Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 7 Дифференциал. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Слайд 2

Содержание

Слайд 3

Вычисление дифференциала. Мы установили, что дифференциал функции У = f ( x ) имеет форму т. е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал ее аргумента. Пример 1. Найти дифференциал функции Решение По формуле (1) находим: Пример 2. Найти дифференциал функции Решение. Находим:

Слайд 4

Дифференциалы высших порядков. Из формулы следует, что дифференциал функции зависит от двух переменных, х и , причем dx от х не зависит. Рассмотрим дифференциал только как функцию от х , т. е. будем считать dx постоянным. В этом случае можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом этой функции и обозначается («де два игрек») или («де два эф от икс»). Таким образом, Принято скобки при степенях dx не писать, поэтому Аналогично определяются Дифференциалы третьего порядка: Вообще, дифференциалом n -го порядка называется дифференциал от дифференциала ( n — 1)-го порядка: Таким образом, для нахождения дифференциала n -го порядка функции y = f ( x ) нужно найти производную n -го порядка от этой функции и полученный результат умножить на Пример. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции Решение. Находим соответствующие производные от данной функции: Следовательно,

Слайд 5

Приложение дифференциала приближенным вычислениям. Рассмотрим функцию y = f ( x ), приращение которой и дифференциал Выше было установлено, что при достаточно малых имеем Так как вычислять df ( xo ) значительно проще, чем на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям. 1. Вычисление приближенного значения приращения функции. Пример 1. Найти приближенное значение приращения функции Решение. Применив формулу (3), получим: = 6х0Л* =.0,001 Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения: Далее, находим абсолютную погрешность приближения: а затем и относительную погрешность: Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает целесообразность применения формулы (3).

Слайд 6

2. Вычисление приближенного числового значения функции. Из формулы (1) имеем или Пример 2. Найти приближенное значение функции Решение. Представим х в виде суммы Приняв х о = 3 и , найдем Следовательно, 3.Приближенное вычисление степеней. Рассмотрим функцию Применив формулу (4), получим или По этой формуле наводят приближенное значение степеней. Пример 3. Найти приближенное значение степени 5,013 3 . Решение. Представим данную степень в виде (5 + 0,013) 3 . Приняв по формуле (5) найдем: Приближенное извлечение корней. При и формула (5) примет вид или Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения различных корней. Пример 4. Найти приближенное значение корня Решение. Представим данный корень в виде Приняв , по формуле (6) найдем:

Слайд 7

Закрепление материала Закрепление материала: Найти приближенные значения приращений следующих функций: 2. Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное приращение его площади при увеличении его стороны на 0,01 см. 3. Шар радиуса R = 9 см был нагрет, вследствие чего его объем увеличился на . На сколько (приближенно) удлинился его радиус? 4. Найти приближенные значения следующих функций: 5 . Найти приближенные значения степеней: 6. Найти приближенное значение корней: