ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Улан-Удэнский колледж железнодорожного транспорта

Улан-Удэнского института железнодорожного транспорта –

филиала федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Иркутский государственный университет путей сообщения»

(УУКЖТ УУИЖТ ИрГУПС)

О.О.Стогова

УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

«Развитие понятия о числе»

по дисциплине «Математика»

Улан-Удэ 2014

Автор – Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта.

Рецензенты – Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

Данное методическое пособие разработано для студентов 1 курса с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении темы «Развитие понятия о числе» по дисциплине «Математика».

Пояснительная записка

Учебное пособие составлено в соответствии рабочей программе учебной дисциплины «Математика» для всех специальностей СПО, утвержденной 07.06.2011 г.

Данное методическое пособие разработано для студентов 1 курса с целью оказания помощи при теоретической и практической подготовке студентов по изучению темы «Развитие понятия о числе».

Учебное пособие дает возможность самостоятельно изучить теоретический материал и закрепить практические навыки по всей теме.

Каждая тема имеет основной теоретический материал, содержит задания для активного обучения(с комментариями, решениями); задания для самостоятельного решения.

С увеличением роли самостоятельной работы студентов и необходимостью предоставления студентам возможности самообразования данное учебное пособие актуально. Весь материал изложен в доступной форме, наличие заданий для самостоятельного решения  развивает умения приобретения научных знаний. Считая приоритетным приобретение опыта, анализа, расширение спектра познавательных возможностей, расширения личных интеллектуальных качеств, включены задания исследовательского характера, которые требуют самостоятельной работы с дополнительной литературой, предполагает отдельным студентам индивидуальные учебные траектории.

 Учебное пособие предполагает формирование личностных результатов, которые должны отражать:

1. российскую гражданскую идентичность, патриотизм, уважение к своему народу, чувства ответственности перед Родиной, гордости за свой край, свою Родину, прошлое и настоящее многонационального народа России, уважение государственных символов (герб, флаг, гимн);
2. гражданскую позицию как активного и ответственного члена российского общества, осознающего свои конституционные права и обязанности, уважающего закон и правопорядок, обладающего чувством собственного достоинства, осознанно принимающего традиционные национальные и общечеловеческие гуманистические и демократические ценности;
3.  готовность к служению Отечеству, его защите;
4. сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики, основанного на диалоге культур, а также различных форм общественного сознания, осознание своего места в поликультурном мире;
5. сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими ценностями и идеалами гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности;
6.  толерантное сознание и поведение в поликультурном мире, готовность и способность вести диалог с другими людьми, достигать в нём взаимопонимания, находить общие цели и сотрудничать для их достижения;
7.  навыки сотрудничества со сверстниками, детьми младшего возраста, взрослыми в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;
8.  нравственное сознание и поведение на основе усвоения общечеловеческих ценностей;
9.  готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;
10.  эстетическое отношение к миру, включая эстетику быта, научного и технического творчества, спорта, общественных отношений;
11.  принятие и реализацию ценностей здорового и безопасного образа жизни, потребности в физическом самосовершенствовании, занятиях спортивно- оздоровительной деятельностью, неприятие вредных привычек: курения, употребления алкоголя, наркотиков;
12.  бережное, ответственное и компетентное отношение к физическому и психологическому здоровью, как собственному, так и других людей, умение оказывать первую помощь;
13. осознанный выбор будущей профессии и возможностей реализации собственных жизненных планов; отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;
14. сформированность экологического мышления, понимания влияния социально-экономических процессов на состояние природной и социальной среды; приобретение опыта эколого-направленной деятельности;
15.  ответственное отношение к созданию семьи на основе осознанного принятия ценностей семейной жизни.

Метапредметные результаты освоения основной образовательной программы должны отражать:

1) умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

2.  умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;
3.  владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;
4.  готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;
5.  умение использовать средства информационных и коммуникационных технологий (далее - ИКТ) в решении когнитивных, коммуникативных и организационных задач с соблюдением требований эргономики, техники безопасности, гигиены, ресурсосбережения, правовых и этических норм, норм информационной безопасности;
6.  умение определять назначение и функции различных социальных институтов;
7.  умение самостоятельно оценивать и принимать решения, определяющие стратегию поведения, с учётом гражданских и нравственных ценностей;
8. владение языковыми средствами - умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;
9.  владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств их достижения.

Предметные результаты изучения базового курса математики должны отражать:

1. сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира;
2. сформированность представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
3.  владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
4.  владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
5. сформированность представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;
6.  владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
7. сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
8.  владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Содержание

Глава I. Развитие понятия о числе

1. Целые, рациональные и действительные числа.

Действительные числа  Число — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}.

Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m — целое число, а n — натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q. Все натуральные и целые числа – рациональные. Также в качестве примеров рациональных чисел можно привести: ,,.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой  R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа.

Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: .То есть множество натуральных чисел входит во множество целых чисел. Множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Рациональные числа – это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное определение рациональных чисел, принятое в математике, следующее: число называетсярациональным, если оно может быть представлено ввиде обыкновенной несократимой дроби вида:,где  m  и  n  целые числа. Представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь. О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков,несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа. Примеры иррациональных чисел – это ,,.

Над множеством действительных чисел производятся следующие операции (действия ): сложение,  вычитание , умножение , деление , возведение в степень ,вычисление значений корня. Выполняя действия мы не забываем , что действия первой ступени ( деление ,умножение, возведение в степень, вычисление корня ) выполняются первыми , а затем действия второй ступени ( сложение и вычитание ).

Задания для активного обучения

1.1.Найдите значение числового выражения

а)(        в)

б)

1.2.Докажите что дробь не имеет смысла:

а);     б).

