План урока на тему Теория вероятности
план-конспект урока по математике (6 класс)

Технология проведения

Деятельность

ученика

Деятельность

учителя

Обучающие, развивающие и диагностирующие задания каждого этапа

Организационный этап

Настраиваются на работу

Настраивает учащихся на работу

Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь.

Подготовительный этап

Актуализируют знания перед изучением новой темы

Рассказывает о событиях в обычной жизни и подводит к тому, как данный раздел называется в математике

Вечные истины. Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Случайные события. Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

Случай тоже имеет свои законы. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики. Который называется «теория вероятностей».  

Мотивационный этап

Пробуют ответить на вопросы

Создаёт ситуацию затруднения решения задачи без знания нового материала

Сегодня на уроке отсутствует один из учащихся в связи с болезнь. А как вы думаете, ли при помощи математики прочитать придет ли ученик на занятие или нет?

Или, например, сегодня утром я решила позвонить на метеостанцию, чтобы выяснить температуру, но не смогла вспомнить последовательность трех последних цифр. Помня лишь, что это цифры 3, 7 и 9, я набрала первые две цифры, которые я знала и наугад комбинацию из цифр 3,7,9. Какова вероятность того, что я набрала верный номер?

На такие вопросы нам и ответит данный раздел математики.

Ориентировочный этап

Изучение нового материала

Представление нового материала

Как вы уже поняли, теория вероятностей изучает случайные события. Так что же такое событие с точки зрения математики. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:

• Да, оно произошло.
• Нет, оно не произошло. Запишем:

Событие – это результат испытания.

Например, возьмем урну и в нее поместим шары различных цветов. Кто хочет извлечь из урны один шар (подхожу к 4-5 ученикам)? Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

Из нашего опыта делаем вывод, что мы не можем с точностью определить шар какого цвета, мы вытянем из урны, не зная количество шаров разных

цветов.

Кто может привести пример испытание и указать в нем событие (ответы учащихся).

В жизни мы сталкиваемся с различными событиями – хорошими или плохими. Так и в теории вероятностей существуют различные виды событий.

Запишем подзаголовок: «Виды событий».

И запишем первый вид событий:

1. Случайные события.

В жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что некоторое событие может произойти, а может и не произойти. Такие события в теории вероятности называют случайными.

Например: Книга откроется на 15 странице, при бросании игральной кости выпадет 6 очков.

У: У вас на партах лежит игральная кость, давайте бросим ее и посмотрим, какое количество очков у вас выпадет (результаты испытания записываем на доске). Как вы видите, количество очков выпадает непредсказуемо.

Запишем еще два вида событий:

2. Совместные события.
3. Не совместные события.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно - несовместными.

Если подбросить одновременно монету и игральный кубик, то выпадения орла на монете и 4 очков на кубике не мешают друг другу – они совместные.

Рассмотрим еще один пример: у вас на парте так же лежит монета, подкиньте ее. Как вы видите появление орла, исключает появление решки. Как вы уже успели заметить в появлении орла или решки нет преимуществ. Как бы мы не кидали, выпадет либо орел, либо решка.

Давайте запишем следующие виды событий:

4. Равновозможные события.
5. Не равновозможные события.

Равновозможными называются события, когда в их наступлении нет преимуществ. Не равновозможные события те, у которых в наступлении одного из событий есть какое-то  преимущество.

У меня в руках находится монета, у которой на двух сторонах изображена решка и появится орел, при бросании монеты, ни как не может. Таким образом, фокусники и мошенники обманывали в 17 веке простых горожан.

Далее мы будем работать с равновозможными событиями. Равновозможные события бывают:

Равновозможные события бывают:

1. Достоверными.

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным (истинным) событием

2. Невозможными.

Событие, которое не может произойти, называется невозможным (ложным).

Примеры.

Достоверные события:

1. Вы находитесь сейчас на уроке математики.
2. Сегодня на календаре месяц март.

Является ли достоверным событием что, вы сегодня позавтракали? Нет – это случайное событие.

Ложные события:

1. Ночью взойдет солнце.
2. Вы поедете на зимние олимпийские игры в Сочи. Приведите примеры истинных и ложных событий.

Запишем в тетрадь:

Вероятность истинного события равна 1, а вероятность ложного события равна 0.

Если из корзины с синими и красными шарами вынимаю зеленый шар это ложное событие и его вероятность равна нулю. А если же из корзины со всеми белыми шарами я вынимаю белый шар это истинное и его вероятность равна единице.

1. Введение определения понятия «события». Виды событий

У: Давайте запишем классическое определение вероятности

Определение: Вероятностью события А при проведении некоторого испытания называют отношение числа исходов благоприятных событию N(А), к общему числу всех (равновозможных между собой) исходов этого испытания N.

