Приемы устного счета на уроках математики в 5 - 6 классах
материал по математике (5, 6 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Тоцкая средняя общеобразовательная

школа им. А.К.Стерелюхина

Приемы устного счета на уроках математики в 5 - 6 классах

Ширинских О.В.

Учитель математики

Оглавление

АННОТАЦИЯ

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов.

Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и развивают память, культуру мысли, ее четкость, ясность и быстроту, сообразительность, умение отыскивать наиболее рациональные пути для решения поставленной цели, ясное понимание связи теории с практикой, уверенность в своих силах, помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Поэтому учителю математики надо обращать внимание на устный счет с того момента, когда учащиеся приходят к нему из начальной школы. Именно в среднем звене мы закладываем основы обучения математике наших воспитанников, раскрываем ее притягательные стороны. Хорошо развитые у учащихся навыки устного счета – одно из условий их успешного обучения в старших классах.

Умело поставленный и систематически проводимый устный счет развивает у учащихся способность быстро и безошибочно производить разнообразные устные вычисления. Нельзя не отметить, что отдельные приемы сокращенных вычислений, применяемые при устном счете, могут явиться дополнительным средством для закрепления математических знаний и алгебраических формул. Для того, чтобы учащиеся лучше осознали необходимость устных вычислений, их надо практиковать и при решении задач и примеров.

Цель данного пособия – практическая помощь учителю для организации устных упражнений, отвечающих современным требованиям.

ОРГАНИЗАЦИЯ УСТНОГО СЧЕТА В 5 – 6 КЛАССАХ

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, например, быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогут человеку в учёбе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счёт – настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется, по сути, теми же правилами, что и при письменных вычислениях.

Большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие часто используют калькулятор, устно же в основном считают плохо. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало, однако при сдаче ЕГЭ и ГИА использование калькулятора не разрешается, и на экзамене требуются умения и навыки хороших вычислений.

Одной из основных задач преподавания курса математики в основной школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычисления: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями. Успех в вычислениях во многом определяется степенью отработки у учащихся навыков устного счета. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, законов, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность к самоконтролю, повышается культура вычислений.

Одним из важных этапов организации урока математики в 5-6 классах является устный счет.

Данный этап способствует развитию мыслительной деятельности учащихся. Выполнение устных упражнений развивает память, воображение, внимание, наблюдательность, умение сосредоточиться, способность воспринимать сказанное на слух, речь, точность, быстроту реакции учащихся.

Многие психологи отмечают, что устный счет способствует гармоничному развитию двух полушарий человека.

Использование устных упражнений на уроках математики в 5 – 6 классе преследует следующие цели, стоящие перед учителем при подготовке к уроку:

• Повторение изученного материала; отработка умений и навыков применения знаний по определенной теме на практике.
• Пропедевтика нового материала (т.е. система заданий и упражнений для подготовки к изучению нового материала).
• Развитие вычислительных умений и навыков.

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ УСТНОГО СЧЕТА

Понимая важность использования устных упражнений, учитель, работающий в 5 – 6 классе, должен не только грамотно спланировать содержание устной работы, но и форму ее проведения. Устная работа должна быть разнообразной, т.к. она направлена не только на активизацию мыслительной деятельности учащихся, на развитие интеллектуальных способностей учащихся, но и на развитие интереса к математике.

Существуют различные формы организации устной работы на уроках математики:

• Беглый счет. При беглом счете преподаватель называет числа, говорит, какие действия надо над ними производить, а учащиеся говорят только ответ.
• Беглый счет с последующей записью результата. Разница с предыдущим приемом заключается только в том, что если в первом случае учащиеся говорят ответ устно, то во втором они записывают его в тетрадях и показывают учителю.
• Устный счет с предшествующей записью на классной доске чисел, даваемых для счета. Эта форма устных вычислений применяется как в том случае, когда числа, предложенные для счета, большие, так и в том случае, когда закрепляется какой-либо новый прием быстрых вычислений, при котором все внимание учащихся должно сосредоточиться не на числах, а на сущности самого приема.
• Устный счет при решении задач. Учащиеся решают задачу либо устно, либо по написанным учителем на доске числовым данным задачи, либо для устного счета запоминают и содержание задачи, и числовые данные.