1.3. Найдите значение выражения при х =

Решение: Подставим значение х в выражение. При х = значение выражения равно  = - = -

При преобразовании дробных выражений, содержащих арифметические квадратные корни, иногда умножение на выражение сопряженное знаменателю, позволяет упростить вид всего выражения.

1.4.Вычислите.

Решение: =.

Для вычисления значения выражения вида  ,при  а>0, в >0 рассматривают квадрат этого выражения.

1.5.Упростите до целого числа выражение:  .

Решение. Обозначим выражение  за А, и найдем А2.

А2= )2 = 7-  - 2  + 7 +  =  14 –  .

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.

1.6.Упростите выражение: .

Решение. Применим формулу сложного радикала

Определение: Если положительное число с представлено в виде  с1, где с1где n- целое  число, то говорят,  что число представлено в стандартном виде.

1.7.Запишите 0, 0032 в стандартном виде.

Решение. Чтобы представить число 0, 0032 в стандартном виде нужно перенести запятую в числе 0,0032 на три знака вправо. Получим число от 1 до 10. Итак 0,0032= 3,2 .

Задания для самостоятельного решения

1.8.Запишите число в стандартном виде  а)0,00019; б)0,000023; в) 0,095.

1.9.Найдите значение выражения  при m =.

1.10.Найдите значение выражения ; б).

1.11.Вычислите а) ;б);

в); г) ; д) ;

е);ж) +; з)+.

Вычислите: ; б) ;

 Упростите до целого числа выражение: а) ;

б);  в); г);

1.14. Найдите значение выражения  при .

2. Отношения между числами(пропорции и проценты).

1)Пропорции

Пусть даны четыре отличных от нуля числа a ,  b ,  c  и  d таких,

что a  :  b  =  c  :  d. Тогда равенство a  :  b  =  c  :  d называется пропорцией . Числа a  и  d называются крайними членами пропорции, а числа b  и  c – средними членами .

Из свойств обыкновенных дробей следует, что справедливы следующие утверждения:

1.Пропорциюможно записать в виде

2.Крайние члены пропорции можно поменять местами: если то

3.Средние члены пропорции можно поменять местами: если то

4.Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов: если то( основное свойство пропорции ).

Задания для активного обучения

Для того чтобы найти некоторую часть числа, нужно это число умножить на дробь, выражающую эту часть.

2.1.Найтиот 28.

Решение:  Имеем

Пусть задана величина некоторой части числа. Чтобы найти само число, нужно величину этой части разделить на дробь, выражающую эту часть.

2.2.Найти число, которого равны 27.

Решение:    Имеем  

2.3.Решите задачи на пропорции:

а)  В банке засолили 14 огурцов и 4 помидора. Какую часть составляют помидоры от всех засоленных овощей?  

б) Число 30 разделили на сумму трех положительных чисел  в отношении 2:3:5. Найдите наименьшее из получившихся чисел.

в)  Выберете из данных пропорций верную:

1); 2); 3);  4).
г)Дед Мороз на Новый Год приготовил 6 коробок для игрушек, каждой из которых помещается по 380 штук. Но при  перевозке коробки повредились и игрушки переложили в другие коробки, в которые помещается 456 штук. Сколько понадобится таких коробок, чтобы поместились все игрушки?  

Задания для самостоятельного решения

2.4. Решите задачи на пропорции

а) На зиму бабушка закрутила 6 банок малинового варения и 9 банок абрикосового джема. Какую часть составляет  лечебное малиновое варенье от всей бабушкиной закрутки?

б) Число 40 разделили на сумму трех положительных чисел  в отношении 2:2:4. Найдите наибольшее из получившихся чисел.    

в) Выберете из данных пропорций не верную:

1) ;  2) ;  3) ;  4) .

г) В оздоровительный лагерь готовились отправить 360 кг картошки на 135 человек одной смены. Но стало известно, что в лагере будет 120 человек. Сколько килограмм картошки нужно отправить в лагерь, если расход картошки на одного человека не изменится?

2)Проценты

 Процентом (лат. pro centum – с сотни) называется сотая часть целого.

Записывается это так: запись 1 % означает 0,01;

75 % означает 0,75;    100 % означает 1;     235 % означает 2,35.

Если нам задана часть числа в виде десятичной дроби, то процентное выражение данной десятичной дроби можно найти, умножив её на 100. То же самое получится, если перенести запятую в этой дроби на два разряда вправо. Например, процентное выражение числа 0,1415 есть 14,15 %;    числа 2,625 есть 262,5 % и т. д.

Если же дано само процентное выражение числа, то это число можно найти, разделив процентное выражение на 100. Опять же, то же самое получится, если перенести запятую в процентном выражении на два разряда влево. Например, 12,14 % = 0,1214;    325,75 % = 3,2575 ..

Задания для активного обучения

Традиционно существует три основные задачи на проценты.

Найти известный процент данного числа. Для решения этой задачи нужно данное число умножить на дробь, выражающую указанный процент.

 2.5. Найти: а) 34 % от числа 25;      б) 125 % от числа 46.  

Решение: а) 25 ∙ 0,34 = 8,5.       б) 46 ∙ 1,25 = 57,5.

Найти число по данной величине его указанного процента. Для того чтобы решить эту задачу, нужно данную величину разделить на дробь, выражающую указанный процент.

2.6. Найти число а) 25 % которого составляют 34;

б) 156 % которого составляют 21,84.

Решение:  а) 34 : 0,25 = 136.        б) 21,84 : 1,56 = 14.

