Урок - диспут, как средство формирования мотивации учебной деятельности на уроках математики
статья по математике (10 класс)

Урок – диспут, как средство формирования мотивации учебной деятельности на уроках математики

Тема дискуссии: «Что же такое красивая задача?»

    Добрый день, уважаемые коллеги! Сегодня я хочу не делиться опытом, не рассказывать способы и методы решения тех или иных задач или заданий ОГЭ, а рассказать об одном своем уроке. Уроки – дискуссии учителей истории и литературы всегда вызывали во мне чувство «белой» зависти. Именно эти «уроки открытых мыслей» дают возможность учащимся отказаться от шаблона, побуждают к творчеству, позволяют насладиться атмосферой свежих идей, получить удовольствие от учебного процесса. В таких уроках нуждается каждый предметник, в том числе и учитель математики.

     На первый взгляд кажется странным, что уроки математики, на которых мы учим устанавливать истину путем доказательства, станут материалом для ученического диспута. Однако поводом для дискуссий и свободного обмена мнениями может служить не сам вопрос о справедливости тех или иных математических факторов (хотя для группы учащихся с неплохой математической подготовкой установка истины – хороший толчок для коллективного мышления). Предметом обсуждения может стать, например, эстетическая сторона математических утверждений, или отношение учащихся к математике, или мотивы, которыми руководствуются ученики при её изучении.

      Итак, об уроке, идея проведения которого возникла в старшем классе, за две недели до окончания 1 полугодия, то есть за две недели до нового года. Я понимала, что урок, который я задумала провести, должен был быть без оценок и проходить в непринужденной обстановке. Идея проведения такого урока не была неожиданной. У ребят старших классов часто наблюдается прагматическое отношение к математике – выучить, чтобы сдать экзамены; сдать экзамены, чтобы поступить в вуз. Думается, что одним из объяснений подобного потребительского отношения является притупление познавательного интереса, прекрасного качества, подаренного человеку природой. Ученики перестали ощущать и ценить (а может быть никогда и не чувствовали) внутрипредметную красоту математики, силу её эмоционального воздействия.

    Нам кажется, что действенным средством эстетического воздействия математики на учеников являются задачи, и именно те задачи, которые мы называем красивыми. А что же такое красивая задача? И уместно ли задачу наградить эпитетом «красивая»? С этими вопросами я обратилась к учащимся. Почувствовав заинтересованность в попытках дать ответы на вопросы, я предложила ученикам подумать неделю – другую  и подобрать примеры, подтверждающие их мнения.

       Итак, думается мне, нет необходимости давать стенографическое описание этого урока.  Приведу самые яркие моменты. Ученику, своеобразный ответ которого предполагался заранее, было предложено выступить первым. И диспут начался. Он отметил, что красивые задачи в математике, наверное, существуют, но их красоту могут ощутить только знатоки. Ему возразили, что красота понятна не только творцам, но и  ценителям так же, как поэзия и музыка создаются художниками прежде всего для людей.

       Интересно компромиссное суждение одного ученика. По его мнению, термин «красивая задача» применим лишь для тех задач, которые он смог решить сам; неудавшиеся попытки его угнетают, даже раздражают и формируют комплекс неполноценности. Тогда слово попросил один из самых темпераментных учащихся. Он предложил товарищам продолжить спор, но лишь после того, как они услышат решение следующей задачи.

     Плоскость покрыта квадратной решеткой. Можно ли через любой узел провести прямую, не проходящую больше ни через один узел решетки?

   Решение: Рассмотрим декартову систему координат с началом отсчета в выбранной точке. Тогда все узлы решётки имеют целые координаты. Искомая прямая существует, и, что самое интересное, таких прямых бесконечно много. Например, у = х: этой прямой принадлежит лишь одна точка с целыми координатами, а именно (0; 0).

      Заканчивая выступление, ученик подчеркнул, что класс не принимал участие в решении задачи, однако она не должна оставить равнодушным никого. Действительно, задача понравилась всем. Но некоторые, признав её красоту, пессимистически заявили, что они никогда не догадались бы до такого решения и это чувство немного притупляет их впечатление, Итак, вопрос о существовании красивых задач как для творцов, так и для ценителей остался открытым.

   В этот момент урока представлялось целесообразным изменить направление диспута, и классу был задан следующий вопрос: «Что определяет красоту рассмотренной задачи?»  Предложивший её ученик отметил, что он считает красивыми те задачи, решение которых основано на непредсказуемой идее. И другие высказали  сходные мнения, оценивая красивую задачу как источник непредсказуемых и неожиданных идей.

    На доске появилась формула:

Красивая задача = непредсказуемость + неожиданность + непредполагаемость.

        Не думайте, что слагаемые в формуле появились в результате полного  и безоговорочного одобрения. Так, предложение включить в их число «нестандартность» было отвергнуто большинством, посчитавшим эту характеристику слишком «стандартной» для того, чтобы достойно оценивать такое качество, как красота.