Запишем формулу: , где: P (A) – вероятность  события А

N (A) – благоприятные исходы события А

N – все исходы

Для решения задач используют алгоритм нахождения вероятности случайного события.

Для нахождения вероятности случайного события А при проведении некоторого испытания следует найти:

1. число N всех возможных исходов данного испытания;
2. количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А; 3)частное ; оно и будет равно вероятности события А. Принято вероятность события А обозначать так: Р(А).

Значит

Пример 1:

В соревновании по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из России, 9 спортсменов из Белоруссии, 7 спортсменов из Грузии и 5 – из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из России?

Решение: Всего спортсменов принимающих участия в соревнования – 25, а спортсменов из России – 4. Исходя из нашего алгоритма, получаем что:

N(A) = 4; N= 25

Ответ: 0,16.

Вероятность события выражается в виде десятичной дроби и в процентах. Нам необходимо выражать вероятность события в виде десятичной дроби.

Для вычисления вероятности часто используют правило умножения.

У вас на партах лежат две игральные кости. Пусть один из вашей пары возьмет две игральные кости и подкинет их. Выпало определенное количество очков, запомните их. Как вы думаете, сколько всего исходов данного события, сколько очков может выпасть на двух игральных костях? Всего таких исходов 6*6 – на первой кости может выпасть шесть различных вариантов и на второй игральной кости тоже шесть.

Для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.

(Работа в парах) Пример 2.

В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков (ответ округлите до сотых).

(Взаимопроверка)

Решение. Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. N = 6 6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие:

1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6

2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6 и т.д. ..............................

6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6

Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8: 2;6 3;5; 4;4 5;3 6;2…. Всего N(A) = 5 вариантов. Найдем вероятность.

Ответ: 0,14.

1. Применение теория вероятности в генетике

У: Теорию вероятности так же очень широко используют в генетики. Давайте посмотрим как же именно это происходит.

Для начала давайте вспомним, а что же такое генетика?

Генетика – это наука о закономерностях наследственности и изменчивости.

Как мы знаем из биологии, элементарной единицей наследственности является ген. Ген - участок молекулы ДНК, содержащий информацию о структуре одного белка.

Так же давайте вспомним еще несколько определений которые нам понадобятся.

Доминантный признак – это признак, подавляющий действие другого признака. Обозначается заглавной буквой: A, B

Рецессивный признак – это подавляемый признак. Обозначается прописной буквой a,b.

Гетерозиготный - гибрид, в чьем генотипе (наборе генов) есть и доминантный, и рецессивный ген некоторого признака. (Aa или Bb)

Гомозиготный - гибрид, обладающий исключительно доминантными или только рецессивными генами, отвечающими за некий признак. (AA или bb)

Так же давайте вспомним закон доминирования, который ввел Мендель.

При скрещивании двух гомозиготных организмов, относящихся к разным чистым линиям и отличающихся друг от друга по одной паре альтернативных признаков, все первое поколение гибридов окажется единообразным и будет нести признак одного из родителей.

Теперь давайте посмотрим на примере задачи, применение теории вероятности.

Задание 1. Наличие пигмента в волосах у человека доминирует над альбинизмом (отсутствие пигмента). Муж и жена гетерозиготны по пигментации волос. Возможно ли рождение у них ребенка альбиноса?

Решение. Вначале делаются обозначения: А - наличие пигмента, а - отсутствие пигмента. В задаче сразу оговорено, что родители гетерозиготны, значит они имеют генотипы Аа х Аа, первый родитель дает гаметы А и а, и второй также дает гаметы А и а, тогда при встрече гамет отца и матери могут появиться дети с генотипами: АА, Аа, Аа, аа. Схема решения задачи следующая:

Р: Аа х Аа

G А,а        А,а

F1        АА, Аа, Аа, аа

Генотип: 1:2:1

Фенотип: 25% / 50% / 25%

Ответ: да, в этой семье может родиться ребенок альбинос с вероятностью 25%.

Задание 2. Голубоглазый (аа) юноша женился на кареглазой девушке, у отца которой глаза были голубые (Аа). Какова вероятность рождения кареглазого ребенка. Какой генотип у ребенка?

(Исходя из решения первой задачи)

Р: Аа х аа

G А,а        а,а

F1        Аа, Аа, аа, аа

Генотип: 1:1

Фенотип: 1:1 50% / 50%

Ответ: Вероятность рождения кареглазого ребенка 50%. Ребенок имеет генотип Аа

Задание 3. Светловолосая женщина, родители которой имели черные волосы, вступает в брак с черноволосым мужчиной, у матери которого волосы светлые, а у отца – черные. Единственный ребенок в этой семье – светлый. Какова вероятность рождения светловолосого ребенка, если известно, что ген черноволосости доминирует? Определите генотип первого и второго поколения. Какой генотип у ребѐнка?