В 5, 6 классе на устные упражнения отводятся 5–7 минут урока. На уроке эти упражнения можно проводить для отработки навыков использования таблицы умножения, повторения ранее изученного материала, увеличения скорости вычислений, закрепления нового материала или для подготовки учащихся к его восприятию.

Чтобы заинтересовать учащихся, устное решение упражнений можно проводить с помощью таблиц или карточек с учетом индивидуальных особенностей школьников.

Устная работа должна быть разнообразной, т.к. она направлена не только на активизацию мыслительной деятельности учащихся, на развитие интеллектуальных способностей учащихся, но и на развитие интереса к математике.

Как организационные формы устного счета на уроках математики можно применять такие формы, как:

1. Математический диктант (5 класс).

Например:

I слагаемое 28, II слагаемое 57. Найдите сумму этих чисел.

Уменьшаемое 64, вычитаемое 46. Найдите разность этих чисел.

Число 75 увеличьте на 17.

Найдите разность 51 и 38.

Найдите сумму 43 и 49.

Число 81 уменьшите на 24.

I слагаемое 25, а второе на 14 больше. Найдите сумму этих чисел.

2. Цепочка.

Учитель просит учащихся записать число. Учитель просит изменить данное число при помощи определенного математического действия, запомнить промежуточный результат и выполнить следующее действие, предлагаемое учителем, снова запомнить результат и т.д.

На первых уроках можно разрешать учащимся писать промежуточные результаты, а в дальнейшем попробовать производить операции с промежуточными числами в уме и записать только конечный результат.

3. Круглые примеры.

Предлагается найти последний пример среди определенного числа примеров, записанных в разнобой. Учащиеся находят результат первого примера, далее им надо найти тот, который начинается с цифры, которая является результатом предыдущего примера и т.д. до тех пор, пока результат последнего примера не совпадет с начальной цифрой первого.

Данную работу можно организовать фронтально и индивидуально.

4. Ручеек.

На листочке даны примеры по количеству учащихся, сидящих на одном ряду. Решив первый пример, учащийся передает листочек сидящему за ним однокласснику. Тот должен найти ответ следующего по порядку примеру и передать листочек сидящему за ним однокласснику.

5. Лесенка.

На доске изображена лесенка примеров. Дается определенное время, за которое необходимо подняться на верхнюю ступеньку этой лесенки.

6. Расшифруй слово или фразу.

Таких заданий очень много в учебниках Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева.

Можно придумать и зашифровать тему урока или фамилию того или иного математика, ученого, которые внесли большой вклад в развитие математики.

7. Ромашка.

На доске изображены по кругу числа, а в середине или какое-то действие, или круг, разделенный на четыре или две части. В данных частях круга арифметические действия. Это задание направлено не только на отработку вычислительных навыков, но и на развитие внимания учащихся. Учитель поочередно связывает числа, расположенные по кругу, показывая на них указкой, определенными действиями из маленького круга.

8. Математический марафон.

На доске изображены примеры. Необходимо в уме быстро и правильно найти их результат и записать ответы в тетради.

Через определенное время проверить с классом данное задание и разобрать те задания, которые вызвали трудность.

9. Восстанови пример.

Учитель предлагает ученикам примеры, в которых пропущены или действия, или один из компонентов. Надо восстановить пропущенную запись.

10. Математическое лото.

Учащимся выдаются конверты с карточкой, на которой записаны примеры, расположенные в таблице, как в лото. Данные карточки можно предлагать или каждому ученику, или двум, сидящим на одной парте. Учащиеся решают примеры и закрывают ответы маленькими карточками, на которых изображены цифры, являющиеся ответами к примерам на карточке. По команде учителя ученики прекращают работу и переворачивают маленькие карточки. На большой карточке должен получиться рисунок, или какая-нибудь геометрическая фигура.

11. Найди ошибку.

Эту форму устной работы чаще всего использую при работе над единицами измерения. Предлагаем ученикам столбик равенств с метрическими величинами. Ученикам необходимо проверить правильно ли поставлены знаки равно и у себя в тетради отметить это в виде графической записи. Если ученик согласен с поставленным знаком равно, то он в тетради изображает дугу, размером в две клеточки, если же не согласен, то отрезок, длиной две клеточки.

