УМК по математике
учебно-методический материал по математике

Введение

Математика - это наука, изучающая пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. В то же время математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также элементом общей культуры. Поэтому основной задачей курса математики в образовательных  заведениях  среднего профессионального образования является обеспечение  обучающихся математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин.

Теоретический материал,  который содержится в каждом методическом пособии,  призван систематизировать и обобщить имеющиеся у учащихся знания по уже изученной теме. Разобранные и решённые типовые примеры позволяют учащимся вспомнить  основные приёмы и методы решения того или иного примера, сформировать алгоритм действий при выполнении заданий.

Предусмотренная индивидуальность (30 вариантов) контрольной работы помогает  определить полноту и прочность знаний каждого учащегося, умения применять полученные знания при решении практических задач, а также навыков самостоятельной работы с учебной литературой, и что немаловажно, позволяют учитывать темп работы каждого  учащегося.

Каждая контрольная работа состоит из нескольких заданий, (каждое задание может содержать в себе несколько примеров). Задания для выполнения индивидуальных домашних  контрольных работ отвечают следующим требованиям:  - охватывают основные вопросы материала (по разделам и темам); - степень сложности всех вариантов заданий одинакова;

Новизна   предлагаемого учебно-методического пособия  обусловлена тем, что  имеющаяся в продаже литература, а также информационные ресурсы в сети Internet, не предлагают комплектности и системности таких разработок как по объёму , так и по содержанию.

Общие методические рекомендации при изучении  темы

Изучение материала по учебнику

При самостоятельном изучении материала полезно вести конспект. В конспект по мере проработки материала рекомендуется вписывать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п. Поля конспектов могут послужить для выделения тех вопросов, на которые необходимо получить письменную или устную консультации. Ведение конспекта должно быть аккуратным, расположение текста хорошо продуманным. Конспект поможет в подготовке к выполнению контрольной работы.

Решение задач

Чтение учебника должно сопровождаться разбором предлагаемых решений задач. Каждый этап решения задачи должен быть обоснован, исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления

располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа π и других математических констант.

Консультации

При изучении теоретического материала или при решении задач у обучаюшегося могут возникнуть вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается. В такой ситуации следует обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации, при этом следует указать характер затруднения, привести план решения.

Контрольная работа

В процессе изучения темы обучающийся должен выполнить одну контрольную работу, которая проходит рецензирование. По полученным результатам обучающийся может сделать выводы о степени усвоения им темы, внести коррективы в процесс последующей самостоятельной работы по изучению следующей темы.

К выполнению контрольной работы следует приступать после тщательного разбора имеющихся в учебно-методическом комплексе  задач решений с ответами.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно, так как в противном случае рецензирование работы как диалог общения преподавателя – обучающегося с целью оказания последнему методической помощи не достигнет цели.

Содержание учебно – методического пособия

Тема 1: Показательная функция

Тема 2: Логарифмическая функция;

Тема 3: Степенная функция;

Тема 4: Тригонометрические функции;

Тема 5: Тригонометрические уравнения;

Тема 6: Вычисление производной функции;

Тема 7: Применение производной функции;

Тема 8: Первообразная функции  и интеграл;

Тема 9: Элементы теории  вероятностей, комбинаторики и математической статистики;

Содержание темы «Показательная функция»

Степень с действительным и рациональным показателем:

Степень с действительным и рациональным показателем. Арифметический корень натуральной степени.

Показательная функция, ее свойства и  график

Определение и график показательной функции, три основных свойства показательной функции

Показательные уравнения:

Определение и вид показательных уравнений, алгоритм решения показательных уравнений.

Показательные неравенства:

Определение и вид показательных неравенств, алгоритм решения показательных неравенств.

1. Основные сведения из теории

1. Основные свойства степени:

Определение:

          ах = а · а · а · ··· · а ,     где ах –степень,

                                                           а – основание степени

                             х раз                           n – показатель степени

1. а0 = 1 , а ≠ 0
2. а-n = , а ≠ 0

1.2. Показательная функция, её свойства и график

Определение: Функцию у=ах, где а>0, а≠1, называют показательной функцией.

Свойство 1: Область определения показательной функции у=ах – множество R всех действительных чисел.

