«Софизмы в математике» Педагогическая мастерская Сапрыкина М.Ю. ГОУ № 177 Педагогическая мастерская как разновидность проблемного метода обучения
статья по математике (9 класс)

«Софизмы в математике»

Педагогическая мастерская

Сапрыкина М.Ю.

ГОУ № 177

Педагогическая мастерская

 как разновидность проблемного метода обучения

       Интересное исследование было проведено среди студентов гуманитарных факультетов, причем большинство исследуемых окончили школу с хорошими оценками по математике. Исследование показало:

1. Определения математических понятий, даже таких основных, как понятия функции, иррационального числа, логарифмов, через 2-3 года после окончания школы исчезают из памяти выпускников полностью
2. Неосознанные навыки быстро утрачиваются (навыки в выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, в решении квадратных уравнений и т.п.). Лишь те навыки, которые были доведены до автоматизма или сохранили теоретическую основу, надолго остались действенными (приведение подобных членов, умножение многочлена на одночлен)
3. Многие выпускники не обнаружили умения проводить самостоятельно простейшие математические рассуждения.

   «Именно потому, что большинство учеников не будут использовать математику в своей профессии, именно потому, что, быть может, от учителя они слышат последние в своей жизни математические фразы, именно потому важно, чтобы они имели преставление о математике как о науке. И через математику можно передать детям научный стиль деятельности, прежде всего критичность, самостоятельность, добросовестность и ответственность» Это цитата из книги В.И. Рыжика «30000 уроков математики»

В программе по математике идет речь о знаниях и умениях, о навыках. Вводятся различные нормы, критерии, уровни, стандарты. «Высокий статус умения провоцирует школьную математику на обилие упражнений. Все правильно, ученик должен что-то уметь. И одна из бед нашей профессии в том, что «доведение до умения» поглощает практически все время, а на всякие «красивости» и «высокие материи» его почти не остается». Ведь школьный учитель большую часть урока вынужден заниматься подготовкой к контрольной, к ЕГЭ, к вступительным экзаменам – от этого зависит его профессиональная репутация. Однако каждый из нас отдает себе отчет, что дальнейшая учеба выпускника школы, его карьера, профессиональный рост зависят не от количества накопленных знаний, а от его интеллектуальных способностей, умения самостоятельно работать, творческого отношения к знаниям. И именно на уроках математики ребёнок получает ничем не заменимую возможность для естественной и регулярной деятельности преодоления интеллектуальных трудностей, связанных с абстрактным мышлением. Именно математика удовлетворяет двум важнейшим потребностям развивающегося ребенка: потребности в компетентности и потребности в преодолении трудностей. Отсюда, вполне очевидная и очень трудновыполнимая задача учителя: на каждом уроке организовать такую деятельность учеников, в которой они вынуждены творить, быть может, не замечая этого.

    Обычно, говоря о воспитании творческих способностей, имеют в виду проблемное обучение, эвристические приёмы в работе. Педагогическая мастерская является разновидностью проблемного метода обучения. Это такая форма обучения, которая дает возможность каждому участнику получать новые знания и умения в процессе самостоятельного или коллективного открытия. Творческий процесс в мастерской является главным методологическим средством достижения цели образования: открытия закона, формулирования правил, создания текста, накопления фактических знаний. В урочной системе, как правило, проблемы определяются учителем. На обычном уроке ученик приводится учителем к новому понятию логично, постепенно, многоступенчато и доказательно, а в системе мастерских учитель исподволь так организует работу учащихся, что они, сталкиваясь с проблемой, вынуждены сами искать пути её решения. В мастерской самостоятельный вывод, обобщение, закономерность или новый образ появляются чаще всего как прозрение. Происходит восхождение от старого знания к новому. Озарение – психологическое состояние участника мастерской, при котором ему внезапно открывается новое видение предмета, закона, явления, образа, отношения. «Озарение» - необходимый и важнейший элемент мастерской, её ядро. Восхождение заранее планируется руководителем мастерской. Технология создания условий для него состоит в подборе парадоксального содержания, предлагаемого участникам мастерской для осмысления. Переживание парадокса приводит мысль и эмоции исследователя сначала к состоянию тупика. Затем к поиску выхода из тупика и, наконец, к озарению или мыслительному восхождению. Значительный элемент неопределенности, неясности, даже загадочности в заданиях рождает с одной стороны интерес, а с другой – психологический дискомфорт, желание выйти из которого стимулирует творческий процесс. Но при этом задание должно быть приближено к потребностям учащихся, опираться на их имеющийся опыт, т.е. предлагаемый для постановки проблемы материал должен быть в зоне понимания учащихся. В общем алгоритме проведения мастерских этап появления какой-либо проблемы или противоречия называется фазой индукции.