Например:

Верно ли, что:

5 дм = 50 см 9 км 27 м = 927 м

6 мм = 60 см 65 см = 6 дм 5 см

8 км 78 м = 8780 м 369 мм = 3 см 69 мм

3 м 2 см = 302 см 973 см = 9 м 73 см

7 см 9 мм = 79 мм 5643 м = 5 км 643 м

1 дм 5 мм = 105 мм 730 дм = 73 м?

12. Оглянись назад.

Учитель предлагает ученикам определенное число и записывает его на доске, например 10,5. Далее учитель называет какое-то число меньшее или большее, чем данное. Учащиеся устно должны назвать число, которое поможет вернуться к данному числу.

13. Качели.

Это задание способствует развитию памяти учащихся. Учитель называет числа, например трехзначные. Учащиеся записывают данные числа наоборот, в обратном порядке, сначала пользуясь записями в тетради, а потом только по памяти.

14. «Числовые фокусы».

Можно в устные упражнения включать всевозможные числовые фокусы. Данные задания разнообразят урок и привнесут в него новизну. Например: «Проблема Гольдбаха». Живший в 18 веке в России математик Гольдбах открыл удивительную вещь: каждое четное число ему удавалось представить в виде суммы двух простых чисел (включая число «1»).

Задание: можно предложить 6-тиклассникам при изучении темы «Простые и составные числа» на одном уроке представить в виде суммы простых чисел первые 20 четных чисел; на втором уроке представить в виде суммы простых чисел числа от 20 до 50.

15. «Любопытные свойства натуральных чисел».

Возьмем любое число из 4-х цифр (например, 2365) и расставим их сначала в порядке возрастания (2356), затем убывания (6532). Из большего числа вычтем меньшее: 6532 – 2356 = 4176. С полученным числом проделаем то же самое: 7641 – 1467 = 6174. Интересно то, что к этому числу не более чем за 7 шагов мы приходим вышеуказанным способом от любого, взятого наугад четырехзначного числа.

3) 7641 – 1467 = 6174

Пример: 6598. Пример: 3582.

9865 – 5689 = 4176 1) 8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174.

Пример: 3198.

9831 – 1389 =8442

8442 – 2448 = 5994

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА

При устных вычислениях мысль учащихся все время работает над вопросом: « Какой прием лучше применить в том или другом случае, чтобы как можно быстрее производить требуемые вычисления? »

Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

1. Вычитание 7, 8, 9.

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

2. Умножение на 9

Быстро умножить любое число на 9 можно при помощи пальцев рук.

Хитрость приёма такова: Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе. Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке. Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

3. Деление и умножение на 4 и 8.

Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно.

Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

4. Умножение на 5.

Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

5. Умножение на 25.

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

6. Умножение на однозначные числа.

Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать двух- или трехзначное число поразрядно.

Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 – разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581.

Возьмем более сложный пример: 236*3.

Итак, умножаем сложное число на 3 по разрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

7. Раскладка на десятки и единицы.

Способ заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия:

1. Сначала умножаются десятки друг на друга.
2. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки.
3. Затем прибавляется произведение единиц.

Схематично это можно описать так:

– Первое действие: 60*80 = 4800 – запоминаем
– Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
– Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ.

8. Мысленная визуализация умножения в столбик.

56*67 – посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа.

Но его можно упростить:
Первое действие: 56*7 = 350+42=392
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752

9. Умножение на 11.

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры.

Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10. Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа. Например: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564.

10. Опорное число.

Посмотрим на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8.

Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

15*18

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.
2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230
3. К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

11. Опорное число при умножении чисел до 100. Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа. Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.

Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа.

А) Оба числа меньше опорного (под опорным). Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

47*48

1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)
2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату – 2 256

50 (опорное число)

47 48

3(50-47) 2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Если числа меньше опорного, то из первого множителя вычитаем разность между опорным числом и вторым множителем.

Б) Если числа больше опорного, то к первому множителю прибавляем разность опорного числа и второго множителя .

50(опорное число)

51 63

1 13

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

В) Одно число под опорным, а другое над. Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Меньший множитель увеличиваем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей. Или больший множитель уменьшаем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей.

