Методическая разработка "Три урока по комбинаторике"
методическая разработка по математике (9 класс)

Учитель:  Сенина Елена Викторовна

Район:     Фрунзенский

Школа:     ГБОУ Гимназия № 295

УРОК № 1

Тема урока: 

Основные правила комбинаторики.

Цели урока: 

Ввести понятие комбинаторных задач. Познакомить учащихся с основными правилами комбинаторики. Развитие логического мышления, умения выделять главное.

Первичное осознание  нового материала, осмысление связей и отношений  внутри объекта.

 План урока:

• Подготовка к восприятию;
• Ведение нового материала и его первичное осмысление;
• Правило произведения;
• Решение задач;
• Правило суммы;
• Решение задач;
• Итог урока;
• Домашнее задание.

В математике существует немало задач, в которых требуется  из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Вам уже встречались задачи, где требовалось найти не один, а несколько вариантов ответа, например, такая: сколько трёхзначных чисел можно составить из трёх цифр: 0,  3,  7. Решая подобные задачи приходится перебирать различные варианты, переставлять элементы, комбинировать их.

Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Задача 1.

Сколько различных флагов можно сшить из материи трёх цветов: красного, синего и белого, если каждый должен состоять из трёх равных горизонтальных полос разного цвета?

Решение:

Вариантов решения этой задачи не много, их можно последовательно перебрать, нарисовав все возможные случаи:

Есть  ли среди них флаг России?

Задача 2.

На фабрике выпускают двухцветные ручки со стержнями красного, чёрного, зеленого и синего цвета. Как можно скомбинировать цвета стержней, чтобы в каждой ручке было два разных цвета?

Решение:

Можно решение записать в таблице.

В таблице некоторые клетки оказались незаполненными. Объясните, почему их заполнять не нужно?

Задача 3.

От Кащея до Бабы-Яги ведут три дороги, а от Бабы-Яги до Кикиморы- две дороги. Сколькими способами можно пройти от Кащея до Кикиморы, заходя к Бабе-Яге?

Решение:

Сделаем рисунок к задаче:

Каждый из трёх путей, ведущих  от Кащея к Бабе-Яге, можно продолжить двумя способами, следовательно, всего получаем 3 · 2 = 6 различных путей.

Решение этой задачи – пример одного  из самых важных правил комбинаторики-

ПРАВИЛА УМНОЖЕНИЯ:

Если элемент  А можно выбрать  s способами, а элемент В можно выбрать r способами, то пару А и В  можно выбрать  s · r способами.

Из 5 девушек и 7 юношей можно составить 5 · 7 = 35 различных танцевальных пар.

Это правило верно и в случаях, когда множеств 3 и более.

Задача 4.

В магазине одежды есть 5 разных рубашек и 3 разных пары брюк. Сколькими способами можно составить комплект рубашки с брюками?

Решение:

Нужно выбрать 2 вещи, причем одну из них можно выбрать 5 способами, а вторую 3 способами. «И одну и другую» вещь можно выбрать  

5 · 3 = 15 способами.

Задача 5.

В том же магазине одежды есть еще  4 разных галстука. Сколькими способами можно купить комплект из рубашки, брюк и галстука?

Решение:

5 · 3 · 4 =60

Задача 6.

Каждую клетку квадратной таблицы 2 х 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных вариантов раскраски этой таблицы?

Ответ: 16.

Задача 7.

В корзинке  сидят котята- 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?

Решение:

По условию, полосатого котенка надо выбирать всегда, то есть способ выбора всего один. Черного котенка можно выбрать двумя способами; рыжего- тоже  двумя. Всего получаем  

1 · 2 · 2 = 4 способа.

Если  надо выбрать  s вещей, причем одну из них можно выбрать f способами, а вторую k  способами, то « или одну или другую» вещь можно выбрать  f +k способами. Это ПРАВИЛО СУММЫ.

Задача 8.

У Васи на куртке 3 кармана. Каким числом  способов он может положить в эти карманы 2 одинаковые монетки?