    После постановки какой-либо задачи, столкновения с противоречием начинается анализ материала, индивидуальная или групповая работа с ним, поиск ответов на появившиеся вопросы. Очень важным качеством мастерской является сотрудничество её участников и их совместное творчество, самым ценным качеством мастерской является диалог всех её участников. Обсуждаются все идеи и пути решения, происходит обмен мнениями, знаниями, творческими находками между участниками мастерской, чему содействует чередование индивидуальной, групповой деятельности и работы в парах. Диалог – это двусторонний педагогический процесс, вовлекающий всех его участников в совместный поиск, это главный принцип взаимодействия, сотрудничества. Не спор, даже не дискуссия, а диалог участников мастерской, отдельных групп. Диалог с самим собой – необходимое условие личностного освоения, осознания новых знаний. Диалог создает в мастерской благотворную атмосферу постижения любого явления с разных позиций, в диалоге рождается коммуникативная культура. Этот этап в работе мастерской носит название социализация. На этом этапе мастерской дети учатся искать в других работах положительные, интересные, отличные от их собственных наблюдений и выводов, моменты. Задача руководителя мастерской - создание такой атмосферы в процессе работы, чтобы каждый её участник чувствовал себя комфортно и свободно, осознавал себя способным, равноправным и понимал, что каждый внес свой посильный вклад в общее дело.

    Деятельность каждого участника мастерской имитирует метод «проб и ошибок», но реализуется по строгим правилам мастерской. Вот как их формулирует Мухина И.А.:

1. Равенство всех участников, включая педагога
2. Ненасильственное вовлечение в процесс деятельности
3. Отсутствие оценки
4. Отсутствие соперничества, соревнования
5. Чередование индивидуальной и групповой работы
6. Важность не столько результата творчества, Сколько самого процесса
7. Разнообразие используемого материала
8. Ответственность каждого за свой выбор

    Соблюдение этих правил гарантирует нравственную работу каждого участника мастерской и создает условия необходимые для творчества.

    В психологии различают два типа рефлексивных процессов: авторефлексию, то есть осознание собственных мыслей, чувств, поступков, и рефлексию как отражение того, о чем думает другой человек. В педагогической мастерской постоянно действуют оба типа  рефлексии. Однако рефлексивная деятельность обоих типов протекает для каждого участника мастерской своеобразно (не синхронно, индивидуально)  В ходе мастерской происходит постоянное чередование  спонтанной деятельности и её последующего осознания. Это сближает данный процесс с процессом настоящего научного и художественного открытия. Рефлексия является универсальным психологическим механизмом изменения и развития сознания человека. На этапе рефлексии участники рассказывают о своих чувствах и впечатлениях, делятся положительными и отрицательными эмоциями. Одно из замечательных качеств мастерской – то ощущение свободы, творчества и полноценной жизни, которое переживают и запоминают её участники. У детей повышается мотивация, интерес к предмету, развивается креативное мышление. Подробнее о педагогических мастерских можно прочитать в работах Окунева

Мастерская – данная технология позволяет научить учащихся самостоятельно формулировать цели урока, находить наиболее эффективные пути для их достижения, развивает интеллект, способствует приобретению опыта групповой деятельности. Мастерская схожа с проектным обучением, потому что есть проблема, которую надо решить. Педагог создаёт условия, помогает осознать суть проблемы, над которой надо работать. Учащиеся формулируют эту проблему и предлагают варианты её решения. В качестве проблем могут выступать различные типы практических заданий.

