Приемы и методы устного счета на уроках математики.
методическая разработка по алгебре (5, 6 класс)

Методы и приемы устного счета на уроках математики.

Назаревская С.Д. – преподаватель математики ГБПОУ Педагогического колледжа № 4.

«Старайся дать уму как можно больше пищи» Л.Н. Толстой.

Одним из важных этапов организации урока математики в начальной школе и в 5-6 классах является устный счет.

Данный этап способствует развитию мыслительной деятельности учащихся. Выполнение устных упражнений развивает память, воображение, внимание, наблюдательность,  умение сосредоточиться, способность воспринимать сказанное на слух, речь, точность, быстроту реакции учащихся.

Многие психологи отмечают, что устный счет способствует гармоничному развитию двух полушарий человека.

Использование устных упражнений на уроках математики преследует следующие цели, стоящие перед учителем при подготовке к уроку:

1. Повторение изученного материала;  отработка умений и навыков применения знаний по определенной теме на практике.
2. Пропедевтика нового материала (т.е. система заданий и упражнений для подготовки к изучению нового материала).
3. Развитие вычислительных умений и навыков.

Понимая важность использования устных упражнений, учитель должен не только грамотно спланировать содержание устной работы, но и форму ее проведения. Устная работа должна быть разнообразной, т.к. она направлена не только на активизацию мыслительной деятельности  учащихся, на развитие интеллектуальных способностей учащихся,  но и на развитие интереса к математике.

Существуют различные формы организации устной работы на уроках математики:

1. Математический диктант.

Например:

1. I слагаемое 28, II слагаемое 57. Найдите сумму этих чисел.
2. Уменьшаемое 64, вычитаемое 46. Найдите разность этих чисел.
3. Число 75 увеличьте на 17.
4. Найдите разность 51 и 38.
5. Найдите сумму 43 и 49.
6. Число 81 уменьшите на 24.
7. I слагаемое 25, а второе на 14 больше. Найдите сумму этих чисел.

2. Цепочка.

Учитель просит учащихся записать число. Учитель просит изменить данное число при помощи определенного математического действия, запомнить промежуточный результат и выполнить следующее действие, предлагаемое учителем, снова запомнить результат и т.д.

На первых уроках можно разрешать учащимся писать промежуточные результаты, а в дальнейшем попробовать производить операции с промежуточными числами в уме и записать только конечный результат.

3. Круглые примеры.

Предлагается найти последний пример среди определенного числа примеров, записанных в разнобой. Учащиеся находят результат первого примера, далее им надо найти тот, который начинается с цифры, которая является результатом предыдущего примера и т.д. до тех пор, пока результат последнего примера не совпадет с начальной цифрой первого.

Данную работу можно организовать фронтально и индивидуально.

4. Ручеек.

На листочке даны примеры по количеству учащихся, сидящих на одном ряду. Решив первый пример, учащийся передает листочек сидящему за ним однокласснику. Тот должен найти ответ следующего по порядку примеру и передать листочек сидящему за ним однокласснику.

5. Лесенка.

На доске изображена лесенка примеров. Дается определенное время, за которое необходимо подняться на верхнюю ступеньку этой лесенки.

6. Расшифруй слово или фразу.

Таких заданий очень много в учебниках  Л.Г. Петерсон и Г.В. Дорофеева.

Можно придумать и зашифровать тему урока или фамилию того или иного математика, ученого, которые внесли большой вклад в развитие математики.

7. Ромашка.

На доске изображены по кругу числа, а в середине или какое-то действие, или круг, разделенный на четыре или две части. В данных частях круга арифметические действия. Это задание направлено не только на отработку вычислительных навыков, но и на развитие внимания учащихся. Учитель поочередно связывает числа, расположенные по кругу, показывая на них указкой, определенными действиями из маленького круга.

8. Математический марафон.

На доске изображены примеры. Необходимо в уме быстро и правильно найти их результат и записать ответы в тетради.

Через определенное время проверить с классом данное задание и разобрать те задания, которые вызвали трудность.

9. Восстанови пример.

Учитель предлагает ученикам примеры, в которых пропущены или действия, или один из компонентов. Надо восстановить пропущенную запись.

10. Математическое лото.

Учащимся выдаются конверты с карточкой, на которой записаны примеры, расположенные в таблице, как в лото.

Данные карточки можно предлагать или каждому ученику, или двум, сидящим на одной парте.

Учащиеся решают примеры и закрывают ответы маленькими карточками, на которых изображены цифры, являющиеся ответами к примерам на карточке.

По команде учителя ученики прекращают работу и переворачивают маленькие карточки. На большой карточке должен получиться рисунок, или какая-нибудь геометрическая фигура.

11. Найди ошибку.

Эту форму устной работы чаще всего использую при работе над единицами измерения.

Предлагаю ученикам столбик равенств  с метрическими величинами. Ученикам необходимо проверить правильно ли поставлены знаки равно и у себя в тетради отметить это в виде графической записи.

Если ученик согласен с поставленным знаком равно, то он в тетради изображает дугу, размером в две клеточки, если же не согласен, то отрезек, длиной две клеточки.

Например:

Верно ли, что:

5 дм = 50 см                                                   9 км 27 м = 927 м

6 мм = 60 см                                                   65 см = 6 дм 5 см

8 км 78 м = 8780 м                                        369 мм = 3 см 69 мм

3 м 2 см = 302 см                                           973 см = 9 м 73 см

7 см 9 мм = 79 мм                                         5643 м = 5 км 643 м

1 дм 5 мм = 105 мм                                      730 дм = 73 м?

12. Оглянись назад.

 Учитель предлагает ученикам определенное число и записывает его на доске, например 10,5.

Далее учитель называет какое-то число меньшее или большее, чем данное. Учащиеся устно должны назвать число, которое поможет вернуться к данному числу.

13. Качели.

Это задание способствует развитию памяти учащихся.

Учитель называет числа, например трехзначные. Учащиеся записывают данные числа наоборот, в обратном порядке, сначала пользуясь записями в тетради, а потом только по памяти.

14. «Числовые фокусы». 5 – 6 класс.

Можно в устные упражнения включать всевозможные числовые фокусы. Данные задания разнообразят урок и привнесут в него новизну.

Например:

«Проблема Гольдбаха».

Живший в 18 веке в России математик Гольдбах открыл удивительную вещь:

каждое четное число ему удавалось представить в виде суммы двух простых чисел

 (включая число «1»).

Задание: можно предложить 6-тиклассникам при изучении темы «Простые и составные числа» на одном уроке представить в виде суммы простых чисел первые 20 четных чисел; на втором уроке представить в виде суммы простых чисел  числа от 20 до 50.

15. «Любопытные свойства натуральных чисел».

Возьмем любое число из 4-х цифр (например, 2365) и расставим их сначала в порядке возрастания (2356), затем убывания (6532). Из большего числа вычтем меньшее: 6532 – 2356 = 4176. С полученным числом проделаем то же самое: 7641 – 1467 = 6174. Интересно то, что к этому числу не более чем за 7 шагов мы приходим вышеуказанным способом от любого, взятого наугад четырехзначного числа.

3) 7641 – 1467 = 6174

Пример: 6598.                                                                 Пример: 3582.

1. 9865 – 5689 = 4176                                                  1) 8532 – 2358 = 6174
2. 7641 – 1467 = 6174.

                Пример: 3198.

1. 9831 – 1389 =8442
2. 8442 – 2448 = 5994
3. 9954 – 4599 = 5355
4. 5553 – 3555 = 1998
5. 9981 – 1899 = 8082
6. 8820 – 288 = 8532
7. 8532 – 2358 = 6174

Применение различных видов устной работы в основном зависит от творчества учителя.

Какой бы вид работы не выбрал учитель на уроке надо понимать, что устные упражнения способствуют не только развитию математических способностей учащихся, но и развитию вычислительных навыков. Как не странно, учащиеся, которые хорошо считают,  порой лучше и быстрее справляются с заданиями по математике, чем даже те ученики, которые по природе своей имеют лучшие математические способности.

Применяя в организации устной работы задания вычислительного характера, учитель тем самым экономит время на вычисления при решении задач, уравнений, неравенств.

Существует ряд приемов устного счета, которые полезно показать учащимся, и использовать их при решении заданий, требующих всевозможных арифметических вычислений.

1.  «Промежуточное» приведение к «круглым» числам.

Пример: 187 + 198.

1. одно из слагаемых необходимо привести к «круглому» числу десятков, сотен, тысяч и т.д.;
2. выполнить действие сложения;
3. учесть поправку.

187 + 198 = 200 + 187 -2 = 387 – 2=385.

2. Способ «корневых» чисел.

34 + 37 + 36 + 34 + 38 + 39 = 30*6 + (4 + 7 +6 +8 +9) = 180 + 34 = 214

37.  34 + 33 + 35 +3 4 + 33 + 34 = 34*7 + (3 + 0 -1 + 1 – 1 +0 ) = 238 + 2 = 240

3. Использование изменения порядка счета.

При сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старшего разряда.

5879. 654 = 9533

4. Использование дополнения числа для упрощения вычитания из числа.

700. – 238 = 700 – (300 – 2) = 400 + 2 = 402

5. Переход от вычитания к сложению.