Найти выражение одного числа в процентах от другого. Для того чтобы решить эту задачу, нужно данную величину умножить на 100 и результат разделить на второе число.

2.7. Найти сколькопроцентов от числа 25 составляет число 34.

Решение:34 ∙ 100 : 25 = 136 %.

2.8.Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
Решение: Первоначальный спрос на товар х составлял 100%.Спрос увеличился и стал 5х. Произошло увеличение на 4х, значит увеличение составило 400%.

2.9.Объем товаров увеличился на 200%.Во сколько раз произошло увеличение?

Решение. Первоначальный объем товаров х составлял 100%.Он увеличился и стал х+2х=3х. Произошло увеличение в три раза, по сравнению с первоначальным объемом.

2.10.Квартплата  составляла 2000рублей. Какой стала квартплата после увеличения ее на 120%?

Решение. 2000рублей составляют 100%,

        х  рублей составляет   120%.

Найдем из пропорции, какой стала квартплата после увеличения :

х= (2000:100= 2400. Квартплата составила 2400рублей.

2.11.Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день- остальные 28кг. Сколько килограммов овощей было в магазине  первоначально?

Решение. Обозначим за х (кг)- вес имевшихся в магазине овощей. Тогда в первый день магазин продал 0,4 х(кг), а за второй день-  0,8(0,4х) кг. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составим уравнение:  

0,4х + 0,8(0,4х) +28= х

 0,28х = 26

 х=100

Значит, в магазине было 100кг овощей.

2.12.Цена изделия составляла 1000рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение. Первое снижение цены товара было на 10%, что составляет 0,1, тогда 0,1руб. После первого снижения цена товара составила 1000-100= 900руб.

Второе снижение цены товара было на 20%, значит 0,2 900=180руб. После второго снижения цена товара составила 900-180= 720 руб.

2.13.Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и. наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение. Обозначим первоначальную стоимость товара за х (руб), тогда после первого повышения цена товара стала-  1, 25х.Второе повышение цены было на 0,1 1,25х. После этого повышения цена товара стала —  1,25х + 0,1 1,25х = 1,375х. Третье повышение цены на 12% производилось от цены, полученной после второго повышения, и составило

0,121,375х = 0,165х.Тогда после последнего повышения цена товара составила 1,375х+ 0,165х =1, 54х. Осталось выяснить процент повышения первоначальной цены. Цена была повышена на 1,54х – х= 0,54х, что составляет 54% от первоначальной цены.

2.14.Сберегательный банк в конце года начисляет 3% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 1000 рублей через 2 года?

Решение. Рассмотрим два этапа- на первом начисляется процент на сумму, находившуюся на счету первый год. А на втором этапе производится начисление процентов на сумму, получившуюся после первого этапа, т.е. на сумму с уже начисленными процентами после первого года.  1000 рублей- первоначальная сумма вклада. Начисленные проценты после первого года составят 0,03 По окончании первого года на счету окажется1000+ 0,03=1030.

По окончании второго года проценты составят 0,03 1030 =30,9. Таким образом, после двух лет сумма вкладасоставит1030+ 30,9 =1060,9.Первоначальный вклад увеличился на 60,9 рублей.

Задания для самостоятельного решения2.15.Сбербанк в конце года начисляет4% годовых к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 2500 рублей через год?

2.16.Изделие, цена которого 500рублей, сначала подорожало на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена изделия?

2.17.Цену на некоторый товар сначала снизили на 30%, а затем повысили на 20%. На сколько процентов изменилась первоначальная цена товара?

2.18. Цену некоторого товара снизили на 15%, а потом еще на 20%.Найдите общий процент снижения цены.

2.19. Найдите первоначальную сумму вклада(в рублях), если после истечения трех лет она выросла на 765,1 рубля при 2% годовых.

2.20. За январь выпуск продукции обувной фабрики составил 30% квартального плана. За февраль- 120% продукции, выпущенной в   январе.Чтобы выполнить квартальный план, в мартефабрика изготовила680 пар обуви.Каков квартальный план фабрики?

2.21.За апрель выпуск продукции завода составил 40% плана за IIквартал, за май- 130%продукции, выпущенной в апреле. Чтобы выполнить план за II квартал, завод в июнеизготовил240машин.Каков квартальный план завода?

2.22.В первый день со склада было отпущено 20%имевщихся яблок. Во второй день – 180%от того количества яблок, которое было отпущено в первый день. В третий день–оставшиеся88 кг яблок. Сколько килограммов яблок было на складе первоначально?

2.23.При повышении цены билета на 25% число зрителейв кинотеатре уменьшилось на 22%.На сколько процентов изменилась выручка театра?

2.24.Цена первого товара повысилась на 30%, а потом еще на 5%.Цена второго товара повысилась на 25%.После повышения цены товаров сравнялись. Найдите на сколько процентов первоначальная цена одного товара больше первоначальной цены другого товара.

2.25.Найти 30% от 4220.

2.26.Сколько процентов составляет число 15 от числа 75?

2.27.Найти число, 20% которого равны 12.

2.28.Какое число, увеличенное на 13%, составляет 226?

2.29.Стоимость изделия в 2009 году возросла на 10%, а в 2010 упало на 10%. На сколько процентов изменилась стоимость изделия за 2 года?

2.30.Товар подорожал в ноябре на 20%, а в мае подешевел на 20%, на сколько процентов изменилась цена за полгода?

2.31.В 100 г раствора имеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный раствор соли?

2.32.Цена за книгу снизилась на столько процентов, сколько книга стоила до снижения, и стала равна 18 рублей 75 копеек. Какова была цена книги до снижения?