Решение:

Если бы у Васи были 2 различные монетки, Например, 1 рубль и 2 рубля, то эту задачу тоже можно было бы решать по правилу умножения: каждую монету можно разместить в один из трех карманов, и каждая пара выборов приводила  бы к своему, не повторяющемуся способу размещения. Но монетки одинаковые, и если мы будем применять правило умножения, то некоторые способы учтем дважды. Поэтому надо отдельно рассмотреть два случая:

-Вася кладет монетки в разные карманы

-Вася кладет обе монетки в один карман

В первом случае ровно один карман должен остаться пустым, а в остальные Вася кладет по одной монетке  - получаем три различных способа размещения монеток.

Во втором случае опять выбираем  один карман из трех, но теперь кладем в него обе монетки. Получаем еще три способа. Итак, монетки можно разместить  в карманах  3+3 =6 способами.

Вывод: Основная задача разбивается на два (или больше) частных случая, которые не могут происходить одновременно. Подсчитав число вариантов в каждом случае, надо сложить все найденные результаты.

Задача 9.

В магазине одежды продается  5 разных рубашек,  3 разных пары брюк и  4 разных галстука. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение:

Возможны три случая: первый – покупается рубашка с брюками, второй – рубашка с галстуком, третий – брюки с галстуком. В каждом из этих случаев считаем количество возможных вариантов. В первом – 15, во втором – 20, в третьем -12. Складывая, получаем общее число вариантов – 47 .

Домашнее задание:

1)Разберитесь  в применении правил сложения и умножения.

2) Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосками одинаковой ширины, если есть материя шести различных цветов?

3)В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана  и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

4)Имеются помидоры, огурцы, перец и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 3 различных вида овощей?

УРОК № 2

Тема урока: 

Перестановки, размещения и сочетания.

Цели урока: 

Ввести понятия перестановки, размещения и сочетания. Закрепление усвоенных знаний и выработка умений их применять. Обучение  умению ставить цель и осуществлять самоконтроль.

План урока:

• Определение размещений без повторений;
• Решение задач;
• Определение перестановок без повторений;
• Решение задач;
• Определение сочетаний;
• Решение задач;
• Различие между перестановками, размещениями и сочетаниями.
• Итог урока;
• Домашнее задание

РАЗМЕЩЕНИЯМИ без повторений из  n  элементов по m называются  такие выборки, которые содержат по m элементов, взятых из числа данных  n  элементов, отличающиеся одна от другой либо составом, либо порядком расположения элементов и обозначаются

Аmn = n( n-1)(n-2)(n-3).....(n-m+1)

Число размещений находится как произведение последовательно уменьшающихся на единицу сомножителей, первый из которых равен n. Число всех сомножителей равно m.

Другая запись формулы:

Аmn = n!/ (n- m)!  

Здесь запись n!  Обозначает n факториал, т. е. произведение n последовательных натуральных чисел.

Задача 1.

В команде  12 человек. Требуется выбрать командира, санитара и связиста. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: 

Сначала выберем связиста, затем санитара, и, наконец, командира. Каждый человек может быть выбран связистом, поэтому существует  12 возможностей для выбора. После того, как связист уже выбран, остается 11 возможностей для выбора санитара, а всего 12 · 11=132 способа выбрать пару «связист-санитар». Наконец, выберем командира. Это можно сделать уже 10 способами: командиром может быть избран любой человек, только не связист и не санитар. Всего получается 12 · 11 · 10 = 1320 способов выбрать 3 человека из 12 на три должности, т е.

 А312 = 12 · 11 · 10 = 1320

В случае, когда n = m, одно размещение  от другого отличается  только порядком расположения элементов. Такие размещения называются ПЕРЕСТАНОВКАМИ без повторений.  Рn = n!

Задача 2

Сколько четырехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в число только один раз?

Решение: 

Р4 =  4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24

В случае, когда размещения без повторений из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называют  СОЧЕТАНИЯМИ. 

