Приближенные вычисления при решении задач по физике
методическая разработка по физике (9, 10, 11 класс)

Приближенные вычисления в физике при решении задач

Применение приближенных вычислений в физике имеет не только практическое, но и принципиальное методологическое  значение.  Как известно, в результате любого экспериментального исследования находят не точное значение измеряемой величины, а узкие границы, в которых заключено значение этой величины. Процесс приближения относительной истины  к абсолютной  в физике связан с  сужением указанных границ. Умение возможно точнее оценить эти границы в условиях конкретного физического эксперимента во многих случаях является ключевым вопросом для экспериментального метода исследования. Поскольку в школьном курсе физики важно знакомить учащихся не только с физическими результатами, но и с методами исследования, то использование элементов приближенных вычислений необходимо.

Практическое значение приближенных вычислений состоит в рационализации вычислительной работы учащихся, в том числе на уроках физики. Основу техники вычислений составляют правила и приёмы, изучаемые на уроках математики. Однако нередки случаи нерациональных и даже неверных вычислений, выполняемых учащимися при решении задач и проведении лабораторных работ по физике.

Выяснение характера числовых данных- важный подготовительный этап при решении любой задачи. Приводимые ниже указания могут помочь в распознавании точных и приближенных значений чисел.

К точным значениям относятся:

1. Значения ряда переводных множителей перехода от одних единиц измерения к другим: 1 м = 1000 мм; 1 ч = 3600 с.

Однако, если значение переводного множителя округлено, то оно становится приближенным, например:

1 кал = 4, 1868 Дж (точно)  ≈ 4,2 Дж.

2. Масштабные множители. Если, например, известно, что масштаб равен 1:10000, то числа 1 и 10000 считаются точными.

3.Тарифы и цены, встречающиеся при решении физических задач.

4.Условные значения величин.

Например:

абсолютный нуль температуры        -273,150С,

нормальное атмосферное давление                101325 Па

5.Коэффициенты и показатели степени, встречающиеся в физических и математических формулах:

η.=.

6.Результаты счёта предметов (но не всегда). Например, количество аккумуляторов в батарее, количество ламп.

7.Заданные значения величин. Например, длины маятников 1 и 4 м в условии задачи.

К приближенным значениям относятся:

1.Большинство значений математических величин, заданных в таблицах.

2.Результаты измерений.

3.Проектные данные, т.к. их задают с некоторыми отклонениями. Например, по стандарту размеры кирпича: длина 250±6 мм; ширина 120±4 мм; толщина 65±3 мм.

4.Результаты счёта предметов.  Могут быть и точными, и приближенными. Достаточным признаком приближенности результатов является  наличие разных ответов при повторных подсчётах.

5.Приближенные значения появляются также при округлении чисел и при различных вычислениях с точными и приближенными значениями чисел.

Учителю физики следует выработать у учащихся правильное представление о приближенном значении числа применительно к материалу курса физики. Учащиеся должна прочно усвоить способы определения характера числового значения физической величины.  В тех случаях, когда все значения величин в задаче являются точными, задачу решают по правилам точных величин.  В тех случаях, когда среди заданных чисел имеются приближенные, задачу решают по правилам приближенных вычислений.

Известны три основных метода приближенных вычислений: метод границ, метод границ погрешностей, метод подсчёта цифр.

В школе изучается два метода приближенных вычислений метод границ и метод подсчёта цифр.

Метод границ.

При этом методе каждое вычисление, связанное с решением задачи, необходимо производить дважды: первый раз для нахождения числа, заведомо меньшего искомого точного результата – нижней границы (НГ), второй раз – числа, заведомо большего искомого – верхней границы (ВГ). В качестве окончательного результата принимают полусумму границ:

Пример. Батарея состоит из трех параллельно соединённых конденсаторов емкостью С1 = 10±1 мкФ, С2 = 2±0,2 мкФ, С3 = 2±0,2 мкФ. Найдите электроемкость батареи С.

