Методика преподавания интеграла в школе
статья по математике

Методика преподавания интеграла в школе

Как известно, современный этап развития мирового сообщества характеризуется прогрессом в разных областях науки, высокой актуальностью новых технических и технологических идей, широчайшим распространением математических методов в большинстве видов практической деятельности человека. В целом же, математика представляет на практике общие и достаточно точные методы для изучения окружающих человека природных, социальных, экономических и иных явлений. В этой связи, с учетом достаточно быстрого развития возможностей компьютерной обработки данных, повышается и роль математического моделирования, изучаемого в школах.

Одной из самых сложных тем в курсе математики старшей школы является «Интеграл». Вопросы теоретического и практического применения интеграла, методики преподавания данной темы всегда являлись объектом достаточно широкого исследования многих ученых. По сути, изучение первичных понятий и методов математического анализа имеет огромное значение для развития всех учащихся школы, но, при этом, педагогическая практика показывает, что те проблемы, которые возникают при преподавании «интеграла» в школе, не уменьшаются. Знания большого числа школьников по данной теме носят только формальный характер, механический. У них отсутствует структура знаний, не формируется полное представление о понятии «интеграла», не выработаны навыки решения задач. Причинами всех сложившихся проблем и трудностей являются высокая степень «отдаленности» понятий, даваемых в учебниках, от истинны, сложная логическая структура их определений и последовательности, недостаточное время для понимания, и другие факторы. Именно поэтому полноценное успешное изучение раздела «интеграл» в старшей школе зависит от решения всех проблем, которые связаны с правильной постановкой целей изучения курса, тщательным отбором содержания теоретического и дидактического материалов, и методическими приемами, и особенностями данной темы. [1]

По сути, можно сказать, что интеграл принадлежит к числу тех математических понятий, происхождение и развитие которых напрямую связано с решением всех прикладных задач. Данное понятие и построенные на его основе методы применяются в наши дни в самых разных областях деятельности человека, в том числе в таких науках, как: физика, химия, биология, экономика, и так далее. [2] Интеграл – это, безусловно, важнейшее понятие в математическом анализе. Его применяют в тех случаях, когда пытаются найти площадь, которая находится под кривой, когда необходимо найти пройденный путь при неравномерном движении или узнать, какая масса у неоднородного тела, и так далее. Именно поэтому, для наиболее успешного усвоения основных понятий, связанных с разделом «интеграл», необходимо:

1. Вводить все существующие понятия и определения наиболее естественным путем.

2. Как можно чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия.

3. В процессе изучения выявлять связи интеграла с уже известными понятиями.

4. Стараться мотивировать вводимые понятия, термины, определения, увеличивать их значимость.

5. Как можно чаще повторять учащимися известные математические понятия, которые связаны с изучением интеграла.

6. Постоянно следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости, строгости в определении понятий. [3]

7. Перед самым введением понятия интеграла и первообразной целесообразно повторить с учащимися взаимообратные операции. [4] По сути, интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции. Первообразной функция F(x) для функции y=f(x) называется тогда, когда на некотором промежутке (a,b) для любого x∈(a,b) выполняется равенство F′(x)=f(x). [5]

8. Далее важно выдать ученикам рассмотреть таблицу нахождения производных функции.

9. Весьма целесообразно обратить внимание учащихся на то, что интеграл зависит только от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования и не зависит от переменного интегрирования.

10. Для активизации познавательной деятельности учащихся важно предложить самостоятельно доказать некоторые свойства интеграла, а, также, рассмотреть задачи из учебников геометрии и физики, в решении которых используется интеграл. [6]

11. Важно объяснить ученикам, что любые навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать ее достаточно лишь найти необходимые значения. [7]

12. Необходимо продемонстрировать как можно больше примеров решения интегралов, не требовать от учеников скорого понимания и идеального решения, лишь в процессе изучения и решения задач указывая на ошибки.