2.33.Производительность труда рабочего увеличивалась ежегодно на одинаковое число процентов и за 2 года поднялась с 200 деталей за смену до 242 деталей за смену. Каков был ежегодный прирост производительности труда?

2.34.Найти 110% от 540.

2.35.Сколько процентов составляет число 81 от числа 45?

2.36.Найти число, 36% которого равны 81.

2.37.Какое число, увеличенное на 20%, составляет 378?

2.38.На сколько процентов число 18 больше числа 15?

2.39.Производительность труда рабочего увеличивалась ежегодно на одинаковое число деталей за смену и за 1,5 года поднялась в 1,5 раза. Каков был ежегодный прирост производительности труда в процентах?

2.40.Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

2.41.В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

3.Приближенные вычисления.

1. Числа точные и приближенные.

 Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.

Теория приближенных вычислений позволяет:

 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата;

3)рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

2. Округление.

 Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу, независимо от того, четная она или нечетная (округление с избытком).

3.1.Округлить: а) до десятых 12,34;   б) до сотых 3,2465;  1038,785;  в) до тысячных 3,4335; г) до тысяч 12375; 320729.

3. Абсолютная и относительная погрешности. 

Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, = 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01.

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δ a . Записьx ≈ a (±Δ a ),следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числами  (а – Δ a )  и (а + Δ а) , которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают НГ x и  ВГ х .  Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2< x < 2,4.

Наоборот, если 7,3< х < 7,4, то х ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например, если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояние х между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная погрешность равна:. Приближенные вычисления осуществляют  с помощью правил подсчета цифр и по способу границ.

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:х ≈ 3,2 (±0,05) и y ≈ 7.9 (±0,05).

Имеем: 3,15< х < 3,25, 7,85< у < 7,95, откуда 11,00< х + у < 11,20.

Итак, х + у ≈ 11,1 (±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ ( x + у ) = НГ х + HГ y ; ВГ ( х + у ) = ВГ х + ВГ y .

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ ( ху ) = НГ х · НГ у ; ВГ ( х у) = ВГ х · ВГ y .

Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:

НГ ( х - у ) = НГ х - ВГ у ;

ВГ ( х - у ) = ВГ х - НГ у .

;   ВГ (

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ - по избытку;

2) чем меньше разность ВГ х - НГ х, тем точнее определяется х ;

3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ х и ВГ х или число, близкое к нему.

3.2. Найти значение, если а ≈ 9,21 (±0,01); b ≈ 3,05 (±0,02), 

с ≈ 2,33 (±0,01).

Решение. Определяем НГ и ВГ каждого из чисел а , b , c   и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.Запись удобно оформить в виде такой таблицы.

1,15< x < 1,19

2,34 : 2 = 1,17; 0,04 : 2 = 0,02

x ≈ 1,17 (±0,02).

Задания для самостоятельного решения

3.3. Найдите приближенное значение суммы, разности, произведения и частного чисел, заданных с указанной точностью:

а)х =0,12  0, 01, у= 0,76  0,02;   б) х =0,00125  0, 00014, у= 0,0009  0,0001;  в)х = 3412 62, у = 83745  110;   г) х= -72, 16 0,08, у = 21,05 0,1

3.4.Вычислите , если известно, что ;  ;

4.Комплексные числа

1.Основные определения. Операции над комплексными числами

= a-bi-алгебраическая форма комплексного числа.

1.Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = – 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е.

a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b  0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3.Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d,

 то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

4.1.Найдитесумму: а) (2 + 3i) + (5 + i); б) (– 2 + 3i) + (1 – 8i);

в) (– 2 + 3i) + (1 – 3i).

Решение: а)(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

б)(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

в)(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

4.2. Найдите разность : а))(5 – 8i) – (2 + 3i); б)(3 – 2i) – (1 – 2i)

Решение:а)(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

б)(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.

4.3.Найдитепроизведение:а) (– 1 + 3i)(2 + 5i); б) (2 + 3i)(2 – 3i).

Решение: а)(– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; 

б)(2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2 = a2 + b2.

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Например:  5i3i = 15i2 = – 15; – 2i3i = – 6i2 = 6,  ивообще  bidi = bdi2 = – bd.

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c2 + d2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i2 = – 1.

Если выписать все значения степеней числа i, то получим следующую последовательность: i, - 1, - i, 1, i, - 1, - i, 1 и т. д. Значения степеней числа i повторяются с периодом, равным 4. Так, i = i, i2 = - 1, i3 = - i, i4 = 1, i5 = i, i6 = - 1, i7 = - i, i8 = 1, i9 = i, i10 = - 1, i11 = - i, i12 = 1. Таким образом, если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1;

1. если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i;
2. если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно - 1;
3. наконец, если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно - i.

 Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Задания для активного обучения

= a-bi - число, сопряженное числу z= а + вi;

При делении двух комплексных чисел, умножаем делимое и делитель на множитель сопряженный делителю.

4.4.Найти частное:  а) ; б) ; .

Решение: а)

б);

Найтиквадратсуммы, квадратразности и разность квадратовс использованием формул сокращенного умножения:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 – квадратсуммы 

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 – квадратразности

a2 - b2 = (a + b)(a - b) – разностьквадратов

в)= 4+16 + 16=4+16-16= -12 +16.

4.5.Найти: i28; i33; i135.

Решение.  Имеем 28:4 = 7 (нет остатка); 33:4 = 8 + 1(остаток 1);

135 : 4=33 + 3(остаток 3). Соответственно получим i28 = 1; i33 = i; i135 = - i.