Решение:

Т.к. С1 = 10±1 мкФ, то 9˂ С1˂11, т.е. НГ С1 = 9, ВГ С1 = 11.

Аналогично, НГ С2 = НГ С3 = 1,8;   ВГ С2 = ВГ С3 = 2,2.

Для удобства вычислений обычно составляют таблицу:

Граница абсолютной погрешности равна полуразности границ:

Ответ: С = 14±2 мкФ.

Метод границ применим для оценки погрешностей результата при решении задач (если в этом есть необходимость) и при выполнении лабораторных работ.

Метод подсчета цифр.

Во многих случаях достаточно определить число значащих цифр, заслуживающих доверия, без специального вычисления погрешностей, что значительно упрощает ход вычислений.

Метод приближенных вычислений. который позволяет оценить точность результата по количеству цифр в компонентах, носит название метода подсчета цифр.

Применение этого метода основано на том, что количество верных значащих цифр приближенного значения числа определяют относительную погрешность: чем больше значащих верных цифр в числе, тем меньше его относительная погрешность.

Подробнее об этом методе будет сказано при рассмотрении правил подсчёта цифр для отдельных действий.

Правило 1. При сложении и вычитании приближенных значений чисел, в записи которых все цифры верные, оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное данное  с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Электрическая цепь состоит из пяти последовательно соединенных проводников сопротивлением  R1 = 3,865 Ом,  R2 = 4,45 Ом,  R3 = 0,60 Ом, R4 = 2,0 Ом, R5 = 5,9 Ом. Вычислите общее сопротивление проводников.

Решение:

R = 3,865 + 4,45+0,60+2,0+5,9 = 16,815 Ом ≈ 16,8 Ом.

Как видим, точность ответа по количеству десятичных знаков определяется точностью наиболее грубого слагаемого, в нашем случае – 2,0 и 5,9, имеющих только по одному десятичному знаку.

Правило 2. При умножении и делении приближенных значений чисел следует сохранять в результате столько значащих цифр, сколько имеет приближенное данное  с наименьшим числом верных значащих цифр.

Пример. Наблюдатель услышал гром через 5,2 с после того, как увидел молнию. На каком расстоянии от него вспыхнула молния? Скорость звука примите равной 346 м/с.

Решение:

S = 346 м/c ·5,2 c = 1799,2 м ≈ 1800 м.

В числе 346 три значащие цифры, а в числе 5,2 две. Поэтому сохраняем в произведении две значащие цифры. Оба нуля справа в числе 1800 незначащие..

Правило 3. При возведении в квадрат и куб следует сохранять в результате столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет возводимое в степень приближенное значение числа.

Пример. Во сколько раз увеличится количество теплоты, выделяемое в электронагревателе, при увеличении силы тока в 1,5 раза?  в 2,0 раза?  в 4 раза?

Решение:

Т.к. количество теплоты прямо пропорционально квадрату силы тока, то

n1 =  1,52 = 2,25≈2,3 раза;

n2 = 2,02 = 4,0 раза;

n3 = 42 = 16 ≈ 20 раз.

В последнем примере нуль в конце числа – незначащая цифра. Поэтому в данном случае ответ лучше сформулировать так: количество теплоты увеличится приближенно в два десятка раз ( а не в 16 раз как было бы при точном значении 4).

Правило 4. При извлечении квадратного и кубического корня следует брать в результате столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное приближенное значение числа.

Пример.  Во сколько раз увеличится период колебаний маятника, если его длину увеличили в з,2 раза?  в 4,3 раза?  в 8,0 раз?  в 16 раз?

Решение:

Период колебаний маятника пропорционален квадратному корню из длины маятника, поэтому

n1 =   ≈ 1,8 раза;

n2 =   ≈ 2,1 раза;

n3 =    ≈ 2,8 раза;

n4 =    ≈  4,0 раза.

