О гипотезе Пуанкаре
статья по математике

Кудряшова Светлана Борисовна,

учитель математики,

ГБОУ СОШ №382

Красносельского района Санкт-Петербурга.

Гипотеза Пуанкаре.

Каждому из нас приходилось что-либо слышать о знаменитых задачах тысячелетия - о семи наиболее важных математических проблемах, решение которых до сих пор не найдено в течение многих десятилетий. И буквально каждого россиянина распирает гордость за нашего гениального соотечественника Григория Перельмана, сумевшего подобрать ключик к решению знаменитой гипотезы Пуанкаре. Пожалуй, только в этом и заключается вся наша информированность по данному вопросу.
Считается, что простому обывателю достаточно сложно понять суть этих математических задач из-за их чрезвычайной сложности. Попытаемся разобраться: в чем же заключается суть этих математических проблем.

Находясь в большой компании, можно столкнуться с проблемой Кука – проблемой поиска конкретного человека среди большого количества людей. Существует два варианта решения этой проблемы:
1. один из присутствующих знает вашего друга и сразу укажет место его нахождения;
2. никто из гостей его не знает, поэтому придется обойти все помещения для его поиска.
Напрашивается вывод, что иногда решение какой-либо поставленной задачи занимает больше времени, чем проведение проверки верности этого решения.
Вот американский учёный в области теории вычислительных систем Стивен Кук и выразил с помощью математического языка данную проблему, которая с 1971 года считается важнейшей из задач теории алгоритмов, информатики и логики: может ли процесс проверки правильности решения какой-либо задачи, независимо от алгоритма осуществления проверки, длиться дольше, чем время решения этой задачи? Таких задач довольно много, но основной вопрос заключается в следующем: все ли легко и быстро проверяемые задачи можно также легко и быстро решить? В настоящий момент для множества задач не найдено быстрого алгоритма решения, вероятность существования такого алгоритма ставится под сомнение.
Проблема Кука — одна из нерешенных проблем логики и информатики, имеющая значение для различных областей знаний, ее решение коренным образом изменит основы криптографии, используемой для хранения и передачи информации.

Проблема Пуанкаре, которая относится к топологии многообразий — особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Простейший пример двухмерных многообразий — поверхности трехмерных тел: поверхности сферы-шара или поверхности тора-бублика. Если деформировать воздушный шар каким-либо образом (путем скручивания, изгибания, сдувания-надувания), то он будет изменять свою форму в широких пределах, но никогда не превратиться в бублик. И наоборот: бублик-тор не превратится в шар-сферу без нарушения непрерывности его поверхности. С точки зрения топологии сфера-шар негомеоморфна тору-бублику, т.е. эти поверхности невозможно отобразить одну на другую, т.е. они различны по топологическим свойствам. Поверхность воздушного шарика несмотря на деформацию гомеоморфна сфере, а поверхность спасательного круга - гомеоморфна тору. Короче говоря, любая замкнутая двумерная поверхность без сквозных отверстий гомеоморфна сфере (обладает топологическими свойствами двухмерной сферы).
Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в 19 веке). Одним из важнейших свойств двухмерной сферы является то, что любая лежащая на сфере может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Например, для тора это свойство не соблюдается: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли.
В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре высказал предположение: что если петля на замкнутой трехмерной поверхности может стягиваться в точку, то она гомеоморфна трехмерной сфере.
Подобная задача для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом, Джоном Стэллингсом и Эндрю Уоллесом, но их подходы к решению неприменимы к четырехмерным многообразиям.
Для четырехмерных многообразий проблема Пуанкаре была доказана Майклом Фридманом в 1981 году.
Для трехмерных многообразий (самый сложный случай) решение предложил наш соотечественник – математик Григорий Перельман. 
Частный случай гипотезы Пуанкаре можно сформулировать так: любое трехмерное многообразие без края (наша Вселенная) подобно трехмерной сфере, в то время как общий случай переводит это утверждение на объекты любой мерности. Для философского контекста особенно важно отметить, что теорема Пуанкаре-Перельмана содержит идею о том, что две структуры пространства возможны в глобальной Вселенной.
Практическое применение доказательства гипотезы Пуанкаре пока представить сложно, возможно — это более глубокое понимание законов Вселенной, ведь наиболее популярная астрофизическая теория считает Вселенную односвязным трехмерным пространством.
В заключении хотелось бы отметить, что математика является тем механизмом, с помощью которого можно описать наш мир, и в частности - многие наблюдаемые вещи. История не раз подтверждала тот факт, что творения математика переживают столетия лишь тогда, когда он работает без практических применений, для удовлетворения собственного любопытства. Ведь ориентированные на практику исследования очень редко приносят глубокие, фундаментальные результаты. Кто знает, возможно, любая из проблем тысячелетия станет основой теории, которая в очередной раз изменит мир!