4.6.Даны комплексные числаz1= -4;        z2=  i;         z3= 1 - i;         z4=

выполните действия с  комплексными числамиа) ;    б) ;  

в)z2: z3;    г) z3: z4;  д) z4+ (z2- z3);     е); ж);  

з)(z 3)2(z4)2;

4.7. Найдите частное ,

а);б) ; в); г) ; д) ; е) ; ж) ;з)  ;и) ;

4.8.Даны комплексные числа: , , .

Вычислите:а);    б) ;     в) ;    г) ;    д) ;    

е) .

4.9.Даны комплексные числа: , , .

Вычислите:а);    б) ;     в) ;    г) ;    

д) ;    е) .

Задания для самостоятельного решения

4.10. Даны комплексные числа:z1= -5; z2=  2i;  z3= 3 - i; z4= .  

Выполните действия с комплексными числами:

а) ;    б) ;   в)z2: z3;    г) z3: z4;  д) z4+ (z2- z3);     е); ж);

4.11.Найдите частное:  а); б) ;  в);  г)  .

4.12.Даны комплексные числа: z1= -7; z2= 2i;         z3= 5 + 5i;  z4= ;

Выполните действия с комплексными числами:

 а) ;    б) ; в)z2: z3;    г) z3: z4 д)(z1)2(z2)3.  

4.13.Найдите:а)i46; б) i65;в)i164 ;г)i436

2.Квадратные уравнения

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида x2 = 2. На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение x2 = 2 разрешимо, оно имеет два решения

x1 = и x2 = – .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x2 = – 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравненияx2 = – 1.

Расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x2 = – 1 имеет два решения:   x1 = i, x2 = – i.

Это нетрудно установить проверкой:    ii = i2 = – 1, (– i)(– i) = i2 = – 1.

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax2 + bx + c = 0 (a 0),

где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a  0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

· Разделим все члены уравнения на a  0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения: 

• К обеим частям уравнения прибавим выражениес тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых:

• Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения: 

.

• Найдем значения неизвестной: 

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если  b2 – 4ac > 0, тоесть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же– мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Задания для активного обучения

4.14. Решите уравнение: x2 – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант  D = b2 – 4ac = (– 2)2 – 41(– 8) = 36 > 0.

Уравнение имеет два действительных корня:

х1=; х2 =.

4.15. Решите уравнение x2 + 6x + 9 = 0.Решение. D = 62 – 419 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня:      х1= х2 =

4.16. Решите уравнение x2 – 4x + 5 = 0.

Решение. D = 16 – 415 = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни:  

 х1,2=;    х1 =;  х2 =.

Задания для самостоятельного решения

4.17. Решить уравнения:  а)  х2 + 2х + 5 = 0; б)x2 + 8x + 20 = 0; в) x2 + 2x + 5 = 0; г)х2- 4х + 20 = 0;  д)х2- 6х + 13 = 0; е) х2-3х+3=0; ж) х2+3х+4=0;

з) х2+ 3х+3=0;  и) х2– (7-2i) х+ 13(1-i) =0;  к) х2+6х+13=0;

л)9х² + 125 = 0;    м) х² + 4х + 13 = 0;н)x2 — 2x + 2 = 0;   о) 4x2 + 4x + 5 = 0;  

п) x2- 14x + 74 = 0.

4.18.Вычислите: а) (-11+10i) +(7-8i);    б)(-17-13i) – (2 – 19i);

в)(- 3,2 + 2,7i) ∙(- 0,4-0,8i);   г)(-8+0,1i) ∙ (-3,5-4,2i);   д) ;

4.19.Вычислите: а)(-3 +4i)+ (9-3i);   б)(-6- 15i) – (4-9i);

в)(-4 +1,7i)∙ (- 3,4 - 4i);г)(-7+0,2i)∙ (- 5,5-6,7i);д) ;

4.20.Данычисла: z1= 3-3iz2= 6- 2i.  Найдите:  a) ;   б) ;
c) ;   д) ;   e)

4.21.Вычислите а) z= ; б)z =  

5.Геометрическая модель

1.Геометрическое представление комплексного числа

Рис.1

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

2.Связанные определения. Модуль и аргумент.

Рис.2

Пусть z = х +i у — комплексное число, где х и у— вещественные числа. Числа х =Rezи у= Imzназываются соответственно вещественной и мнимойчастями z.

Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.

Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа zобозначается  и определяется выражением  . Часто обозначается буквами или. Если zявляется вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;

2) (неравенство треугольника);

3)

4)

Из третьего свойства следует , где. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полемR.

5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 − z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается

Из этого определения следует, что

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.

Главным значением аргумента называется такое значение , что  Часто главное значение обозначается Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

2.Сопряжённые числа. Геометрическое представление сопряжённых чисел

Рис.3

Если комплексное числоz = x +iу, то число  = х – iуназывается сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также  ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

1)(сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

2); 3)  4) 5)

Обобщение:  где p(z) — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами.;

Задания для активного обучения

5.1 Изобразите на комплексной плоскости (рис.2), следующие комплексные числа:

Решение: Данным комплексным числам соответствуют точки комплексной плоскости. 

 Покажем их.Рис.4

5.2. Найдите комплексную координату середины отрезка AB, если комплексные координаты его концов равны z1 и z2 соответственно.

Решение: Обозначим середину отрезка AB через O1. Тогда

.

Учитывая, что комплексная координата вектора равна , получим .

5.3. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: 

Решение:   Следовательно, . Таким образом, , , то

Этим числам соответствуют три точки: A (0;1), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис.3).

Рис. 5.

5.4. Изобразите на плоскости комплексные число  z, удовлетворяющие условию: 

Решение: значит,  и 

Получили две точки: B () и C () (рис. 6).

Рис.6.

