Задачи к элективному курсу "Математическая логика"
учебно-методический материал по математике (8 класс)

Задачи к элективному курсу «Математическая логика»

Введение в комбинаторику.

Задачи:

1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
2. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
3. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
4. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него? Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.
5. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?
6. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?
7. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг Р5 = 5! = 120

Задачи к уроку:

1.Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

2.В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?  

3.На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

4.Секретный замок состоит из 4 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?

Задание  1 (для самостоятельной работы)

1.В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

2. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

3. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Сочетания

Решить задачи, используя формулу сочетаний

1.В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

2.В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

3.В классе 30  человек  сколькими способами могут быть выбраны  староста и казначей?

4.Сколькими способами можно делегировать троих студентов на межвузовскую конференцию из 9 членов научного общества?

Задание 2 (для самостоятельной работы)

1.Пятеро друзей сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

2.В меню столовой предложено на выбор 2 первых блюда, 6 вторых и 4 третьих блюда. Сколько различных вариантов обеда, состоящего из первого, второго и третьего блюда, можно составить?  

3.На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?

Размещения:

Задачи на размещения.

Сколькими способами могут быть заняты пер¬вое, второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек?

Это задача о выборе трех элементов из 5 или 6 с учетом порядка выбора.

1)По правилу произведения 5 • 4 • 3 = 60 способов.

2)По правилу произведения   = 120 способов. Если учащиеся знают формулу для числа размещений, то получаем соответственно:

A  

А

Ответ: 1) 60 способов; 2) 120 способов

1.Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

2.На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

3.В круговой диаграмме круг разбит на 5 секторов. Секторы решили закрасить разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. Сколькими способами это можно сделать?

4.Сколькими способами 6 студентов, сдающих экзамен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноместных столов?

Задание 3 (для самостоятельной работы)

1. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одному человеку на место) на соревнованиях, в которых участвуют 5 человек?
2. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
3. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

Задачи на графы:

Решить задачу

1.  Метро города N сразу после открытия было устроено так: его линии связывают станции Вирусняки  — Карантиново,  Дистантная — Самоизоляционная, Карантиново — Ковидово, Ковидово — Вирусняки, Масочная — Карантиново, Масочная — Вирусняки, Чихаево — Дистантная и Перчатники — Чихаево.             Построить схему станций метро. 1.        Сколько всего станций метро? 2.        Сколько групп станций, связанных между собой, т.е. в каждой из которых можно добраться от каждой станции до любой другой? 3.        Можно ли добраться на метро от Масочной до Перчатников?

Задача  2. После перестройки у метро города N было 9 станций. Из 4 станций выходило 3 перегона, из остальных — по 4 перегона. Сколько всего перегонов тогда было в метро города N?   Построить чертёж, привести решение с пояснениями.

Задача 3.  Между планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по маршрутам Земля — Меркурий, Плутон — Венера, Земля — Плутон, Плутон — Меркурий, Меркурий — Венера, Уран — Нептун, Нептун — Сатурн, Сатурн — Юпитер, Юпитер — Марс, Марс — Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

4.На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Е?
     

5. На рисунке — схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении, указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А в город Ж?

6.Пятеро ученых, участвовавших в научной конференции,  обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Для решения задачи составить граф. Как связаны количество ребер и вершин? Какой всегда будет сумма степеней всех вершин графа? (Сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер, поэтому сумма степеней графа всегда четна)

7.В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?
Подсказка: попытайтесь посчитать количество телефонных проводов.

Задачи по теме: «Множество»

1. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги - Гермиона, то 11 - 4 - 2 = 5 - книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.  Ученик класса - либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика - блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 - 1 = 11 (учеников) - девочек блондинок,

2) 12 - 1 = 11 (учеников) - блондины и любят математику,

3) 6 - 1 = 5 (учеников) - девочек, которые любят математику,

4) 20 - 11 - 1 - 5 = 3 (ученика) - девочки,

5) 24 - 11 - 1 - 11 = 1 (ученик) - блондин,

6) 17- 5 - 1 - 11 = 0 (учеников) - любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) - всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

3.  Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 - 3 = 7 (ребят) - посещают драмкружок и хор,

2) 6 - 3 = 3 (ребят) - поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 - 3 = 5 (ребят) - занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 - 7 - 3 - 5 = 12 (ребят) - посещают драмкружок,

5) 32 - 7 3 - 3 = 19 (ребят) - поют в хоре,

6) 22 - 5 - 3 - 3 = 11 (ребят) - увлекаются спортом,

7) 70 - (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) - не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 - фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 - черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 - яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 - умных и 9 - добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 - в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

  Задачи на вероятность

1.На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 2 с мясом, 16 с капустой и 2 с вишней. Рома наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.

2.В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 4 чёрных, 3 жёлтых

и 8 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся

ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

3.У бабушки 10 чашек: 3 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того,

что это будет чашка с синими цветами.

4.На экзамене 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Разбор задач на вероятность:

1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать  вторую и третью игры.

1/8 = 0,125

2.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

 .

3. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО)  =  0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128  =  0,392.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B)  =  0,35 + 0,35 − 0,2  =  0,5.

Задачи к уроку:

1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор»,  «Мотор» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать  вторую и третью игры.

2.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3.  На столе лежат 10 револьверов,  из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

3.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

4.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,35. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.