"РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ"
учебно-методический материал по математике (11 класс)

Урок № 1.  ВВЕДЕНИЕ 

Тип занятия:

Введение

Вид занятия:

Аудиторное теоретическое занятие

Цели: 

Образовательные:

- сформировать основные представления о предмете;

Воспитательные:

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Задачи:
1. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

План:

I. Организационный момент.

II. Новая тема:
"Введение"
1.Теоретическая часть.

III. Итог.
1. По вопросам.

Ход урока

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок. Сообщение цели и задач.

Теоретическая часть

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

1. Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности.

Что такое математика.

При решении математической задачи человек имеет дело с ограниченным набором объектов, имеющих четкие отношения друг с другом. В жизни же, наоборот, их количество очень велико, а   отношения между ними достаточно размыты.

Первоначально математика брала, например, такие объекты из окружающей действительности, как числа и геометрические фигуры.  В отличие от физики эта точная наука изучает закономерности отношений, не зависящие от физического устройства этого мира. В ней утверждается, что из одних отношений объектов могут быть логически выведены другие отношения между ними.  Начальные свойства и способы логического вывода человек берет из жизни, воспроизводя разные ситуации с реальными объектами или представляя их умозрительно и обращаясь к своему опыту. Далее он использует только специально сформулированные понятия, образы, в том числе рисунки и правила вывода одних утверждений из других. Мышление, оторванное от понятий, доступных органам чувств, можно назвать абстрактным. Преобразование информации по четко определенным законам и без ошибок можно назвать строгим. Выводы, сделанные математикой, будут правильны в жизни, если исходная информация была верна. Другим путем, кроме как с помощью строгого абстрактного математического подхода, в сложных явлениях реального мира, особенно в технике, где много логических связей, зачастую нельзя получить точную информацию.

После четкой формулировки исходных свойств объектов и способа вывода из одних свойств других, процесс вывода можно формализовать, то есть свести к механическим преобразованиям информации. Но, чтобы решать задачи, нужен алгоритм, совершающий эти преобразования наиболее эффективным путем. Математик, в основном, обладает этим  методом наиболее быстрого решения задач, но его алгоритм не формализован и в большой степени  основан на методах и рефлексах, заложенных от природы или выработанных в процессе реальной жизни. Поэтому составление такого алгоритма - задача нетривиальная.

Зачем она нужна:

1.      Для прикладных нужд: техники, физики, химии, биологии, программирования и т.д. Кроме того, одни области математики нужны для других.

2.      Для знания, точного установления фактов, чтобы было меньше неизвестного, неясного и чтобы все могли пользоваться этими знаниями. Для воспитания дисциплины мышления и мыслительных способностей. Строгое и абстрактное мышление, необходимое в реальной действительности, легче развить, занимаясь математикой, так как эта наука уже абстрактна и строга, кроме того, исходная информация математической задачи доступна, ограничена и неизменна в отличие от ситуации в жизни.

3.      Для получения такого же удовлетворения, как от игры или любого интересного дела. Математика привлекательна в этом отношении своей содержательностью, сложностью, строгостью построений, общностью выводов, простотой и неожиданностью результатов.

Как ей заниматься:

1.      Формировать способность удерживать в голове образы, оперировать с ними - находить взаимосвязи, производить изменение этих объектов - добавлять и убирать объекты, менять их положение. То есть в голове создается картинка, которую человек рассматривает, в этом и заключается процесс мышления. Она  может начать расплываться в силу несовершенства внимания человека.

2.      Формировать языки определяемых понятий, слов и словосочетаний их обозначающих; символьные языки - формул и высказываний, язык образов, рисунков, наиболее эффективные для исследуемой области математики. Понятно, что определяемые понятия должны быть строго определены, непротиворечивы, часто применимы к изучаемым объектам, в их терминах формулировка свойств должна упрощаться. Их словесные названия и связывающие словосочетания (например, “пересекающиеся прямые”) должны быть удобны для восприятия смысла. Язык символов позволяет компактно и строго производить громоздкие преобразования на бумаге. При этом меньше нагружается понятийное и образное мышление, используемое при решении задач в уме. На основе выбранных понятий, наработанных методов и доказанных теорем строится язык образов, который позволяет человеку очень быстро в уме оперировать информацией в данной области.