Необходимо отметить, что интеграл в общеобразовательной школе изучается только в 11 классе. По ФГОС СОШ на базовом уровне на изучение темы отводится 8 часов, рассматриваются темы: «Первообразная», «Определенный интеграл» и проводится контрольная работа. В учебниках базового уровня сначала вводится понятие первообразной, указываются правила отыскания первообразных, составляется их таблица, затем определяется площадь криволинейной трапеции. Далее вводится понятие определенного интеграла, рассматриваются физические задачи на приложение интеграла. В профильных классах так же, как и в классах базового уровня, сначала вводится понятие первообразной, правила отыскания первообразной, составляется таблица первообразных. Так же, определяется понятие неопределенного интеграла, его свойства, рассматриваются методы интегрирования. После определяется площадь криволинейной трапеции через площадь ступенчатой фигуры, понятие определенного интеграла через приращение первообразной и по формуле Ньютона - Лейбница. Обобщается понятие определенного интеграла для неограниченных функций и с бесконечными пределами, вводится интеграл с переменным верхним пределом, указываются свойства определенного интеграла, выражаемыми равенствами и неравенствами, и так далее. [8]

В основном, с самого начала изучения раздела «интеграл», операция интегрирования определяется учителем как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом, не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования в этом случае естественно получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции F(x) имеют вид F(x)+С, где F(x) - первообразная, найденная в таблице. Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона - Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы, однако, при этом, формула Ньютона - Лейбница также оказывается справедливой. [9]

Подводя итоги, можно сказать, что интеграл - это одно из те понятий в школьном курсе математике, которое позволяет найти площадь под кривой, которое помогает вникнуть в изучение математического анализа. Данная тема рассматривается только 11 классе школы, и в разных учебниках по математике прописана своя последовательность, но, при этом, все они структурированы так, чтобы максимально понятно и логично преподать информацию ученикам. В остальном уже дело за самими учителями и учениками. В целом, весьма полезно решать задачи, так как они способствуют лучшему развитию мышления. Например, решение задач с применением определенного интеграла способствуют развитию абстрактного мышления, но, при этом, для решения таких задач необходима база теоретических обобщенных знаний по математике.

Список использованной литературы

1.                 Афанасьева Е.В. Формирование основных понятий на уроках математики, как разновидность логических познавательных УУД, 2020. [Электронный ресурс]: https://nsportal.ru/shkola/matematika/library/2020/01/08/formirovanie-osnovnyh-ponyatiy-na-urokah-matematiki-kak (Дата обращения: 20.06.2020)

2.                 Лукьянова Т.И., Мансурова Е.Р. Интеграл в школьном курсе математики // Физико-математические образование: проблемы и перспективы: сб. статей. – Елабуга: Изд-во Казан. Ун-та, 2017. – С. 51-55.

3.                 Марчук Н.А., Гульманов Н.К., Асетов А.А. Методические особенности преподавания темы «Интеграл» // International scientific review, 2016. – №3. – С. 197-201.

4.                 Справочник. Интегралы. Внесение под знак дифференциала. [Электронный ресурс]: https://spravochnick.ru/matematika/integraly_vnesenie_pod_znak_differenciala/ (Дата обращения: 20.06.2020)

5.                 Справочник. Примеры на решение интегралов. [Электронный ресурс]: https://spravochnick.ru/matematika/primery_na_reshenie_integralov/ (Дата обращения: 19.06.2020)

6.                 Толоконцев А.А. Проект изучения темы «Интеграл» (11 класс). Урок решения ключевых задач по теме «Вычисление площадей с помощью интегралов». [Электронный ресурс]: https://gigabaza.ru/doc/156046-pall.html (Дата обращения: 19.06.2020)

7.                 Улендеева Н.И. Изучение темы «Первообразная и интеграл» с учащимися 11 класса в курсе алгебры и начала математического анализа профильной школы // Самарский научный вестник, 2013. - №2(3) – С.56-58.