50(опорное число)

45 52

5(50-45) 2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 или (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

При умножении двузначных чисел из разных десятков в качестве опорного числа удобнее брать круглое число , которое больше большего множителя.

27*89

90(опорное число)

27 89

63 (90-27) 1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел.

КАРТОЧКА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Опорное число 100

Опорное число 100

Решить пример1: 96×97=

Посмотрим:

- сколько единиц не хватает до 100 у первого числа? 4 единицы,

- сколько единиц не хватает до 100 у второго числа? 3 единицы.

Запишем эти числа под соответствующими числами и вычитаем накрест:

96 × 97= 9312

1. 96-3=93 или 97-4=93 это первая часть ответа
2. Перемножаем числа в кружках: 4×3=12 это вторая часть ответа (двузначное число)

Пример 2:

92×99=9108

92-1=91 и 8×1=8, но при умножении получается 8 поэтому записываем 08

Примеры для самостоятельного решения:

КАРТОЧКА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

Умножение чисел от 10 до 20

Опорное число 10

Решить пример1 13×14=

Посмотрим на сколько единиц первое число больше опорного числа? на 3 единицы,

на сколько единиц второе число больше опорного числа? на 4 единицы. Запишем эти числа над соответствующими числами со знаками «+» (так как больше) и складываем накрест накрест:

13 × 14= 182

3. 13-+4=17 или 14+3=17
4. Умножаем полученное число на опорное число 10 17 × 10=170 (это промежуточный результат)
5. Перемножаем числа в кружках: 4×3=12 и прибавим к промежуточному результату

170+12=182 - это ответ

Примеры для самостоятельного решения:

12×18=

12×15=

14×14=

16×14=

15×15=

14×17=

18×13=

17×16=

13×19=

16×18=

19×16=

13×12=

УСТНЫЙ СЧЕТ НА УРОКЕ

Устный счет требует от учителя умелого подхода к индивидуальным особенностям каждого учащегося. Необходимо иметь ввиду, что одни учащиеся при устном счете считают правильно и довольно быстро; другие быстро, но часто ошибаются; третьи хотя и верно, но довольно медленно считают; четвертые считают совсем плохо и требуют от учителя индивидуальной помощи.

Устный счет может практиковаться почти на каждом уроке математики. В зависимости от темы и материалам урока, они могут ставиться учителем в начале урока, середине или в конце. В начале урока устный счет удобно применять тогда, когда нужно подготовить почву либо для изложения нового материала, либо для закрепления пройденных навыков. В середине урока устный счет лучше всего проводить тогда, когда он может быть связан с проходимым или пройденным на уроке материалом. В конце урока устный счет применяется обычно независимо от темы урока в специально оставленное для этой цели время (5-10 минут) как для упражнений

в применении различных приемов быстрых вычислений, которыми учащиеся уже владеют, так и для объяснения учителем новых приемов.

Скорость вычисления как при беглом счете, так при устном решении задач всецело зависит от степени трудности примеров, от степени подготовленности детей, от их умения пользоваться приемами быстрых вычислений, от умения преподавателя вести эту работу. Нельзя применять много различных видов упражнений на одном уроке, так как это утомляет учащихся и снижает их внимание. Практику устного счета надо развивать постоянно. Вообще надо сказать, что умело поставленный устный счет является для детей нередко чрезвычайно интересной работой, своего рода гимнастикой ума, игрой. Для развития у учащихся умения быстро производить устные вычисления учитель должен тщательно рассматривать с детьми некоторые свойства чисел, их сочетания, способы разложения и т. д. Это обеспечит всю последующую технику быстрых вычислений.

1. Необходимо, чтобы таблицы сложения , вычитания, умножения и деления были усвоены с детьми в совершенстве.

2. Надо, чтобы дети легко и быстро находили дополнения чисел до любого большего круглого числа (т. е. кратные 10)

3. Надо научить учащихся быстро делить и умножать на 2.

4. Учащиеся должны уметь разложить любые числа по разрядам, т.е. представить их в виде суммы.

5. Ученики обязаны хорошо знать основные законы четырех арифметических действий, зависимость между компонентами и результатами действий.

6. Представить число в виде разности двух чисел.

7. Использовать при вычислениях возможность замены одних действий другими действиями.