Свойство 2: Множество значений показательной функции у=ах – множество положительных чисел.

Свойство 3: Показательная функция у=ах является возрастающей, если а>1, и убывающей, если 0<а<1.

1.3 Решение показательных уравнений

Определение: Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

       Теорема: Если ах=ав, где а>0, а≠1, то х = в

1.4 Решение показательных неравенств

Определение: Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

       Теорема: Если ах>ав, где, а≠1, то

1. Если а>0, то х > в, то есть знак сохраняется
2. Если а<0, то   х < в, то есть знак меняется

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Упростить выражение:

1)

2)

Пример 2:  Решить показательное уравнение:

4х-8=64

Решение:

4х-8=43

х-8=3

х=3+8

х=11

Ответ :х=11

Пример 3:  Решить показательное уравнение:

3х+2+3х=90

Решение:

3х·32+3х=90                      t=9

Пусть 3х=t,t>0                 3х=9

t·32+t=90                          3х=32

9t+t=90                             х=2

10t=90                              Ответ: х=2

t=

t=9

 Пример 4: Решить показательное уравнение:

2х-1+2х=6

Решение:

+2х=6

Пусть 2х=t,t>0                  t=

+t=6                              t=4

+t=6                               2х=4

                     2х=22

1t+2t=12                           х=2

3t=12                                         Ответ: х=2

Пример 5 : Решить показательное уравнение:

3х+1-4·3х-2=69

Решение:

3х·31-4·=69

Пусть 3х=t,t>0                             t=

t·31-4·=69                                t=27

3t-=69                                      3х=27

                           3х=33

27t-4t=621                                   х=3

23t=621                                      Ответ: х=3

Пример 6: Решить показательное уравнение:

                                                         9х +8·3х –9 = 0

Решение:

(32)х+8·3х –9 = 0

(3х)2+8·3х –9 = 0

Пусть 3х =t, t > 0

t2 +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t1,2= =

t1=      t2=     

t1= 1             t2= -9, не уд., так как t>0

3х = 1          

                                       3х =30

                                       х=0

                                                           Ответ: х=0

Пример 7: Решить показательное неравенство:

23х-5>16

Решение:

                                           23х-5>24, т.к. 2>1, то знак сохраняем

3х-5>4

3х>4+5

3х>9

х>

                   х>3, Ответ: х>3

Пример 8: Решить показательное неравенство:

3х+2+3х-1<28

Решение:

3х·32+<28

Пусть 3х=t,t>0                             t<

t·32+<28                                   t<3

9t+<28                                      3х<3

                           3х<31, т.к.3>1,                      то знак сохраняем

27t+t<84                                    х<1

28t<84                                      Ответ: х<1

Варианты контрольной работы

Задание 1: Упростить выражения

Вариант 1: 

Вариант 2: 

 Вариант 3: 

Вариант 4: 

Вариант 5:

Вариант 6: 

Вариант 7: 

Вариант 8: 

Вариант 9: 

Вариант 10: 

Вариант 11:  

Вариант 12: 

Вариант 13:   

Вариант14: 

Вариант 15:

Вариант 16: 

Вариант 17: 

Вариант 18: 

 Вариант1 9: 

 Вариант 20: 

 Вариант 21:  

 Вариант 22:   

 Вариант 23:   

 Вариант 24: 

 Вариант 25:

 Вариант 26: 

 Вариант 27: 

 Вариант 28: 

 Вариант 29: 

 Вариант 30: 

Задание 2:  Решить показательное уравнение

Вариант 1:

Вариант 2: 

Вариант 3: 

Вариант 4: 

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7: 

Вариант 8:

Вариант 9: 

Вариант 11:  

Вариант 12: 

Вариант 13:   

Вариант14: 

Вариант 15:

Вариант 16: 

Вариант 17: 

Вариант 18: 

Вариант1 9: 

Вариант 20: 

Вариант 21:

Вариант 22:   

Вариант 23:   

Вариант 24: 

Вариант 25:

Вариант 26: 

Вариант 27: 

Вариант 28: 

Вариант 29: 

Вариант 30: 