Число сочетаний будем обозначать  Сmn .

Если n = m . то:  Cnn=1

Так как в каждом сочетании имеется m различных элементов, то на основе каждого сочетания можно получить  Рm  перестановок. Объединение всех выборок, полученных с помощью всех перестановок из Сmn сочетаний, представляет собой число размещений  А mn .  Т. е.:

 Аm n   =Сmn   · Рm

Запишем формулу для нахождения числа сочетаний следующим образом:

Сmn =n!/ m!(n-m)!

Задача 3.

На тренировках занимаются 10 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?

Решение:

Так как тренера интересует только состав пятерки, то достаточно определить число  сочетаний из 10 элементов по 5:

С510 =    1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10     =   1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10    =   252

                  1 · 2 · 3 · 4 · 5 · (10 – 5)!                1· 2 · 3 · 4 · 5 · 1 · 2 · 3 · 4 · 15    

Можно решить проще:

С510 =    А510    =    10 · 9 · 8 · 7 · 6    =   252

                 Р5              1· 2 · 3 · 4 · 5    

Задача 4.

В очереди стоят 6 человек. Сколькими способами можно их расставить в очереди?

Решение:

В данном случае речь идет только о порядке очередности людей, поэтому найдем число перестановок из шести элементов:

Р6 = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Задача 5.

Для полета в космос необходимо укомплектовать экипаж космического корабля: командир, первый помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач .Командующая тройка может быть отобрана из 25 летчиков, 2 бортинженера- из числа 20 специалистов и врач из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?

 Решение:

Здесь важен не только персональный состав командующей тройки, но и соответствующая расстановка подобранных людей. Поэтому командующая тройка может быть укомплектована А325 способами ( с помощью размещений).

Обязанности обоих бортинженеров одинаковы (они могут выполнять их по очереди)     

Пара инженеров может быть укомплектована С220 способами. Аналогично врача можно подобрать С18 способами.

Таким образом, весь экипаж можно выбрать

А325  ·  С220  ·   С18  =   25 · 24 · 23 · 20  · 8      =  20976000 способами.

                                            1 · 2 · 1                

Подводя итог урока, отмечаем следующие особенности  перестановок, размещений и сочетаний:

• В случае перестановок берутся все элементы, и изменяется только их местоположение;
• В случае размещений берется только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга;
• В случае сочетаний берется только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга;

Домашнее задание:

 1)В чем различие  между перестановками, размещениями и сочетаниями?

2) Сколькими способами  из полной колоды ( 52 карты ) можно выбрать  4 карты разных мастей и достоинств?

3)Сколько шестизначных  чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе  цифры не повторяются?

4) Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных?

УРОК № 3

Тема урока: 

Решение комбинаторных задач

Цели урока:

Выработка умений самостоятельного применения знаний, осуществление их переноса в новые условия, умение учащихся работать в группе, в оптимальном темпе, беречь время.

План урока:

• Устная работа
• Работа в группах
• Коллективное обсуждение
• Подведение итогов
• Домашнее задание

Устная работа.

1. Что такое комбинаторика?
2. В чем состоит правило суммы?
3. В чем состоит правило произведения?
4. Что такое размещения?
5. Запишите формулу для нахождения числа размещений.
6. Что такое перестановки?
7. Запишите формулу для нахождения числа перестановок.
8. Что такое факториал?
9. Что такое сочетания?
10. Запишите формулу для нахождения числа сочетаний.
11. В чем различие между перестановками, размещениями и сочетаниями?

Работа в группах.

Предлагаемые задания посильны учащимся, но в то же время обладают достаточным уровнем проблемности с целью осуществления переноса имеющихся знаний  в новые условия.

Правила и принципы команды:

- все члены команды равны

- команды не соревнуются

- все члены группы должны получать удовольствие от общения друг с другом и от того, что они вместе  выполняют задание

- каждый должен получать удовольствие от чувства уверенности в себе

- все должны проявлять активность и вносить свой вклад в общее дело

- ответственность за конечный результат несут все члены группы.