8. Знать значение квадратов чисел до 30.

Приступая к устным вычислениям, учитель должен начинать с более легких примеров и приемов, которые по мере их усвоения усложняются. Устный счет – очень нужный этап урока. Именно на этом этапе появляется настрой на весь урок. Устный опрос украшает урок, делает его логически стройным и интересным, способным лучшему усвоению программного материала. Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Применение различных видов устной работы в основном зависит от творчества учителя.

Какой бы вид работы не выбрал учитель на уроке надо понимать, что устные упражнения способствуют не только развитию математических способностей учащихся, но и развитию вычислительных навыков. Как не странно, учащиеся, которые хорошо считают, порой лучше и быстрее справляются с заданиями по математике, чем даже те ученики, которые по природе своей имеют лучшие математические способности.

Применяя в организации устной работы в 5-6 классе задания вычислительного характера, учитель тем самым экономит время на вычисления при решении задач, уравнений, неравенств.

Помимо вышеперечисленных алгоритмов существует еще ряд приемов устного счета, которые полезно показать учащимся, и использовать их при решении заданий, требующих всевозможных арифметических вычислений.

1. «Промежуточное» приведение к «круглым» числам.

Пример: 187 + 198.

- одно из слагаемых необходимо привести к «круглому» числу десятков, сотен, тысяч и т.д.;

- выполнить действие сложения;

- учесть поправку.

187 + 198 = 200 + 187 -2 = 387 – 2=385.

2. Способ «корневых» чисел.

34 + 37 + 36 + 34 + 38 + 39 = 30*6 + (4 + 7 +6 +8 +9) = 180 + 34 = 214

34 + 33 + 35 +3 4 + 33 + 34 = 34*7 + (3 + 0 -1 + 1 – 1 +0 ) = 238 + 2 = 240

3. Использование изменения порядка счета.

При сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старшего разряда: 5879 + 654 = 9533

4. Использование дополнения числа для упрощения вычитания из числа.

700 – 238 = 700 – (300 – 2) = 400 + 2 = 402

5. Переход от вычитания к сложению.

3000 – 1264 = (3000 + 736) – 2000 = 1736

6. Приемы умножения чисел на 9, 99, 999.

А) 56 * 9 = 56 * 10 – 56 = 560 – 56 = 504

Б) 68 * 99 = 68 * 100 – 68 = 6800 – 68 = 6732

В) 73 * 999 = 73 * 1000 – 73 = 73000 – 73 = 72927

7. Приемы умножения на 111.

Пример: 359 * 111=…9

На последнем месте в результате пишем 9, т.к. 9 * 1 = 9.

Слева от 9 записываем цифру, которая получилась в результате сложения двух последних цифр в числе 359. Это 5 + 9 = 14, т.е. пишем цифру 4.

Затем находят суммы цифр, взятых по три и прибавляют 1 (если есть переход через разряд).

(3 + 5 + 9) + 1 = 18

Перед цифрой 4 пишем цифру 8.

Затем находим сумму двух последних цифр: (3 + 5) + 1 = 9.

Перед цифрой 8 пишем 9.

На первом месте запишем цифру 3, т.к. она первая цифра в данном множителе.

Итак, 359 * 11 = 39849.

Пример: 2356 * 111 = …6

5 + 6 = 11, тогда записываем …16

(3 + 5 + 6) + 1 = 15, тогда записываем …516

(2 + 3 + 5) + 1 = 11, тогда записываем …1516

(2 + 3) + 1 = 6, тогда записываем …61516

Итак, 2356 * 111 = 261516.

Пример: 895123 * 111 = …3

2 + 3 = 5 …53

1 + 2 + 3 = 6 …653

5 + 1 + 2 = 8 …8553

9 + 5 + 1 = 15 …58553

(8 + 9 + 5) + 1 = 23 ….358553

(8 + 9) + 2 = 19 …9358553

8 + 1 = 9

Итак, 895123 * 111 = 99358653

7. Умножение крестиком.

Данный прием применялся еще в древней Индии и назывался «молниеносным».

Пример: 54 * 26.

Умножаем 4 на 6, получаем 24, пишем на месте единиц 4, а 2 запоминаем.