Последний результат требует пояснения. Т.к. число 16 имеет две значащие цифры, то и  должен по правилу иметь две значащие цифры, поэтому  = 4,0, а не 4.

Правило 5. При вычислении промежуточных результатов следует брать одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила 1-4.

Пример. Сколько электрической энергии расходуется в лампе, на цоколе которой написано: «2,5 В, 0,29 А» - за 1,2 мин?

Решение:

W = UIt = 2,5 · 0,29 · 72.

Вычисляя первое произведение по правилам 2 и 4, мы должны сохранить в результате две значащие цифры и третью – запасную: 2,5 · 0,29 = 0,725. Для учета запасную цифру удобно подчеркивать. Тогда

W = 0,725 · 72 = 52,2 ≈ 52 Дж.

В окончательном результате запасную цифру отбрасываем (по правилу округления).

Что же дает применение запасной цифры? легко проверить, что в этой задаче мы без запасной цифры получили бы несколько иной ответ – 53 Дж, который является менее точным. Таким образом, применение правила запасной цифры, едва заметно усложняя вычисления, часто уменьшает погрешность окончательного результата.

Правило запасной цифры применяют и в тех случаях, когда над приближенными значениями чисел выполняются действия разной ступени.

Правило 6. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях и2 и 3 ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлять, сохраняя лишь одну лишнюю цифру.

Пример. Плотность ртути при температуре 00С равна 13,5955 г/см3. Определите массу ртути объемом 25 см3.

Решение:

m = 13,5955 г/см3 · 25 см3 .

В соответствии с правилом 6 сохраняем в первом множителе три значащие цифры. Тогда

m  ≈ 13,6 г/см3 · 25 см3 = 340 г = 0,34 кг.

Вычисление без применения этого правила более сложно, но дает тот же результат:

m = 13,5955 г/см3 · 25 см3 = 339,8875 г ≈ 340 г ≈ 0,34 кг.

Если округлить более точное число без лишней цифры, результат будет менее точным:

m ≈ 14 г/см3 · 25 см3 = 350 г = 0,35 кг.

Правило предварительного округления применяют, в частности, тогда, когда используют данные из справочных таблиц.

Правило 7. Если окончательный результат надо получить с некоторой наперед заданной точностью, то в этих данных следует брать по стольку цифр, сколько нужно для получения результата с одной лишней цифрой. В окончательном результате эта лишняя цифра отбрасывается.

Другими словами, чтобы при сложении и вычитании приближенных значений чисел получить результат с точностью до единицы некоторого разряда, нужно компоненты этих действий взять с точностью на один разряд большей.

Пример.  Электрический двигатель с полезной мощностью 0,204 кВт вращает лопатки в сосуде, вмещающем 4,45 л воды. Из-за трения лопаток о жидкость вода нагревается. На сколько градусов повысится температура воды за 5 мин (с точностью до секунды)? Считайте сосуд теплоизолированным.

Решение:

Обозначив через ΔТ приращение температуры за время t =  5 мин = 300 с, имеем:

 ,

где мощность двигателя  N = 0,204 кВт = 204 Вт, масса воды  m = 4,50 кг, а удельная теплоемкость воды с = 4,19 · 103 Дж/(кг·К).

Тогда

Применяя правило 2 для умножения, а также правило запасной цифры, получим:

 ,

В окончательном результате запасную цифру отбрасываем:  ΔТ ≈ 3,250С.

Применение правил приближенных вычислений в условиях школы чрезвычайно важно и по другим, чисто психологическим соображениям. Известно, что учащиеся в громоздких вычислениях допускают много ошибок и неохотно занимаются вычислительной работой. Дело усложняется ещё и тем, что отсутствие критериев для оценки точности результата вычислений либо способствует неразумной погоне за каждым лишним десятичным знаком в ответе, либо вынуждает к произвольным округлениям. В обоих случаях возникает неуверенность в правильности полученного результата. Таким образом, повышение культуры приближенных вычислений учащихся имеет не только учебное, но и воспитательное значение.