3000 – 1264 = (3000 + 736) – 2000 = 1736

6. Приемы умножения чисел на 9, 99, 999.

А) 56 * 9 = 56 * 10 – 56 = 560 – 56 = 504

Б) 68 * 99 = 68 * 100 – 68 = 6800 – 68 = 6732

В) 73 * 999 = 73 * 1000 – 73 = 73000 – 73 = 72927

7. Приемы умножения чисел на 11.

26 * 11 = 2 * 6 , вместо * пишем число, которое является суммой 2 и 6.

67 * 11 = 6 * 7, вместо * надо записать результат суммы чисел 6 и 7, но это двузначное число, а на месте разряда десятков можно записать только одну цифру, поэтому на месте десятков мы пишем 3, а к 6 единицам, которые должны стоять на месте сотен прибавляем 1 и получаем 7.

Итак, 67 * 11 = 737

8. Приемы умножения на 111.

Пример:  359 * 111=…9 

На последнем месте в результате пишем 9, т.к. 9 * 1 = 9.

Слева от 9 записываем цифру, которая получилась в результате сложения двух последних цифр в числе 359. Это 5 + 9 = 14, т.е. пишем цифру 4.

Затем находят суммы цифр, взятых по три и прибавляют 1 (если есть переход через разряд).

(3 + 5 + 9) + 1 = 18

Перед цифрой 4 пишем цифру 8.

Затем находим сумму двух последних цифр: (3 + 5) + 1 = 9.

Перед цифрой 8 пишем 9.

На первом месте запишем цифру 3, т.к. она первая цифра в данном множителе.

Итак, 359 * 11 = 39849.

Пример: 2356 * 111 = …6

5 + 6 = 11, тогда записываем …16

(3 + 5 + 6) + 1 = 15, тогда записываем …516

(2 + 3 + 5) + 1 = 11, тогда записываем …1516

(2 + 3) + 1 = 6, тогда записываем …61516

Итак, 2356 * 111 = 261516.

Пример: 895123 * 111 = …3

2 + 3 = 5             …53

1 + 2 + 3 = 6       …653

5 + 1 + 2 = 8       …8553

9 + 5 + 1 = 15     …58553

(8 + 9 + 5) + 1 = 23    ….358553

(8 + 9) + 2 = 19         …9358553

8 + 1 = 9

Итак, 895123 * 111 = 99358653

9. Умножение крестиком.

Данный прием применялся еще в древней Индии и назывался «молниеносным».

Пример: 54 * 26.

1. Умножаем 4 на 6, получаем 24, пишем на месте единиц 4, а 2 запоминаем.
2. 5 умножаем на 6, получаем 30 и прибавляем цифру, которую запомнили, т.е. 2. Получаем 32. Запомним цифру 32.
3. 2 умножаем на 4, получаем 8 и прибавляем 32,получаем 40. Цифру 0 пишем перед 4.
4. 2 умножаем на 5 и прибавляем 4, получаем 14.
5. Пишем 14 перед всеми записанными цифрами.
6. Получили число 1404.

  Пример: 67 * 39 .

1. 7 * 9 = 63     …3
2. 6 * 9 + 6 = 60
3. 3 * 7 + 60 = 81  …1
4. 3 * 6 + 8 = 26

Итак, 67 * 39 = 2613

Пример: 48 * 67.

1. 8 * 7 = 56   …6
2. 7 * 4 + 5 = 33
3. 6 * 8 + 33 = 81 …16
4. 6 * 4 + 8 = 32

Итак, 48 * 67 = 3216

10. Способ умножения путем изменения сомножителей.

Если один из сомножителей уменьшить в несколько раз, а другой увеличить во столько же раз, итог произведения не изменится, однако умножение может стать проще и быстрее.

Примеры: 24 * 25 = (24:4) * (25 * 4) = 6 * 100 = 600

                    17 * 12 = (17 * 4) * (12 : 4) = 68 * 3 = 204

                    28 * 55 = (28 : 2) * ( 55 * 2) = 14 * 110 = 1540

                    256 *5 = (256 : 2) * ( 5 * 2) = 128 * 10 = 1280

           48 * 25 = (48 : 4) * (25 * 4) = 12 * 100 = 1200

           64 * 125 = (64 : 8) * (125 * 8) = 8 * 1000 = 8000

11.  Способ дополнения для умножения чисел, близких к .