5 умножаем на 6, получаем 30 и прибавляем цифру, которую запомнили, т.е. 2. Получаем 32. Запомним цифру 32.

2 умножаем на 4, получаем 8 и прибавляем 32,получаем 40. Цифру 0 пишем перед 4.

2 умножаем на 5 и прибавляем 4, получаем 14.

Пишем 14 перед всеми записанными цифрами.

Получили число 1404.

Пример: 67 * 39 .

7 * 9 = 63 …3

6 * 9 + 6 = 60

3 * 7 + 60 = 81 …1

3 * 6 + 8 = 26

Итак, 67 * 39 = 2613

Пример: 48 * 67.

8 * 7 = 56 …6

7 * 4 + 5 = 33

6 * 8 + 33 = 81 …16

6 * 4 + 8 = 32

Итак, 48 * 67 = 3216

8. Способ умножения путем изменения сомножителей.

Если один из сомножителей уменьшить в несколько раз, а другой увеличить во столько же раз, итог произведения не изменится, однако умножение может стать проще и быстрее.

Примеры: 24 * 25 = (24:4) * (25 * 4) = 6 * 100 = 600

17 * 12 = (17 * 4) * (12 : 4) = 68 * 3 = 204

28 * 55 = (28 : 2) * ( 55 * 2) = 14 * 110 = 1540

256 *5 = (256 : 2) * ( 5 * 2) = 128 * 10 = 1280

48 * 25 = (48 : 4) * (25 * 4) = 12 * 100 = 1200

64 * 125 = (64 : 8) * (125 * 8) = 8 * 1000 = 8000

9. Способ дополнения для умножения чисел, близких к .

94 * 97 = (100 – 6 – 3) * 100 + 6 *3 = 91 * 100 + 18 = 9118

98 * 96 = (100 – 2 – 4) * 100 + 2 * 4 = 94 * 100 + 8 = 9408

89 * 78 = (100 – 11 – 22) * 100 + 11 * 22 = 67 * 100 + 242 = 6942

113 * 108 = ( 100 + 13 + 8) * 100 + 13 * 8 = 121 * 100 + 104 = 12100 + 104 = 12204

106 * 98 = (100 + 6 -2) * 100 - 6 * 2 = 10400 - 12 = 10388

115 * 91 = (100 +15 – 9) * 100 – 15 * 9 = 10600 – 135 = 10465

108 * 112 = (100 + 8 + 12) * 100 + 8 * 12 = 12000 + 96 = 12096

1002 * 993 = (1000 + 2 – 7) * 1000 -2 * 7 = 995000 – 14 = 99 4986

1012 * 1005 = ( 1000 + 12 + 5) * 1000 + 12 * 5 = 1017000 + 60 = 107060

10. Способ вычитания дополнения при умножении чисел.

Пример: 196 * 198

Из какого-нибудь сомножителя вычитаем дополнение второго сомножителя.

198 – 4 = 194 или 196 – 2 = 194

Полученный результат умножаем на 2, т.к. оба числа дополняли до 200.

194 * 2 = 388

К полученному результату алгебраически (с учетом знака) и разрядности прибавляем произведение дополнений.

198 * 196 = 388 * 100 + 2 * 4 = 38800 + 8 = 38808

Пример: 65 * 78.

Округляем до 80.

78 – 15 = 63

63 * 8 = 504

65 * 78 = 504 * 10 + 15 * 2 = 5040 + 30 = 5070

Пример: 87 * 73.

Округляем до 80.

87 – 7 = 80

80 * 8 = 640

87 * 73 = 640 * 10 – 7 * 7 = 6400 – 49 = 6351

11. Признак делимости на 11.

Если сумма данного многозначного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Если суммы цифр через одну данного числа или их разность не делится на 11, то данное число не делится на 11.

Пример: Делится ли 390137 на 11?

Решение: 1) 3 + 0 + 3 = 6

2)9 + 1 + 7 = 17

3) 17 – 6 = 11

4) 11 : 11, значит и число 390137 делится на 11.

Пример: Делится ли 6880357 на 11?

Решение: 1) 6 + 8 + 3 + 7 = 24

2)8 + 0 + 5 = 13

3) 24 – 13 = 11

4) 11 : 11, значит данное число делится на 11.