Задания для самостоятельного решения

5.5. Изобразите на комплексной плоскости , середину отрезка, соединяющего точки, заданные следующими комплексными числами: а)z1= 1+ 2i и z2 = 3+2i;

б) z1= 2 - 2i и z2 = 5 -2i.

5.6. Изобразите на комплексной плоскости,  точки пересечения отрезка, соединяющего  точки а)-1+ 3i и 4-2i; б) -3- i и 1+3i.

Контрольная работа № 1 по теме: Развитие понятия числа

Вариант 1

1. Вычислите: (3 – 1,52):1,1 + (1  – 1,842)  1.

2. Вычислите относительную погрешность числа П = 3,14  , считая П = 3,1416

3. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если

Z1 = -3 + 5i   ,   Z2 = 4 - 7i

4. Вычислите:        а) 2i6 + i20 + i30 + i36 + i54 ;б) (1 - i)8

5. Составить квадратное уравнение по его корням:  x1 = 5 – 3i ;x2 = 5 + 3i

6. Построить слагаемые и их сумму:   Z1 = -2 + i  ; Z2 = 2 - 3i.

7. Построить комплексные числа Z1 и Z2, а также им сопряженные и противоположные: Z1 = -1 + 2i  ; Z2 = 4i

8. 3/7 молока отправлено в школу, 14% - в детский сад, что составляет 49 литров. Сколько молока отправлено в школу и детский садик.

Вариант 2

1. Вычислите: (1 + 0,91):1,4 + (1  – 1,911)  1.

2. Вычислите относительную погрешность числа е = 2,71  , считая е = 2,7182

3. Найдите сумму, разность, произведение комплексных чисел Z1 и Z2, если

Z1 = -1 + 3i   ,   Z2 = 4 + 5i

 4. Вычислите: а) i8 + i40 + i30 + 2i2 – i52 ;б) (1 + i)-3

5. Решить квадратное уравнение: x2 – 6x + 34 = 0

6. Построить слагаемые и их сумму: Z1 = 6 + 3i  ; Z2 = -4 + 2i.

7. Построить комплексные числа Z1 и Z2, а также им сопряженные и противоположные: Z1 = -4 + 2i; Z2 = -3i.

8. 12 км пройдено в 1-й день, что составляет 15% пути. 2/7 всего пути пройдено во второй день. Сколько пройдено за 2 дня?

Глава II. Корни степени и логарифмы

6.Степени с натуральным показателем.

Вы уже знаете, что на математическом языке запись вида a + a + a + a,можно сделать более коротким способом: a + a + a + a = 4a.Для произведения одинаковых множителей,так же существует короткая запись: x  x ∙ x ∙x∙ x = x5; y ∙ y ∙ y = y3     

Запись an , где n — натуральное число(1, 2, 3, 4, 5, ...,),обозначает произведениеnодинаковых множителей,каждый из которых равенa,и называется степенью.  Число a в этой записи называется основанием степени,  а число n — показателем степени.   Запись an читается: "a в n-ой степени".    

Степенью числа с показателем 1 называют само это число:   a1  = a. Обратите внимание, если в основании степени отрицательное число,то при четном показателе степени результат положительный  (–2)2 = 4 , (–3)4  = 81, а при нечетном показателе степени результат отрицательный  (–2)3 = – 8 ,

(–3)3 = – 27. Так же различайте записи:   –22 = – 4 ,  (–2)2 = 4.   9 – 22 = 5 ,

 9 + (–2)2 = 13. 

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Например:  4578 = 4,578 · 103;103000 = 1,03 · 105.

Свойства степени с натуральным показателем:

1)При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

an  am = an+m, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Задания для активного обучения

6.1.Упростить выражение.
Решение: b  b2  b3  b4  b5 = b1+2+3+4+5 = b15

6.2.Представить в виде степени. 
Решение: 615  36 = 615  62 = 615+2 = 617

6.3.Представить в виде степени. 
Решение:(0,8)3  (0,8)12 = (0,8)3+12 = (0,8)15

2)При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

an : am = an - m , где a - любое число, не равное нулю, а m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.

6.4.Записать частное в виде степени 
Решение: (2b)5 : (2b)3 = (2b)5-3 = (2b)2

6.5.Вычислить.  

Решение:  = 113-2 42-1  = 11 4 = 44

6.6. Решить уравнение  38 : t = 34.

Решение: Используем свойство частного степеней. 
38 : t = 34
t = 38 : 34
t = 38-4
t = 34
Ответ: t = 34 = 81

Пользуясь свойствами  1 и  2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

6.7. Упростить выражение. 
Решение: 45m + 6  4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 - 4m - 3 = 42m + 5

3)При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(an)m = anm, где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

6.8. Упростить выражение. 
Решение: (a4)6 = a4 • 6 = a24

4)При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

(a  b)n = an  bn, где a, b - любые рациональные числа; n - любое натуральное число.

6.9. Упростить выражение(6  a2  b3  c )2 . 
Решение:  (6  a2  b3  c )2 = 62  a2 • 2  b3 • 2  с 1 • 2 = 36 a4  b6  с 2

6.10. Упростить выражение(- x2 y)6 
Решение: (- x2 y)6 = ( (- 1)6 x2 • 6 y1 • 6) = x12 y6

5)При умножении степеней с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

 (an bn)= (ab) n

6.11. Вычислить:24  54

Решение: 24 54 = (2 5)4 = 104 = 10 000

6.12. Вычислить0,516  216 .

Решение: 0,516  216 = (0,5  2)16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

6.13.Вычислить: 45 • 32 

Решение:45  32 = 43  42  32 = 43  (4  3)2 = 64  122 = 64  144 = 9216

6.14.Вычислить:421  (-0,25)20 

Решение: 421  (-0,25)20 = 4  4 20  (-0,25) 20 = 4  (4 (-0,25))20 =

4  (- 1)20 = 4  1 = 4

6)Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn, где a, b - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.

