"Определенный интеграл и его свойства"
учебно-методический материал по математике (10 класс)

Математика  2 курс план урока по теме «Определенный интеграл и его свойства».

Разработчик – преподаватель математики  Абдуллина Р.В.

Тип урока: комбинированный урок

Цели урока:

1. Сформировать умения применять правило вычисления определённого интеграла;
2. Ввести формулу Ньютона-Лейбница;
3. Сформировать умение вывода основных свойств определенного интеграла; отработать навыки вычисления  определенных интегралов.
4. Продолжить формирование у учащихся навыков само и взаимоконтроля.

Структура  урока:

1.Организационный момент.

2.Постановка целей и задач  урока.

3.Актуализация опорных знаний.

4. Изучение нового материала.

5.Закрепление изученного материала.

6.Задание на дом.

7. Итог урока.

Ход урока.

1.Организационный момент

2.Постановка целей и задач  урока. 

Приветствие, сообщение темы и задач урока. Учащиеся записывают тему урока.

3. Актуализация опорных знаний.

  В качестве актуализации опорных знаний предлагается провести небольшую самостоятельную работу с последующей самопроверкой. Рекомендуется организовать работу двух учащихся на обратной стороне доски, а затем учитель комментирует решение и получившиеся ответы.

Работа дифференцированная

4. Изучение нового материала:

План лекции:

1.Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

2.Основные свойства определенного интеграла.

3.Примеры.

Определенным интегралом  в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [а, в], называется приращение любой ее первообразной  F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула  так же  называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

Свойства определенного интеграла.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:  

ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:

1);

2) ;

3) ;

4) ;

5. Закрепление изученного материала.

Работа организуется в парах, с последующей взаимопроверкой.

6.Задание на дом.

Домашнее задание предлагается дифференцированное: 1-5 задания для обязательного выполнения, задания 6*-8* на дополнительную оценку

7. Итог урока.

Учитель дает общую характеристику работы класса и отдельных учащихся, объявляет оценки за работу на уроке.

Приложение:

Ответы к самостоятельной работе:

Ответы к работе в парах:

Свойства определенного интеграла.

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
7. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
8. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
9. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
10. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:  

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тех.

Символ ydx был введен Лейбницем в 1686 г. В нем знак интеграла представляет, как бы удлиненную букву S (первая буква в латинском слове сумма). Термин “интеграл” (от латинского integer – целая, вся – площадь) был предложен в 1696 г. Иоганном Бернулли и одобрен Лейбницем.

К понятию определенного интеграла приводят и другие задачи геометрии, механики и физики, в которых требуется найти предел интегральной суммы.

Обозначение определенного интеграла ввел Ж.Фурье. Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница носит название “основной формулы интегрального исчисления”. Она позволяет сводить сложное вычисление определенных интегралов, т.е. нахождение пределов интегральных сумм, к более простой операции отыскания первообразных.

Дальнейшее развитие интегрального исчисления связано с именем Леонарда Эйлера. Он составил полный курс математического анализа, состоящий из шести книг, три из которых посвятил интегральному исчислению.

Наряду с Эйлером выдающихся результатов в области математического анализа добился крупнейший математик 18 века – Лагранж. Он в 18-летнем возрасте уже занял должность профессора в артиллерийской школе города Турина (Италия), а через пять лет был избран членом Берлинской Академии наук.

Теория интеграла была за тем развита Риманом, который впервые определил необходимые и достаточные условия интегрируемости ограниченной функции. Ему принадлежит общее определение определенного интеграла, поэтому интегральную сумму стали называть “римановской”.

Большой вклад в развитие математического анализа в 19 веке внесли российские ученые Остроградский и Чебышев. Работы Чебышева в последствии продолжил его ученик – Ляпунов, Стеклов, Бернштейн и другие. Проблемы теории интегрального исчисления до сих пор волнуют умы математиков всех стран. Дело Чебышева и Остроградского продолжают ученые современной России.