Задание 3: Решить показательное неравенство

Вариант 1:8-2х< 64

Вариант 2: 31-х<

 Вариант 3:  22х+1>8

Вариант 4: ()х+1<

Вариант 5: 42х+1>4

Вариант 6: 2х+4-2х>120

Вариант 7: ()4+6х<3х-3

Вариант 8: 8·2х-1- 2х>48

Вариант 9: 102+х< 100000

Вариант 10: 2х+1+2х-1<5

Вариант 11:  4· 3х-1+ 3х+1>117

Вариант 12: 5х+4< 625

Вариант 13:   3х+2+3х810

Вариант14:  9· 3х-1+ 3х<36

Вариант 15: 10х+1< 1000000

Вариант 16: ()6-3х>2х-1

Вариант 17: (6)х-1>36х-1

 Вариант 18: 7х-3< 49х

 Вариант1 9: 103х-1>1000

 Вариант 20: 2х-1< 16х+2

 Вариант 21: 2·5х+2-10·5х< 8

 Вариант 22:   52-х< 25

 Вариант 23:   51-3х<

 Вариант 24: 21-х>32х 

 Вариант 25: ()4-2х<х+1

 Вариант 26: 7х+1>49х

 Вариант 27: 3х-2· 3х-2>7

 Вариант 28: 4х-3· 4х-2<13

 Вариант 29: 32-х< 27

 Вариант 30: 102х+1<

Содержание темы «Логарифмическая функция»

Определение логарифма, свойства логарифмов

Определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Обозначение десятичного и натурального логарифма;

ознакомиться с таблицей Брадиса. Десятичные и натуральные логарифмы  .

Логарифмическая функция и ее график

Вид логарифмической функции, её основные свойства. Построение  графика логарифмической функции с данным основанием.

Логарифмические уравнения

Виды логарифмических уравнений, основные приёмы решения

логарифмических уравнений

Логарифмические неравенства

Виды  логарифмических неравенств, основные приёмы решения

логарифмических неравенств

2. Основные сведения из теории

2. Основные свойства логарифма

Определение: Логарифмом числа х по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число х.

Определение: Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Обозначение: logах (логарифм числа х по основанию а)

а -  основание логарифма

logах=в, то х=ав

Основные свойства:

1. logаа =1
2.  logа1=0
3. а logах=х (х>0,a>0, а≠1, основное логарифмическое тождество)

Теорема: Пусть а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0, р- любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

4. logах1+ logах2= logа(х1·х2)
5. logах1-logах2= logа()
6. logахр=р·logах

2.2. Логарифмическая  функция,

её свойства и график

Определение: Функцию у= logах, где а>0, а≠1, называют логарифмической  функцией.

Свойство 1: Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Свойство 2: Множество значений логарифмической функции – множество всех R действительных чисел.

Свойство 3: Логарифмическая функция является возрастающей, если а>1, и убывающей если 0

2.3 Решение логарифмических уравнений

Теорема: Пусть а>0, а≠1. Пусть дана функция у =f(х) и действительное число b. Тогда уравнение logа f(х)=b и уравнение f(х)=аb равносильны.

2.4 Решение логарифмических неравенств

Теорема: Пусть а>0, а≠1, х1>0, х2>0  Если logаf(х)>b, то

1) при а>1 f(х)>ab (знак сохраняем)

2) при 0b (знак меняем)

Алгоритм решения логарифмического неравенства logаf(х)>b:

• Найти О.О.Ф. (область определения функции)

     О.О.Ф.: под логарифмическое выражение строго больше нуля (f(х)>0);

• По основанию логарифма определить сохранность знака;
• Решить непосредственно само логарифмическое неравенство;
• Составить систему из двух неравенств (П.1+П.3)
• Решить данную систему, совместив оба решения на числовой оси.