6.15. Представить выражение(5 : 3)12  в виде частного степеней. 
Решение: (5 : 3)12 = 512 : 312

Задания для самостоятельного решения

6.16.Вычислите: а) б) ; в)г); д); е);

6.17. Найдите значение выражения: а) ( 4а3)2 : ( 4а7 ) при а = 5; б)при ; в) при ;

6.18. Представьте в виде степени: а)38 34; б) 214: 28 ;в) (-7)3 (-7)6 (-7)9; г) 36а2в2.

6.19.Возведите в степень произведение:.

6.20.Найдите значение выражения: а); б);

6.21.Возведите в степень:.

6.22.Запишите степени  х, х2, х3 , х4 , х5 , х6 , х7 , х8 , х9  в пустые клетки квадрата так, чтобы произведение их равнялось х15.

7. Понятие корня n-й степени из действительного числа.

 Во всех нижеприведенных формулах символ   означаетарифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей: 

2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя: 

3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:       

4.Если увеличить степень корня вn раз и одновременно возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:    .

5.Если уменьшить степень корня в nраз и одновременно извлечь корень n-ой  

степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

 Задания для активного обучения

7.1. Упростить:

7.3.Решить уравнение:

Решение: Рассмотрим три основных случая:

1)   x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению ( Почему? ).         

 2)   при  x > 0  получаем:  x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,  что  x – любое число; но принимая во внимание, что в   нашем случае x > 0 , ответом является  x > 0 ; 

 3)   при  x < 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1,следовательно,  в этом случае нет решения.   Таким образом,  x > 0.

Задания для самостоятельного решения

7.1.  Найдите значение выражения:

а)  ;   б)   ; в);

г)  ; д); е).         

7.2.Упростите выражение: а); б);

 в) ; г); д)е);

ж);

7.3.Вычислите:

7.4. Вычислите:

7.5.Упростите выражение

8.Степени с рациональными показателями.

Пусть дано положительное число а и произвольное рациональное число n. Число называется степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.По определению полагают:

• .
• .
• Если m — целое, а n — натуральное число и , то= .

Частные случаи:

Свойства степени с рациональным показателем.

1. ;
2. ;
3. ;

Задания для активного обучения

8.1.Вычислите:

Решение:

8.2.Упростить выражение:

Решение:  

8.3.Найти значение выражения:

 Решение: .

Задания для самостоятельного решения

8.4.Выполните действия:

а) ;  б)(2 ;   в) г) ;  

е) ж)  

  з) и) 

8.5.Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:

а)  б);  в)  г) ;д)  ;е) ;ж)   ;з); и);к) ;  л) ;м);

н) ;п) 

8.6.Вычислите:

а) б)

в) ;г) ;

8.7.Решите тестовые задания:

1.Значение выражения  4 ∙+ равно:    1)11,5;          2)13;     3)11;     4)12,5;

2. Значение выражения  29 ∙15 равно:   1)131;          2)43;     3)73;     4)101;

3. Значение выражения  2 ∙- равно:   1)10,9;          2)11;     3)9,1;     4)9;

4. Значение выражения  7- 3 ∙ равно:          1)1;          2)8;     3)-5;     4)-17;

5. Значение выражения   равно:   1)12;     2)-12;  3)-3;     4)-4;

6.Значение выражения   равно: 1)0,25;          2)0,5;     3)0,15;     4)5;

7.Значение выражения   равно: 1)3;     2)-3;     3)6;   4)-6;

8.Значение выражения   равно:

1)25;          2)25 -4;     3)19;       4)5- 4;

9. Значение выражения   равно:

1)4;          2);     3)-7;       4)-9;

10.Значение выражения  равно:

1)3;          2)4;     3)0;       4);

11. Значение выражения   равно: 1);          2);     3);       4);

12. Значение выражения   равно:  1);          2);     3);       4);

13. Значение выражения   равно: 1)          2);     3);       4);

14. Значение выражения   равно:  1)9 c2;   2);   3)3;    4)3;

15. Значение выражения   равно:1)4;   2);    3);   4)2;

16. Значение выражения  равно:1)3;    2);     3);       4);

17. Значение выражения  равно:1)5;      2);     3);       4);  

18. Значение выраженияравно:

1)9,1;         2);     3)89,9;       4)8,9;

19. Значение выражения : ∙ равно:

1) -2,5;         2);     3)-10;       4)0;

20. Значение выраженияравно:1) 1;   2);     3)-12;       4) 5;

Контрольная работа № 2по теме: Корни. Степени.

Вариант 1

 1. Выполните действия и ответ запишите с помощью радикалов:

а)б)  

 2. Вычислите:

а)        

б)        

в)        

3. Сравните числа:

а)   и;б)и;     в)и;

г)и;   д)и

4. Выполните действия:

а)      б)  

 6. Решите систему уравнений:

а)                    б)  

Вариант 2

 1. Выполните действия и ответ запишите с помощью радикалов:

а)        б)  

 2. Вычислите:

а);

б)        

в)        

 3. Сравните числа:

;

 4. Выполните действия:

а) б)

6. Решите систему уравнений:

а)                      б)  

9.Преобразование алгебраических выражений

Выполнение заданий по преобразованию выражений, содержащих корни n-й степени и степени с рациональным показателем, всегда вызывает трудности. Связано это с большим числом применяемых свойств и вычислениями требующими повышенной концентрации внимания.