Задачи для решения в группах.

Задача 1.

На блюде лежат  7 яблок, 3 груши и 4 апельсина. Каким количеством способов можно выбрать с блюда  2 фрукта с разными названиями?

Решение:

7 · 3 + 7 · 4 + 4 · 3 = 21 + 28 + 12 = 61 способ.

Задача 2.

В шахматном турнире участвовали 10 игроков, и каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?

Решение:

Надо понять, сколько различных пар могут составить 10 шахматистов. Ясно, что каждый из них может выбрать себе в пару любого участника турнира, кроме себя, т.е. он выбирает из 9 вариантов. Таким образом, если мы умножим 9 на 10 (число всех шахматистов), то каждую пару сосчитаем 2 раза. Получаем ответ:

9 · 10 / 2 = 45

или:

Если в множестве 10 элементов, то число пар равно 10 · (10 – 1) / 2 = 45, т.е. число сочетаний из 10 элементов по 2.

Задача 3.

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом.

Решение:

Условно будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных 7 книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

Р7  =  1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно поменять местами, поэтому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, т.е.:

5040 · 2 = 10080 способами.

Задача 4.

В меню столовой предложены на выбор 3 первых, 2 вторых блюда и 4 салата. Сколько различных вариантов обедов,  состоящих из одного первого, одного второго и одного салата, можно составить из предложенного меню?

Решение:

Согласно правилу произведения таких обедов можно составить:

3 · 5 · 4 = 60 вариантов обедов.

Задача 5.

Сколькими способами можно разместить за столом, на котором поставлено 10 приборов, 10 человек – 5 юношей и 5 девушек так, чтобы девушки чередовались с юношами?

Решение:

Занумеруем места за столом последовательно числами от 1 до 10. допустим, что юноши сидят на нечетных местах, а девушки на четных. Существует Р5 = 5! = 120 способов рассадить юношей на нечетных местах и столько же способов размещения 5 девушек на четных местах. Каждый способ размещения юношей можно скомбинировать с любым способом размещения девушек. Поэтому по правилу произведения получаем

120 · 120 = 14400 способов размещения.

Столько же существует способов размещения в случае, когда юноши сидят на четных местах. Всего получается 28800 способов.

Задача 6.

Петя забыл последние 4 цифры телефонного номера, помнит только, что все цифры разные и среди них есть 9. Какое максимальное число номеров ему придется набрать, если он попытается дозвониться до абонента? (Минимальное число – 1, если очень повезет, можно сразу напасть на нужный номер).

Решение:

Если место девятки  зафиксировать, скажем ставить девятку на первое место, то получим А39 = 9 · 8 · 7 = 504 набора из четырех цифр  (т.к. существует девять цифр отличных от девятки: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Т.к. девятку можно зафиксировать на любом из четырех мест, то всего получим 504 · 4 = 2016 наборов.

Или:

Общее число наборов из четырех цифр равно:

А410 = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040,

А наборов, в которых нет девятки существует

А49 = 9· 8· 7· 6 = 3024.

Значит в 5040 – 3024 = 2016 наборов девятка имеется.

Количество задач должно равняться количеству групп, на которые разбивается класс. От каждой группы выступает с представлением задачи один учащийся.

Итоги групповой работы подводятся в форме коллективного обсуждения на основе самооценки и взаимооценки учащихся, критерии которых учитель сообщает заранее.

Проводится коррекция результатов обучения, поскольку потребность в ее проведении объясняется высоким уровнем сложности содержания учебного материала. При необходимости намечается программа дальнейшей коррекции знаний.

Домашнее задание:

1) Организация состоит из 150 человек. Сколькими способами можно выбрать 6 делегатов на конференцию?

2)   В школьном первенстве по футболу играют 36 команд. Сколько матчей сыграют команды? Сколько дней на это потребуется если в день играют по 10 команд?

3)    Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветов,  а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим (каждым цветом – 1 клетка)?