Пример: Делится ли 985621 на 11?

Решение: 1) 9 + 5 + 2 = 16

2)8 + 6 + 1 = 15

3) 16 – 15 = 1

4) 1 не делится на 11, значит и число 985621 не делится на 11.

12. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

Пример: 65 * 65 = 4225

6 дес. * 7 дес. = 42 с.

5 * 5 = 25

42 с. + 25 = 4225

Пример: 95 * 95 = 9025

9 дес. * 10 дес. = 90 с.

5 * 5 = 25

90 с. + 25 = 9025

Пример: 385 * 385 = 148225

38 дес. * 39 дес. = 1482 с.

5 * 5 = 25

1482 с. + 25 = 148225

Пример: 685 * 685 =469225

68 дес. * 69 дес. = 4692 с.

4692** + 25 = 469225

Пример: 7435 * 7435

743 дес. * 744 дес. = 552792 с.

552792 с. + 25 = 55279225

13. Умножение трехзначных чисел, оканчивающихся на 25.

Пример: 425 * 425.

В конце числа пишем 625.

Число сотен в числе (4) умножаем на 5. Получаем 20. Перед числом 625 пишем последнюю цифру числа 20, а цифру 2 запоминаем. (0625)

Число сотен данного числа возводим в квадрат, т.е. . Получаем 16. К 16 прибавляем ту цифру, которую мы запомнили, т.е. 2. Получаем 18.

Полученную цифру 18 припишем перед 0625.

Получили 180625.

Пример: 725 * 725.

В конце числа пишем 625.

7 * 5 = 35.

5625

.

49 + 3 = 52

Получили 525625

КАРТОЧКИ ДЛЯ УСТНОГО СЧЕТА

Развивая навыки устного счёта у учеников, можно использовать особые серии карточек. В каждой серии карточек есть разные упражнения с использованием нескольких приёмов устного счёта. В результате складывается некоторая система тренировочных упражнений для учеников 5-6 классов. Эта система даёт возможность повторить изученные раньше приёмы устного счёта и закрепление их. Эта система не забирает много времени на уроке, даёт возможность ученикам контролировать себя, вызывает интерес к математике, дисциплинирует учеников, развивает внимание и сосредоточенность.

В предложенной системе устных вычислений составляется замкнутый круг числовых вопросов и ответов: числовой ответ последней карточки даёт число, которое стоит на первой карточке. Можно брать любую карточку, начинать проводить вычисления – всё одно получим замкнутый круг числовых вопросов и ответов.

Если ученик выполнил вычисления неправильно, он не найдёт ответ ни на одной из этих карточек. Поэтому, система даёт ученикам возможность проводить самоконтроль. Принцип составления серии карточек заключается в следующем:

1) Учитель составляет примеры таким образом, что ответ первой карточки является компонентом второй; ответ второй – третьей и т. д.

2) Можно составлять самостоятельно серию из 6, 8, 10 и большего количества карточек, учитывая силы учеников и их знания.

3) Карточки нужно составлять равноценные по характеру примеров и сложности, чтобы дать ученикам возможность одновременно закончить работу по карточкам.

4) Для примеров на карточках можно использовать разные приёмы устного счёта или сосредоточить внимание учеников на одном – двух.

5) Важно не допускать одинаковых ответов, так как не будет замкнутого устного счёта, ученик не сможет проконтролировать себя – всегда всегда будут оставаться лишние карточки.

6) Кроме прямых действий, карточки для устного счёта могут быть усложнены обратными действиями, например, когда известно делимое и частное, нужно найти делитель. Принцип составления таких карточек аналогичный первому.

7) Для удобства карточки изготовляют небольших размеров и сохраняют в конвертах. Можно использовать компьютер с проектором или интерактивная доска. Серии карточек обязательно нужно номеровать. Это даёт возможность учителю следить за тем, чтобы ученик во время работы сразу получал карточки других номеров с соответствующими приёмами устного счёта.

8) Карточки можно использовать для индивидуальной и домашней работы.

9) На работу в классе можно использовать 3-5-7 минут, чтобы не перезагружать учеников.

Познакомить учеников с правилами устного счёта по карточкам необходимо провести по образцу одной серии. Ученики понимают и усваивают с первого разу.