3.      Делать эквивалентные преобразования, приводящие информацию к наиболее простому виду. Это, своего рода,  процесс ее "причесывания" - обобщение, выявление сути, выбрасывание кусков, легко выводимых из остающихся данных. При преобразованиях с потерей информации оставляется самое существенное, важное, с большей вероятностью или с меньшими затратами, ведущее к результату. Полезно запомнить или записать в самом сжатом виде полученные данные, чтобы потом их можно было легко восстановить полностью. Можно также применять классификацию, чтобы сжать информацию и  облегчить ее использование.

4.      Четко фиксировать (на бумаге или в голове) и последовательно прорабатывать все возникающие вопросы и идеи.

5.      Экономить критичные ресурсы, которыми могут быть - время, объем внимания, память, использование не развитых в данном человеке способностей. Для этого можно сначала заниматься наиболее простыми и с большей вероятностью приводящими к результату направлениями.

6.      Использовать вспомогательные предметы, помогающие исследовать математические объекты - например, геометрические фигуры, механические модели, рисунки, записи на бумаге, чтобы разгрузить память и внимание. Можно воспользоваться компьютером  для решения переборных задач,  визуального отображения объектов, возможно, в будущем - для решения любой задачи.

7.      До конца разобраться в каком-то вопросе, добиться полной строгости, чтобы потом на это опираться. На этом шаге ресурсы не экономятся, но это приводит к большой их экономии впоследствии. Часто нельзя решить задачу просто, а нужно до конца  исследовать сложные объекты.

8.      Использовать нечеткие образы для понятий, методов, планов дальнейшего исследования. В них могут быть неопределенные места и они, иногда, с трудом выражаются словами. Тем не менее, с этими образами не так сложно оперировать. По ходу дела они могут конкретизироваться. Мышление такими представлениями дает мощный и быстрый метод исследования.

9.      Создавать новую обширную теорию для изучения какого-то одного вопроса. Она может быть сильно не похожа на исходную задачу.

10.  Создавать систему теорем, способов представлений объектов, методов (алгоритмов) решения задач, теорий, позволяющих быстро решить наиболее широкий круг задач, затрачивая минимальное количество критичных ресурсов.

11.      Сочетать вышеперечисленные методы, зачастую взаимоисключающие друг друга. Например, можно добиваться строгости в мелочах сразу по ходу рассуждений, полного представления в голове взаимосвязи объектов при сложной картине, развивать новые способности, новые методы и области математики, а можно производить длинную цепочку предположений, нечетко определять рассматриваемые ситуации, стараться решить задачу простыми методами,  уходя от сложных операций с помощью того, что уже есть. Эти методы человек чередует в оптимальной для него последовательности. Если мышление расплывается, не удается давать четкие доказательства, то можно придумать цепочку простых задач с возрастающей сложностью и последовательно, до конца, в них разобраться.

2. Цели и задачи изучения математики в учреждениях начального и среднего профессионального образования.

Математические знания призваны сыграть важную роль в процессе дальнейшего обучения. Они понадобятся для успешного изучения общетеоретических и специальных предметов специализации.

В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических и технологических задач. После окончания колледжа не раз столкнетесь с необходимостью применить свои математические знания в практической деятельности.

Курс математики призван создать прочные навыки логического мышления, столь необходимые каждому специалисту.

Изучение курса математики откроет возможность усвоить основы математической науки. В результате дальнейшего совершенствования и расширения своих математических знаний в будущем можно самостоятельно изучить близкие к своей специальности математические работы отечественных и зарубежных специалистов и использовать их результаты в своей практической деятельности, а также позволит значительно продвинуть вперед изучение геометрических образов, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений.

В результате освоения учебной дисциплины необходимо уметь :

• выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

• применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

• применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности;

В результате освоения учебной дисциплины необходимо знать:

• основы линейной алгебры и аналитической геометрии;

• основные понятия и методы дифференциального и интегрального исчисления;

• основные численные методы решения математических задач;

• решение прикладные задачи в области профессиональной деятельности

3. История алгебры

Происхождение термина "алгебра"

Происхождение самого слова "алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арабского математика Ал-Хорезми . "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях.

