Слайд 1

Непрерывная случайная величина. Числовые характеристики. Законы распределения.

Слайд 2

Определение Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Слайд 3

примеры Число выпадения герба при подбрасывании монеты Число выпавших гербов при подбрасывании двух монет Количество очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости Число родившихся мальчиков (или девочек) среди ста новорожденных. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Ошибка измерителя высоты. Температура воздуха на следующий день.

Слайд 4

Определение Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно , что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Слайд 5

Определение Плотность вероятности непрерывной случайной величины, она же дифференциальная функция распределения вероятностей - аналог закона распределения дискретной случайной величины. Плотность вероятностей графически представляет собой непрерывную гладкую линию (или кусочно-гладкую, если на разных отрезках задаётся разными функциями).

Слайд 6

Свойства Для непрерывных случайных величин можно найти только вероятность попадания в какой-либо интервал. Считается, что для каждого отдельного (одиночного) значения непрерывной случайной величины вероятность равна нулю . И графически вероятность попадания в интервал выражается площадью фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков - рассматриваемым интервалом.

Слайд 7

Свойства 1. Значения функции неотрицательны, т.е. f(x)≥0 2. Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице (геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу - осью OX, равна 1).

Слайд 8

Числовые характеристики Математическое ожидание. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.

Слайд 9

Математическое ожидание Математическим ожиданием M(X) называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины ( х i ) на соответствующие вероятности ( р i ): M(X) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n Математическое ожидание – это число, которое указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в результате проведения опыта или испытания.

Слайд 10

Свойства математического ожидания M(X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n 1). M(C) = C, где С – const ; 2). M(C·X) = C·M(X); 3). M(X ± Y) = M(X) ± M(Y ); 4). M(X·Y) = M(X) · M(Y ), где Х и Y - независимые случайные величины .

Слайд 11

Задание M(X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n Закон распределения случайной величины Х задан таблицей: Найдите математическое ожидание случайной величины Х .

Слайд 12

Дисперсия Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонений от среднего значения: Для вычисления: D(X) = M(X 2 ) - M 2 (X), где M(X 2 ) = х 1 2 ·р 1 + х 2 2 ·р 2 +…+ х n 2 ·р n M(X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. На практике дисперсия служит для оценки меры риска. (Дисперсия всегда положительное число )

Слайд 13

Свойства дисперсии D(X ) = M(X 2 ) - M 2 (X), где M(X 2 ) = х 1 2 ·р 1 + х 2 2 ·р 2 +…+ х n 2 ·р n M(X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n 1 ). D(C) = 0, где C – const ; 2 ). D(C ּ X) = C ּ D(X); 3 ). D(X ± Y) = D(X) + D(Y), если Х, Y – независимые случайные величины.

Слайд 14

Задание Закон распределения случайной величины Х задан таблицей: Найдите дисперсию случайной величины Х. D(X) = M(X 2 ) - M 2 (X), где M(X 2 ) = х 1 2 ·р 1 + х 2 2 ·р 2 +…+ х n 2 ·р n M(X ) = х 1 ·р 1 + х 2 ·р 2 +…+ х n ·р n

Слайд 15

Среднеквадратическое отклонение Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины: если ДСВ имеет размерность метры, то дисперсия измеряется в м 2 . Для того, чтобы оценка рассеяния значений случайной величины имела размерность самой величины, вычисляют среднеквадратичное отклонение. Положительное значение квадратного корня из дисперсии называют среднеквадратическим отклонением (или стандартным отклонением): (Х)=

Слайд 16

Задание Закон распределения случайной величины Х задан таблицей: Найдите среднеквадратичное отклонение случайной величины Х. (Х)=

Слайд 17

ЗАДАЧА Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

Слайд 18

ЗАДАЧА В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Слайд 19

ЗАДАЧА Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни? Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Слайд 20

ЗАДАЧА 2 В коробке имеются 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются а). 2 карандаша, б). 3 карандаша. Определить закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины, равной числу не красных карандашей.

Слайд 21

ЗАДАЧА 3 Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания равна 0,4. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Слайд 22

ЗАДАЧА 4 Определить закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.

Слайд 23

ЗАДАЧА 5 В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Слайд 24

ЗАДАЧА 6 Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Слайд 25

Домашнее задание В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули а). 2 шара, б). 3 шара. Случайная величина –число вынутых черных шаров. Составить закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.