) область определения функции;

б) при каких значениях х f(х)>2;

в) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

г) координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс;

д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Обучающиеся принимают участие в поиске отве-тов на поставленные вопросы и записывают ответы в тетрадь.

В – 65(4)

а) D(y)=[-35;6]

б)f(x)>2 при  x€(0,5;4)

в) функция возрастает на промежутке [-1,5;2,3];

ф-ция убывает на промежутках [-35;-1,5]; [2,3;6];

г) касательные параллельны оси абсцисс, если  проходят через точку   с координатами (2,3;4);  

д) fнаиб.=f(2,3)=4; fнаим.=f(-1,5)=-3.

IV

Обучающая самостоятельная работа.

(8 мин)

Фронтальная проверка

(10мин.)

- Мы применили сейчас свои знания по теме «Свойства функ-ции» на практике, исследовав функцию по графику. По данному алгоритму выполняем следущее упражнение самостоятельно.

4.1 Обучающая самостоятельная работа. З.лист 2. №1,2(Прил.2)

-Открыли зачетный лист 2 УМК  «Общие сведения о функциях», обучающая самостоятельная работа задание 1 и 2. При оформлении решения используем образец предыдущего задания или М.М.3 Графики функций (Приложение 1 ).

Во время выполнения задания преподаватель контролирует и помогает учащимся при затруднениях.

Задание 1. Вариант 37 (4)

- Функция у=f(х) задана своим графиком. Укажите:

а) область определения функции;

б) при каких значениях х f(х) ≤ 0,5;

в) точки экстремума функции;

г) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

д) наибольшее и наименьшее значения функции.

4.2 Фронтальная проверка задания 1 с краткой записью ответов на доске (Приложение 3) - график функции проецируется на экран с помощью мультимедийного проектора (Приложение 6)

Учащиеся записывают в тетрадь О.с. З.л. 2№1,2.

Самостоятельно выполняют задание 1.

Задание 2 дополнительно для учащихся быстро выполнивших задание 1.

Вариант 37 (4)

а) Д (у) = [ -3,5; 5];

б) f (х) ≤ 0,5 при  х Є [ 0,5;2] u [ 3,8; 5];

в) точки экстремума:

х = - 1,5 и х = 3,5 – точки максимума;

х = 1,5 – точка минимума;

г) функция возрастает на промежутках

 [-3,5; -1,5]; [1,5; 3,5];

Ф-ция убывает на промежутках [-1,5; 1,5]; [3,5;5];

д)  fнаиб.= f (-1,5) = 5,5; fнаим.= f (5)= - 3.

Учащиеся отвечают

на вопросы  задания 1. (Приложение 2)

V

Формирование умений и закрепление их путем упражнения

(10 мин.)

Обучающая см.работа(7 мин.)

Проверка см.работы.

(8 мин.)

5.1. Построение графика функции по её свойствам.

Преподаватель работает у доски.

Сборник заданий для экзаменов: вариант 25, задание 4, стр.22.

- Разберем второй тип заданий: используя свойства функции требуется построить её график.

Для выполнения задания построим прямоугольную систему ко-ординат. На оси Ох отметим числа -1 и 8, соответствующие области определения функции, и проведем через них вертикаль-ные прямые.

На оси Ох отметим точки -4 и 2, соответствующие области значения функции, и проведем через них горизонтальные прямые.

Прямые образовали прямоугольник внутри которого должен находиться искомый график, имеющий  хотя бы одну общую точку с каждой из его сторон.

На основании данных о возрастании и убывании ф-ции разделим прямоугольник на части и укажем стрелками характер моно-тонности.

На оси Ох отметим нули ф-ции х=3, х=7 и построим график.

Обобщив и систематизировав знания по свойствам ф-ции мы учимся строить графики, так как цель урока сформировать у вас навыки построения графиков ф-и на основании их свойств.

5.2. Обучающаяся самостоятельная работа.

Зачетный лист 2, задание 3,4.(Приложение 2)

Преподаватель консультирует учащихся при затруднениях.

5.3. Проверка см.работы учащихся на доске (задание №3)

Преподаватель комментирует построенные графики, делает вывод, что решение задачи неоднозначно.

Учащиеся поэтапно выполняют задание в тетрадях под руководством преподавателя.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу.

Трое учащихся строят график ф-и на доске (№3)

Задание №4 проверяют по решебнику. (Приложение 3)

VI

Задание на дом.

Информирование учащихся о д.з. Инструктаж его выполнения.(3м.)

Диагностическая контрольная работа, зачетный лист 2, задания №1,3. (Приложение 2)

- Домашние упражнения аналогичны заданиям, выполненным на уроке, алгоритм решения записан в тетрадях. Надеюсь, что особых затруднений при выполнении упражнений не будет.

Учащиеся записывают домашнее задание.

VII

Оценка действий, знаний и умений.

Подведение итогов.

(2 мин.)

- Сегодня на уроке мы разобрали два типа задач: исследование функции по её графику и построение графика функции на основании её свойств. Вспомним основные этапы построения графика функции:

1) построить прямоугольник;

2) разделить его на части, провести стрелки;

3)учитывая дополнительные сведения, построить график функции.

А теперь каждый из вас поставит себе символическую оценку на уроке. Оценка «5» за правильно выполненные задания 1,2,3,4; оценка «4» за три правильно выполненных задания.

Урок окончен. Спасибо за работу на уроке. До свидания!

Самооценка выполненной работы в течение всего урока.