Древнейшие сочинения по алгебре

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов, трактат Диофанта, жившего в середине 4 века. В этом трактате встречается правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел, и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6, в которых решаются уже довольно трудные алгебраические задачи.

Алгебра арабов

В Европе алгебра снова появляется только в эпоху Возрождения, и именно от арабов. Каким образом арабы дошли до тех истин неизвестно. Они могли быть знакомы с трактатами греков, или получить свои знания из Индии. Сами арабы приписывали изобретение алгебры Магоммеду-бен-Муза, жившему около середины 9-го века. Магоммед-Абульвефа перевел и комментировал сочинения Диофанта и других предшествовавших ему математиков (в Х веке). Но ни он, ни другие арабские математики не внесли много нового, своего в алгебру. Они изучали ее, но не совершенствовали.

Возрождение алгебры в Европе

Первым сочинением, появившимся в Европе после продолжительного пробела со времен Диофанта, считается трактат итальянского купца Леонардо, который, путешествуя по своим коммерческим делам на Востоке, ознакомился там с индийскими (ныне называемыми арабскими) цифрами, и с арифметикой и алгеброй арабов. По возвращении в Италию, он написал сочинение, охватывающее одновременно арифметику и алгебру и отчасти геометрию. Однако сочинение это не имело большого значения в истории науки, так как осталось мало известным и было открыто вновь только в середине 18-го века в одной Флорентийской библиотеке. Между тем сочинения арабов стали проникать в Европу и переводиться на европейские языки.

Развитие алгебры в странах Европы

В Германии первое сочинение об алгебре принадлежит Христиану Рудольфу из Иayepa, и появилось впервые в 1524 г. а затем вновь издано Стифелем в 1571 г. Сам Стифель и Шейбль, независимо от итальянских математиков, разработали некоторые алгебраические вопросы.

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Его сочинение об алгебре называется "The Whetstone of Wit". Здесь впервые вводится знак равенства (=). Во Франции в 1558 году появилось первое сочинение об алгебре, принадлежащее Пелетариусу; в Голландии Стевин в 1585 г. не только изложил исследования, известные уже до него, но и ввел некоторые усовершенствования в алгебру. Например, он уже обозначал неизвестные. Правда, для обозначения неизвестных он использовал всего лишь числа, обведенные в кружочек. Так первая неизвестная (теперь обычно обозначаемая x) у него обозначалась обведенной в кружочек единицей, вторая – обведенной двойкой, и так далее. Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который первый рассмотрел общие свойства для уравнений произвольных степеней и показал способы для приблизительного нахождения корней каких бы то ни было алгебраических уравнений. Он же первый обозначил величины, входящие в уравнения буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет характеристическую особенность алгебраических исследований нового времени. Он же подошел весьма близко к открытию формулы бинома, найденной впоследствии Ньютоном, и, наконец, в его сочинениях можно даже встретить разложение отношения стороны квадрата вписанного в круг к дуге круга, выраженное в виде бесконечного произведения. Фламандец Албер Жирар или Жерар, трактат которого об алгебре появился в 1629 г. первый ввел понятие мнимых величин в науку. Агличанин Гарриот показал, что всякое уравнение может рассматриваться, как произведение некоторого числа множителей первого порядка, и ввел в употребление знаки > и <. Его труды были опубликованы в 1631 г. Варнером.

Приобретение алгеброй законченного вида

После этих сравнительно незначительных успехов алгебра вдруг движется быстрыми шагами вперед, благодаря работам Декарта, Фермата, Валлиса и в особенности Ньютона. С этого времени также алгебра входит в более тесную связь с геометрией, после разработки Декартом аналитической геометрии, а также с анализом бесконечно малых, изобретенным Ньютоном и Лейбницем. В XVIII столетии классические труды Эйлера и Лагранжа довели алгебру до высокой степени совершенства. Позже работы Гаусса, Абеля, Фурье, Галуа, Коши, а затем Кейли, Сильвестера, Кронекера, Эрмита и др. создали новые точки зрения на важнейшие алгебраические вопросы и придали алгебре высокую степень изящества и простоты.

Некоторые математические знаки и даты их возникновения

Основная литература

Дополнительная литература