Определение. Алгебраическое выражение - это выражение, содержащее числа, буквенные переменные, скобки, а также знаки математических действий: сложения, вычитания, деления, извлечения корня, возведения в степень, логарифмирования.

Если в выражении имеются только числа, оно называется числовым выражением, если же и буквенные переменные, то – выражением с переменными.

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечение корня из переменных, то его называют целым выражением.

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то его называют иррациональным выражением.

 Значения аргументов, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями. Множество всех допустимых значений аргументов алгебраического выражения называют его областью допустимых значений.

Если в алгебраическом выражении переменным придавать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называют значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

Определение. Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Если соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те де переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то выражения называют тождественно равными.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Многочлены

Определение. Рациональное алгебраическое выражение, содержащее относительно входящих в него букв только два действия - умножение и возведение в натуральную степень, называют одночленом.

Одночлен приведен к стандартному виду, если числовой множитель (коэффициент) записан на первом месте, а входящие в него буквы (переменные) записаны в виде множителей в алфавитном порядке, причем одинаковые буквы представлены степенью.

Одночлены называются подобными, если их стандартные виды совпадают или отличаются только коэффициентами.

Сложение и вычитание подобных одночленов называется приведением подобных.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Если над многочленами проводятся операции сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень, то результатами этих действий являются многочлены.

По правилам сложения и умножения многочленов получены тождественные равенства, которые называются формулами сокращенного умножения:

;

;

;

;

;

;

;

причем все формулы нужно узнавать не только "слева направо", но и "справа налево".

Применение формул сокращенного умножения является одним из самых простых способов разложения алгебраического выражения на множители. Все формулы справедливы при любых вещественных  и , которые сами могут являться числами, функциями или другими выражениями.

Помимо основных формул сокращенного умножения полезно знать и формулы для большого числа слагаемых, например:

.

Полезно знать также две следующие формулы, верные для любых натуральных :

;

.

Тождественное преобразование многочлена к виду произведения многочленов называется разложением многочлена на множители.

В частности, все формулы сокращенного умножения и есть формулы разложения многочлена на множители.

Для разложения на множители используются:

• формулы сокращенного умножения;
• метод группировки слагаемых;
• вынесение общих множителей;
• выделение полного квадрата.

Алгебраические дроби

Алгебраической дробью называется дробное рациональное выражение, представляющее собой отношение двух многочленов.

Областью допустимых значений алгебраической дроби представляет собой множество всех числовых наборов, кроме тех, которых знаменатель дроби обращает в нуль.

Умножение и деление алгебраических дробей проводится по тем же правилам, что и для обыкновенных дробей.

Если степень числителя алгебраической дроби меньше степени знаменателя, то алгебраическая дробь называется правильной.

Если степень числителя алгебраической дроби  не меньше степени знаменателя, то дробь называется неправильной.

Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной алгебраической дроби.

Иррациональные выражения

Под преобразованием (упрощением) иррационального выражения понимают приведение его к виду, содержащему меньшее число алгебраических операций над входящими в исходное выражение переменными.

Для упрощения иррационального выражения часто разлагают исходное выражение на множители, а затем выносят общий множитель за скобки.

Задания для активного обучения:

9.1.Вычислить а).

Решение:   

9.2.Представьте выражение   в виде степени с рациональным показателем. В ответе укажите показатель степени.

Решение:=       Ответ 1,8. 

9.3.Упростите выражение  

Решение: Раскроем квадрат в знаменателе   

9.4.Найдите значение выражения      при   х=200

Решение:  Нетрудно заметить, что выражение представляет собой разложение куба суммы (одна из формул сокращенного умножения  ).  Итак, свернув по этой формуле, получим

.  Ответ 200.

9.5.Найдите значение выражения    при х<-200.

Решение: Если радикал четной кратности, то   (при n – четном)

    на заданном множестве х<-200 эти модули раскрываются

(3х+12)-(3х-12)=24.

9.6.Упростите выражение      и найдите его значение при х=8;   у=27

Решение:       Подставив значения х и у, получим 1. Ответ 1.

Задания для самостоятельного решения

9.7.Сократите дробь: а); б) ; в) ; г) ; д) ;

е); ж) з) и) ;к) ;

л) ;м) ; н) ;о)

п) ; р) ; с) ; т) ; у) .

9.8. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

 а); б) ;в) ; г) ;д)

9.9.Упростите выражение:

а)  ;  б)     ;

в); г);

д)(2

9.10.Вычислить: а)б) ;

в) ; г)

д)

9.11. Упростите  выражение

а)     б)  

в)    ;   а)  

б)  ;   в)  ;

9.12.Выполнить деление с помощью формул сокращенного умножения:

9.13. Выполнить действия  с помощью формул сокращенного умножения:

а) ;       б) ;    в) ;  

г) , д) ,  

е) .

9.14. Сократите дробь а) б)

9.15. Упростить выражение: ;

9.16. Упростить выражение: при 

9.17.Проверьте равенство:  

9.18.Упростить выражение: а)    ;

б); в);

 с);

9.19.Вычислить.

9.20. Упростите выражение:
а) .

б).

Литература

1.Н.Я. Виленкин и др.Алгебра и математический анализ. 11кл.:Учебное пособие. Просвещение 2010.

2.Г.Н.Запорожец  Руководство к решению задач по математическому анализу

Учебное пособие для студентов вуз

3.А.Г. Мордкович и др.Алгебра и начала математического анализа.8-9,10-11 классы.Ч.1.Учебник. 2011.

4.А.Г. Мордкович и др.Алгебра и начала математического анализа.8-9;10-11классы.Ч.2.Задачник.2011.

5.Г.Н. Яковлев Алгебра и начала анализа (часть2) математика для техникумов Учебник