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Вычислить

1. log232=5, т.к. 25=32
2. log2=-5, т.к. 2-5=
3. log618+ log62= log6(18·2)= log636=2
4. log1248- log124= log1212= 1

Пример 2:  Решить логарифмическое уравнение:

log6(3х+15)=2

Решение:

3х+15=62

3х+15=36

3х=36-15

3х=21                          

 х=                           

 х=7                               Ответ:х=7

Пример 3:  Решить логарифмическое  уравнение:

log3(х2-6х+17)=2

Решение:

х2-6х+17=32

х2-6х+17=9

х2-6х+17-9=0

х2-6х+8=0

а=1, b=-6, с=8

х1,2= ==

х1=      х2=           

 Ответ: х1=4, х2=2

 Пример 4: Решить логарифмическое уравнение:

(log2х)2+8 log2х-9=0

решение:

Пусть log2х =t

t2 +8· t –9 =0

а=1, b=8, с=-9

t1,2= =

t1=      t2= 

                                     t1=1                           t2=-9

                                     log2х =1                    log2х =-9

                                     х1=21                         х2=2-9

                                     х1=2                          х2=

                                                                     х2=     

 Ответ: х1=2, х1=

Пример 5 : Решить логарифмическое уравнение:

log2(х-5) +log2(х+2)=3

Решение:

log2(х-5)·(х+2)=3

(х-5)·(х+2)=23

х2+2х-5х-10=8

х2+2х-5х-10-8=0

х2-3х-18=0

а=1, b=-3, с=-18

х1,2= =

х1=      х2=

Примечание: В уравнениях данного вида необходимо выполнить проверку.

Проверка:

1) х1=6

log2(6-5) +log2(6+2)= log21 +log28=0=3=3

3=3

2) х2=-3-неуд

log2(-3-5) +log2(-3+2)= log2(-8) +log2(-1) ( формула logах1+ logах2= logа(х1·х2)

справедлива при а>0, а≠1, х>0, х1>0, х2>0)

корень х2=-3 является посторонним.

Ответ: х=6

Пример 6: Решить логарифмическое  неравенство:

log2(3х-4)>5

Решение:

1) О.О.Ф.: 3х-4>0        2) т.к.2>1, то знак сохраняем  3)  х>

3х>0+4           3х-4>25                                      х>12

3х>4               3х-4>32

х>                3х>32+4            

х>               3х>36    

                        х>                                 

                        х>12

Ответ: х>12

Варианты контрольной работы

Задание 1: Вычислить

Вариант 1: log312+log34,5-log36

Вариант 2: Log524-log5120-log55

 Вариант 3:  7log721

Вариант 4: 4log23

Вариант 5: Log2216·log525-3log24

Вариант 6: 3log32 ·log55+3log416

Вариант 7: log312+log34,5-log36

Вариант 8: Log1/525·log1664

Вариант 9: Log62+log63+2log24

Вариант 10: Log212-log23+3log38

Вариант 11:  Log77-log724+log724

Вариант 12: Log39+log21/8: 7log74

Вариант 13:   Log39·log41/2+log66

Вариант14:  25log53

Вариант 15: 15log159 : 10log104

Вариант 16: Log381·log1664

Вариант 17: Log77-log724+log724

Вариант 18: Log525-log1664

 Вариант1 9: Log39·log416+log55

 Вариант 20: Log1/33+log1/33-log1/33

 Вариант 21: Log525+log53-log53

 Вариант 22:   15log159 : 10log104

 Вариант 23:   Log1/51/25·log1664

 Вариант 24:  Log381·log279

 Вариант 25: Log62+log63

 Вариант 26: Log212-log23

 Вариант 27: Log78-log756

 Вариант 28: Log1/39+log21/8: 7log72

 Вариант 29: Log21/16+log28: 9log35

 Вариант 30: Log3636+log63+log62

Задание 2:  Решить логарифмическое  уравнение

Вариант 1:

Вариант 2: 

Вариант 3: 

Вариант 4: 

Вариант 5:

Вариант 6:

Вариант 7: 

Вариант 8:

Вариант 9: 

Вариант 11:  

Вариант 12: 

Вариант 13:   

Вариант14: 

Вариант 15:

Вариант 16: 

Вариант 17: 

Вариант 18: 

Вариант1 9: 

Вариант 20: 

Вариант 21:

Вариант 22:   

Вариант 23:   

Вариант 24: 

Вариант 25:

Вариант 26: 

Вариант 27: 

Вариант 28: 

Вариант 29: 

Вариант 30: 