Например, возьмём серию карточек на вычисление с десятичными дробями, которая состоит из 12 штук. Все карточки прикрепляются ( в любом порядке) на классной доске с обозначением мелом номер карточки.(можно использовать таблицу и т.п.)

Пусть карточки расположены на доске так:

По желанию ученика берём любую карточку, например V. Эту карточку берём из ряда, прикрепляем на доске отдельно. Один из учеников читает пример 13 ∙ 0,01 = … .

Ответ ученики держат в уме (про это нужно детям говорить отдельно), ищут её в ряде карточек и находят её в карточке XII. Ответ (0,13) называется, карточка XII вынимается из ряда и прикрепляется выше карточки V, т.е. карточка V будет находиться при решении примеров внизу.

Далее появляется новый пример: 0,13 + 1,97 = … . Ученики читают его, ответ держат в голове, ищут её среди карточек, находят в карточке IV. Ответ (2,1) называется , карточка IV вынимается из ряда и прикрепляют выше V и XII.

Далее имеем новый пример: 2,1 + 1,4 = … . Ученики читают его, ответ держат в уме, находят её на карточке VIII. Ответ (3,5) называется, карточка вынимается из ряда, прикрепляется выше предыдущих. Так ведётся счёт до последней карточки:

III. 5 – 3,7 = ; X. 1,3 : 13 =; VI. 0,1 + 3,6 =; II. 3,7 + 1,4 =; VII. 5,1 : 0,3 =; XI. 17 – 15,5 =; IX. 1,5 + 2,4 =; I. 3,9 : 0,3 = . Все карточки взятые из рядов прикреплены в ряд, одна выше другой и образуют ряд. Читаем последний пример: 3,9 : 0,3 = . Ученик даёт ответ 13. Это т ответ – число13 – является ответом первой карточки внизу: 13 ∙ 0,01 =. Карточку берём снизу, показываем ученикам. Таким образом, получили замкнутый круговой устный счёт.

После того как ученики научились пользоваться карточками, можно их раздавать в конвертах с сериями примеров для самостоятельной работы.

А. Серия карточек на десятичные дроби.

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

№13

№14

№15

№16

№17

№18

№19

№20

Б. Серия карточек на десятичные дроби на нахождение неизвестного компонента

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

№11

№12

№13

№14

№15

№16

№17

№18

№19

№20

В. Серия карточек на обыкновенные дроби.

№1

№2

№3

Г. Серия карточек на нахождение неизвестного компонента с обыкновенными дробями

№1

№2

№3

Д.Серия карточек на проценты.

№1

№2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Чтобы научиться быстро считать в уме, нужна практика, нет волшебных методик, чтобы с первого раза начать быстро считать в голове, необходимо постоянно тренировать свой мозг и заставлять его быстро работать и считать.

Как и все способы вычислений, методы быстрого счета имеют свои достоинства и недостатки:

ПЛЮСЫ: С помощью различных методов быстрых вычислений даже самый малообразованный человек может считать. Способы быстрого счета могут помочь избавиться от сложного действия, путем замены его на несколько более простых.
Способы быстрого счета полезны в ситуациях, когда нельзя воспользоваться умножением в столбик. Способы быстрого счета позволяют сократить время вычислений. Устный счет развивает умственную деятельность, что помогает быстрее ориентироваться в сложных жизненных ситуациях. Техника устного счета делает процесс вычислений более увлекательным и интересным.

МИНУСЫ: Зачастую, решать пример, пользуясь способами быстрого счета, оказывается дольше, чем просто перемножать в столбик, так как приходится выполнять большее количество действий, каждое из которых проще первоначального.
Бывают ситуации, когда учащийся от волнения или еще чего-то забывает способы быстрого счета или вовсе – путается в них; в таких случаях ответ получается неправильным, а способы являются фактически бесполезными.
Не для всех случаев разработаны способы быстрого счета. Вычисляя с использованием техники быстрого счета, нужно держать множество ответов в голове, в чем можно запутаться и прийти к ошибочному результату.

Несомненно, практика играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые способны считать в уме сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

ЛИТЕРАТУРА

(ИНТЕРНЕТ-ИСТОЧНИКИ)

1.

2.

3.

4.

5.

6.