94 * 97 = (100 – 6 – 3) * 100 + 6 *3 = 91 * 100 + 18 = 9118

98 * 96 = (100 – 2 – 4) * 100 + 2 * 4 = 94 * 100 + 8 = 9408

89 * 78 = (100 – 11 – 22) * 100 + 11 * 22 = 67 * 100 + 242 = 6942

113 * 108 = ( 100 + 13 + 8) * 100 + 13 * 8 = 121 * 100 + 104 = 12100 + 104 = 12204

106 * 98 = (100 + 6 -2) * 100 - 6 * 2 = 10400 - 12 = 10388

115 * 91 = (100 +15 – 9) * 100 – 15 * 9 = 10600 – 135 = 10465

108 * 112 = (100 + 8 + 12) * 100 + 8 * 12 = 12000 + 96 = 12096

1002 * 993 = (1000 + 2 – 7) * 1000 -2 * 7 = 995000 – 14 = 99 4986

1012 * 1005 = ( 1000 + 12 + 5) * 1000 + 12 * 5 = 1017000 + 60 = 107060

12. Способ вычитания дополнения при умножении чисел.

Пример: 196 * 198

1. Из какого-нибудь сомножителя вычитаем дополнение второго сомножителя.  

198 – 4 = 194 или 196 – 2 = 194

2. Полученный результат умножаем на 2, т.к. оба числа дополняли до 200.  

194 * 2 = 388  

3. К полученному результату алгебраически (с учетом знака) и разрядности прибавляем произведение дополнений.

198 * 196 = 388 * 100 + 2 * 4 = 38800 + 8 = 38808  

                     Пример: 65 * 78.

Округляем до 80.

1. 78 – 15 = 63
2. 63 * 8 = 504
3. 65 * 78 = 504 * 10 + 15 * 2 = 5040 + 30 = 5070

Пример: 87 * 73.

Округляем до 80.

1. 87 – 7 = 80
2. 80 * 8 = 640
3. 87 * 73 = 640 * 10 – 7 * 7 = 6400 – 49 = 6351

13. Признак делимости на 11.

Если сумма данного многозначного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Если суммы цифр через одну данного числа или их разность не делится на 11, то данное число не делится на 11.

Пример: Делится ли 390137 на 11?

Решение: 1) 3 + 0 + 3 = 6

            2)9 + 1 + 7 = 17

            3) 17 – 6 = 11

            4) 11 : 11, значит и число 390137 делится на 11.

 Пример: Делится ли 6880357 на 11?

 Решение: 1) 6 + 8 + 3 + 7 = 24

             2)8 + 0 + 5 = 13

             3) 24 – 13 = 11

             4) 11 : 11, значит данное число делится на 11.

Пример: Делится ли 985621 на 11?

 Решение: 1) 9 + 5 + 2 = 16

                    2)8 + 6 + 1 = 15

             3) 16 – 15 = 1

              4) 1 не делится на 11, значит и число 985621 не делится на 11.    

14. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.

Пример: 65 * 65 = 4225

6 дес. * 7 дес. = 42 с.

5 * 5 = 25

42 с. + 25 = 4225

Пример: 95 * 95 =

9 дес. * 10 дес. = 90 с.

5 * 5 = 25

90 с. + 25 = 9025

Пример: 385 * 385 = 148225

38 дес. * 39 дес. = 1482 с.

5 * 5  = 25

1482 с. + 25 = 148225

Пример: 685 * 685 =469225

68 дес. * 69 дес. = 4692 с.

4692** + 25 = 469225

Пример: 7435 * 7435

743 дес. * 744 дес. = 552792 с.

552792 с. + 25 = 55279225

15. Умножение трехзначных чисел, оканчивающихся на 25.

Пример: 425 * 425.

1. В конце числа пишем 625.
2. Число сотен в числе (4) умножаем на 5. Получаем 20. Перед числом 625 пишем последнюю цифру числа 20, а цифру 2 запоминаем. (0625)
3. Число сотен данного числа возводим в квадрат, т.е. . Получаем 16. К 16 прибавляем ту цифру, которую мы запомнили, т.е. 2. Получаем 18.
4. Полученную цифру 18 припишем перед 0625.
5. Получили 180625.

Пример: 725 * 725.

1. В конце числа пишем 625.
2. 7 * 5 = 35.

5625

3. .

49 + 3 = 52

4. Получили 525625

Учащиеся  любят использовать данные приемы, которые отличаются от традиционных решений в столбик. Важно только, показав на каком-нибудь уроке один из приемов устного счета, стараться применять его на практике, не забывая о нем.

Литература:

1. Гончар Д.Р. Устный счет и память: загадки, приемы развития, игры;

Лурия А. Р. Маленькая книжка о большой памяти;

Вильям В. Аткинсон. Память и забота о ней. – Д.: Сталкер, 1998.

2. Шейнина О. С., Соловьева Г. М. Математика. Занятия школьного кружка. 5 – 6 кл. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2005.