Задание 3: Решить логарифмическое  неравенство

Вариант 1: Log7(2x-1)< 2

Вариант 2: Log100,5x<-2

 Вариант 3:  Log2(x-4) >1

Вариант 4: Log1/3(2x-7) >-2

Вариант 5: Log4(3-2x)< 2

Вариант 6: Log2(2x-3)< 3

Вариант 7: Log2(2x+3) >2

Вариант 8: Log5(x-1) >1

Вариант 9: Log3(2x-1)< 3

Вариант 10: Log10x >2

Вариант 11:  Log102x< 1

Вариант 12: Log5(1-3x)< 2

Вариант 13:   Log2(1-2x) >0

Вариант14:  Log1/3(2x-1) >-2

Вариант 15: Log10(3-2x)< 2

Вариант 16: Log6(5x-2) >2

Вариант 17: Log1/2(2x+1) >-2

 Вариант 18: Log3(5x-6)< 2

 Вариант1 9: Log7(x-1)< 2

 Вариант 20: Log1/2(2-x) >-1

 Вариант 21: 2 Log4(7-x)< 3

 Вариант 22:   Log3(4-3x) >1

 Вариант 23:   Log2(1-2x)< 0

 Вариант 24: Log2(2x+1) >4

 Вариант 25: Log5(3x+1)< 2

 Вариант 26: Log5(4x+1) >-1

 Вариант 27: Log1/5(2x+3) >-3

 Вариант 28: Log1/22x >2

 Вариант 29: Log3(5x+4) >3

 Вариант 30: Log10(2x+1)< 0

Содержание темы «Степенная  функция»

Определение  и свойства степенной функции.

Свойства и графики различных случаев степенной функции. Сравнение чисел, решение неравенств с помощью графиков и (или) свойств степенной функции.

Иррациональные  уравнения.

Определение равносильных уравнений, следствия уравнения; при каких преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение, при каких получаются посторонние корни, при каких происходит потеря корней; Определение иррационального уравнения;

Иррациональные неравенства.

Определение иррационального неравенства; алгоритм решения этого неравенства

Решение  систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Алгоритмы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.

3. Основные сведения из теории

3. Определение и свойства степенной функции

Определение: Функцию у=хр, где р - заданное действительное число, называют степенной  функцией.

Свойство 1: Степенная функция у=хр для любого рR определена при х>0

Свойство 2: Множество значений степенной функции у=хр при х>0, р≠0 – все положительные числа

Свойство 3: Степенная  функция у=хр на интервале х>0 является возрастающей, если р>0, и убывающей, если р<0.

3.2. Решение иррациональных уравнений

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком корня.

Правило: Для решения иррационального уравнения 2 степени необходимо возвести в квадрат обе части уравнения. В заключении необходимо выполнить проверку.

3.3. Формулы сокращенного умножения

квадрат суммы:                    ( а + в )² = а² + 2ав + в²

квадрат разности:                ( а - в )² = а² - 2ав + в²

разность квадратов:            а² -  в² = ( а - в )( а + в)

куб суммы:                          ( а + в )³ = а³ + 3а² в  + 3ав² + в³

куб разности:                      ( а - в )³ = а³ - 3а² в  + 3ав² - в³

разность кубов:                  а³ -  в³ = ( а – в)( а² + ав + в² )

сумма кубов:                      а³ +  в³ = ( а + в)( а² - ав + в² )

3.4. решение систем уравнений с двумя неизвестными

Правило: Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными, необходимо  из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы. Ответ записывается в виде (х;у).

2. Примеры и упражнения

Пример 1: Решить иррациональное уравнение

Решение:            

5х+4=9

5х=9-4

5х=5

х=1

Проверка:

3=3

Ответ: х=1

Пример 2:  Решить иррациональное уравнение

Решение:              

х+4=3х-6  

х-3х=-6-4  

-2х=-10  

х=5                            

Проверка:

а)

б)

3=3

Ответ: х=5

Пример 4: Решить иррациональное уравнение

Решение:

2х2-6х+12=х2+5х-6

2х2-6х+12-х2-5х+6=0

х2-11х+18=0

    а=1, b=-11, с=18

х1,2= ==

х1=      х2= 

Проверка:

1. х1=9

2. х2=2

Ответ: х1=9, х2=2

Пример 5: Решить иррациональное уравнение

Решение:

3х2-2х+1=2х2-6х+13

3х2-2х+1-2х2+6х-13=0

х2+4х-12=0

    а=1, b=4, с=-12

х1,2= ==

х1=      х2= 

Проверка:

3. х1=2

4. х2=-6

Ответ: х1=2, х2=-6

Пример 6: Решить иррациональное уравнение

х-6 =

Решение:

(х-6)2 =()2

(х)2-2·х·6+62=2х+12

х2-12х+36=2х+12

х2-12х+36-2х-12=0

х2-14х+24=0

а=1, b=-14, с=24

х1,2= == 

х1=                х2=

Проверка:1) х1=12                                        

   12-6=6                                            

  6       

   6=6                                                

2) х2=2- не уд

2-6 =-4

4

-4≠4

Ответ: х=12

Пример 7: Решить иррациональное уравнение

Решение:

                                  а=6, b=-7, с=2

х1,2= = 

х1=                х2=

Проверка:

1. х1=

2) х2=- не уд

( по определению , а≥0 )

Ответ: х=

Пример 3: Решить иррациональное уравнение

Решение:                              

х2+4х-8=х2

х2+4х-8-х2=0

4х-8=0

4х=0+8

4х=8

х=2

Проверка:

х=2

                                                                           2=2                            Ответ: х=2

Пример 8: Решить систему уравнений:

                                                     х+у=5

х·у=6

Решение:

                                             х+у=5                              х·у=6

Выразим х через у и    подставим во 2 уравнение:      

    х=5-у,                                                             (5-у)·у=6

                                                 5у-у2 –6=0

                                               -у2+5у-6=0 : (-1)

                                                                            у2-5у+6=0

                                               а=1,b=-5, с=6

у1,2= -== 

у1=                у2=

                                у1=3                                у2=2

                                х1=5-у=5-3=2                  х2= 5-у =5-2=3

Ответ: (2;3), (3;2)

Пример 9: Решить систему уравнений:

х2-у2=200

х+у=20

Решение:

(х-у)·(х+у)=200

х+у=20            (разделим первое уравнение системы на второе уравнение)

 ,

получим: х-у=10

х=10+у, (подставим во второе уравнение системы)

(10+у)+у=20

2у=20-10

2у=10

у=5,

х=10+у=10+5=15

Ответ: (15;5)

Пример10 : Решить систему уравнений:

х+х·у+у=-1

х-х·у+у=3

Решение:

Сложим первое и второе уравнение системы:

 (х+х·у+у)+( х+х·у+у)=-1+3

х+у+х+у=2

2х+2у=2

2(х+у)=2

х+у=1,

 х=1-у

Подставим выражение для х в первое уравнение системы:

(1-у)+(1-у)·у+у=-1

1-у+у-у2+у=-1

-у2+у+1+1=0

-у2+у+2=0

у2-у-2=0

а=1,b=-1, с=-2

у1,2= == 

у1=                у2=

                                у1=2                                   у2=-1

                                х1=1-у=1-2=-1                  х2= 1-у =1-(-1)=2

Ответ: (-1;2), (2;-1)

Варианты контрольной работы

Задание 1: Решить иррациональное уравнение

Вариант 1: 

Вариант 2: 

 Вариант 3: 

Вариант 4: 

Вариант 5:

Вариант 6: 

Вариант 7: 

Вариант 8: 

Вариант 9: 

Вариант 10: 

Вариант 11:  

1.        2)

3) 

Вариант 12: 

Вариант 13:   

Вариант14: 

Вариант 15:

Вариант 16:

Вариант 17: 

1.    2)

3) 

Вариант 18: 

Вариант19: 

 Вариант 20: 

 Вариант 21:

 Вариант 22:   

 Вариант 23:   

1.    2)

3) 

 Вариант 24: 

1.      2)

3) 

 Вариант 25:

1.       2)

3) 

 Вариант 26: 

1.            2)

3) 

 Вариант 27: 

1.        2)

3) 

 Вариант 28: 

1.          2)

3) 

 Вариант 29: 

1.        2)

3) 

 Вариант 30: 

Задание 2: Решить систему уравнений