(Исходя из решения первой и второй задач)

Первое поколение:        Первое поколение:

Р: Вв х Вв        Р: вв х ВВ

G В,в        В,в        G в,в        В,В

F1        ВВ, Вв, Вв, вв        F1        Вв, Вв, Вв, Вв

Генотип: 1:2:1        Генотип: единообразие

Фенотип: 3:1 75% / 25% (черные / светлые)Фенотип: единообразие 100%

Второе поколение:

Р: вв х Вв

G в,в        В,в

F1        Вв, Вв, вв, вв Генотип: 1:1

Фенотип: 1:1 50% / 50% (черные / светлые)

Ответ: Вероятность рождения светловолосого ребенка 50%. Первое поколение: ВВ, Вв, вв. Второе поколение: Вв, вв. Генотип ребѐнка: вв.

Первоначально в генетике использовали теорию вероятности для создания новых сортов продовольственных растений, для выведения более стойких сортов.

Этап применения

Применение нового материала к решению задач

Контроль за верным использованием новой темы

Теория вероятности в математике.

Пример 1.

В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение. Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N = 1000.

Событию А = {аккумулятор исправен} благоприятствуют 1000 – 6 = 994 исхода.

Поэтому N(A) = 994.

Тогда  

Ответ: 0,994.

Пример 2.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение

N(A) = 180-8 = 172 сумки качественные; N= 180 всего сумок.

Ответ: 0,96.

Пример 3.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение

Всего вариантов N = 2×2×2=8.

Благоприятных N(A) = 3 варианта: о; о; р , о; р; о , р; о; о . Вероятность равна

Ответ: 0,375.

1. Теория вероятности в генетике (раздел для одаренных).

2. Пример 4.

В семье, где оба родителя кареглазые, родилась голубоглазая девочка. Определите генотипы родителей и ребенка. Какова вероятность рождения в этой семье второго голубоглазого ребенка?

Решение. В этой задаче не оговаривается, какой признак доминантный, а какой – рецессивный.

Это надо установить самим. Если родители имеют одинаковый признак, а рождается ребенок с альтернативным признаком, значит родители были гетерозиготны по доминантному признаку (Аа), а ребенок имеет рецессивный признак (аа). Значит А- кареглазость, а – голубоглазость. Схема задачи выглядит так:

Р: Аа x AaG A,a    A,a

F1 АА, Аа, Аа, аа

Ответ: генотип голубоглазой девочки – аа, вероятность рождения второго голубоглазого ребенка

– 25 %, так как сколько бы голубоглазых детей не рождалось в этой семье, вероятность их появления остается постоянной.

Пример 5.

Ген черной масти у крупнорогатого скота доминирует над геном красной масти. Какое потомство F1 получится от скрещивания чистопородного черного быка с красными коровами? Какое потомство F2 получится от скрещивания между собой гибридов?

Решение

А – ген черной масти,

а – ген красной масти.

Ответ: При скрещивании чистопородного черного быка с красными коровами все потомство будет черного цвета. При скрещивании между собой гибридов F1 в их потомстве (F2) будет наблюдаться расщепление: 3/4 особей будет черного цвета, 1/4 – красного.

Рефлексия

Вспоминают, выявляют и осознают основные тезисы нового материала

Организовывает обсуждение пройденного таким образом, чтобы ученик смог оценить и продемонстрировать, как изменились его знания.

Охарактеризуйте следующие события как достоверные, невозможные, равномерные или случайные:

1.Сегодня воскресный день.

2.Попугай научится говорить

3.Мой день рождения три раза в году

4.Завтра я буду летать

5.Сорванный цветок погибнет.

6.Температура тела опустится до 10 градусов.

7.Осенью снегири улетают на юг.

Закончите предложения:

• Сегодня я узнал(а)…  

• Было интересно…

•  Было трудно…

• Я выполнял(а) задания…

• Я понял(а), что…

• Теперь я могу…

• Я почувствовал(а), что…

• Я приобрёл(а)…

• Я научился(ась)…

• У меня получилось…

• Я смог(ла)…

• Я попробую…

• Меня удивило…

• Урок дал мне для жизни…

• Мне захотелось…

Сегодня вы научились  решать задачи на нахождение вероятности, познакомились с новыми понятиями. В жизни часто приходиться поступать так, чтобы шансы на успех были наибольшими, случайное событие нельзя предугадать, но можно найти его вероятность. Мне бы хотелось, чтобы в незнакомых ситуациях, вы реально оценивали свои шансы и возможности! На уроке были ответственными, трудолюбивыми, внимательными. Спасибо всем за урок!