       Заслуживает внимания и такой факт. После появления формулы некоторые учащиеся признались, что, подбирая к уроку задачи, они только сейчас могут объяснить свой выбор.

       Подогрело страсти предложение одной ученицы о замене левой части формулы на «оригинальная задача». Свое предложение она аргументировала тем, что словарь русского языка С.И. Ожегова раскрывает понятие красоты как совокупность качеств, доставляющих наслаждение взору и слуху, и, следовательно, термин  «красивая задача» не уместен.

     Оппоненты не заставили себя долго ждать: «Красота может доставлять удовольствие не только слуху и взору, но и разуму!..»  и в качестве примера, иллюстрирующего их доводы, предложили следующую задачу.

      При пересечении диагоналей правильного пятиугольника в свою очередь образуется правильный пятиугольник. Существуют ли пятиугольники, отличные от правильного, диагонали которого при пересечении образуют пятиугольник, подобный данному?

       Решение: Искомым пятиугольником является параллельная проекция правильного пятиугольника. Действительно, изображения подобных фигур, лежащих в параллельных плоскостях, подобны. (Это легко доказать, пользуясь определением преобразования подобия и свойствами параллельного проектирования.)

     Эта задача многих ошеломила. И я еще раз убедилась в том, что задача и её решение могут оказывать сильное эмоциональное воздействие на детей.

     Вокруг этой задачи возник спор и тут один из учеников выразил свое отношение к красивым задачам. В его понимании к последним относятся  и такие, которые при первом знакомстве поражают своей сложностью и даже вызывают страх, а решение их удивительно изящное и простое.

       Эмоциональный накал диспута нарастал. Многие стали настаивать на том, чтобы в формуле было ещё одно слагаемое «простота». И поддаваясь большинству, мы решили расширить формулу.  Представляется интересным выделить ещё одну точку зрения. Учащийся предложил включить в формулу слагаемое «фантазия», предварительно рассказав известную задачу П. Дирака о рыбаках.

        Заслуживает внимания и такое высказывание: «К красивым задачам я отношу и те задачи, для решения которых надо сделать решительный , революционный шаг». Оно было раскрыто на двух исторических примерах: пятый постулат Эвклида и проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Еще ученик предложил классу подумать над следующей задачей.

      Найти закономерность в построении последовательности 111, 213, 141, 516, 171, 819, 202, 122, ……

      А решение этой задачи действительно революционное: надо в данной последовательности иначе расставить запятые, и мы получим 11, 12, 13, 14, ..

       Итак, формула пополнилась новым слагаемым «революционный шаг». Итак, разбирая, задачи предложенные детьми, мы пополнили формулу еще несколькими слагаемыми и на этом нельзя было остановиться. И это была только небольшая часть урока.

        Описание урока хотелось бы закончить двумя поучительными для нас, учителей математики, выступлениями учеников, прозвучавшими в конце диспута.

         В первом, ученица упрекнула своих товарищей в том, что они не замечают красоту, лежащую на поверхности, а именно некоторые известные теоремы, например теорему Пифагора. Факт, описанный этой  теоремой, она считает простым, неожиданным и удивительным. Она привела еще примеры: «признаки делимости на 3 и на 9, теорему Виета, свойства медиан треугольника, теоремы синусов и косинусов и т.д.

        Во втором выступлении (оно оказалось последним) ученица вернула нас к началу диспута. Отметив свое признание существования красивых задач независимо от её участия в их решении, заострила внимание на том, что ценить красоту в математике могут лишь те, кому нравится эта наука, а нравиться она может лишь тем, кто награждается успехом при решении задач. Поэтому она предложила включить в формулу слагаемое «уверенность в будущем успехе», или «оптимизм», а в конце поставить знак «+» и многоточие.

        Подводя итоги диспута, я обратила внимание класса на то, что восприятие красоты (не только в науке, а и в любом виде человеческой деятельности) требует от человека определённого труда на приближение к уровню компетентности, который заложил автор в своё произведение, будь то математическая теорема, картина, музыкальный опус или эффективно работающее техническое устройство.

      Итак, после почти полуторачасовой дискуссии (была «украдена», по обоюдному согласию, перемена и часть следующего урока) на доске возникла формула:

Красивая задача = непредсказуемость + непредполагаемость + неожиданность  + удивительная простота + простота + фантазия + революционный шаг + удивление + оптимизм + труд + …….

Важно подчеркнуть: отказавшись в последнем от синонимов, мы получим формулу математической красоты, предложенную В.Г. Болтинским и эмпирически переоткрытую детьми.

     В заключение отмечу, что урок – диспут, по моему мнению, - это ещё один шаг на пути к проблеме формирования мотивации учебной деятельности учащихся.