Педагогическая мастерская «Софизмы в математике», проведенная мной для учителей района легла в основу Круглого стола, а затем этот опыт был обобщен в сборнике НМЦ

Аннотация к педагогической мастерской «Софизмы в математике»

    В начале 13 века в городе Пиза жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Фибоначчи. Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который впоследствии оказался полезным в науке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…

Закон образования членов этого ряда очень прост: первые два члена – единицы, а каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удовлетворяет одному из уравнений:

x2- xy - y2=1 или x2- xy -y2= -1

    Ряд Фибоначчи известен не только математикам, но и природоведам. Если листья на ветке сидят одиноко, то они всегда располагаются кругом стебля, но не по окружности, а по винтовой линии. При этом для каждого растения характерен свой угол расхождения двух соседних листьев, который, как утверждают ботаники, сохраняется также в расположении веток, почек, чешек, цветов. Так, у липы и вяза угол расхождения листьев составляет окружности; у бука - , у дуба и вишни - , у тополя и груши - .

    Ряд числителей и ряд знаменателей здесь - числа Фибоначчи.

    С числами Фибоначчи косвенно связан занятный геометрический парадокс. Совершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, прикладывая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных положений, на которых строится вся теория измерения площадей.

Используемая литература:

Кордемский  Б.А.  Математическая смекалка.  М.: Наука, 1965

Рыжик В.И.   3000 уроков математики.  М.: Просвещение,  2003

        План проведения мастерской.        

1.Участники мастерской получают квадрат со стороной 8см., разрезанный на два равных треугольника и на две равных трапеции. Учитель предлагает составить простейшие геометрические фигуры, используя все четыре части квадрата и найти площадь составленных фигур.

2.Учитель обращает внимание учащихся на разные значения площадей полученных фигур.

3.Учитель предлагает учащимся объяснить появление лишней единицы в значении площади прямоугольника.

4.Рассматриваются различные способы доказательства того, что линии EHP и EFP- ломаные.

5.Учитель задает вопрос о разрешимости этой задачи. Можно ли разделить квадрат на части так, чтобы его площадь совпала с площадью прямоугольника?

Только при таком иррациональном отношении частей x и y стороны квадрата на два равных треугольника и две равные трапеции возможно полноценное превращение квадрата в прямоугольник. При рациональных значениях x и y разность между площадями не может равняться нулю. При целых значениях x и y наименьшая возможная разность между площадями 1. Эта наименьшая разность достигается, если в качестве значений x и y брать пару рядом стоящих чисел Фибоначчи (в данном случае x=5, y=3), так как именно они удовлетворяют одному из уравнений

 x2- xy -y2=1 или x2- xy -y2= -1

Данная мастерская может быть применена при изучении различных тем школьного курса геометрии.

РЯД ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

1. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ

         Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то  осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все  сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и  для порождения золотого  сечения  пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Задание для самостоятельной работы

Постарайтесь объяснить появление «лишнего» квадрата.

«Софизмы в математике»

Педагогическая мастерская

Сапрыкина М.Ю.

ГОУ № 177

Педагогическая мастерская

 как разновидность проблемного метода обучения

       Интересное исследование было проведено среди студентов гуманитарных факультетов, причем большинство исследуемых окончили школу с хорошими оценками по математике. Исследование показало:

1. Определения математических понятий, даже таких основных, как понятия функции, иррационального числа, логарифмов, через 2-3 года после окончания школы исчезают из памяти выпускников полностью
2. Неосознанные навыки быстро утрачиваются (навыки в выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений, в решении квадратных уравнений и т.п.). Лишь те навыки, которые были доведены до автоматизма или сохранили теоретическую основу, надолго остались действенными (приведение подобных членов, умножение многочлена на одночлен)
3. Многие выпускники не обнаружили умения проводить самостоятельно простейшие математические рассуждения.

   «Именно потому, что большинство учеников не будут использовать математику в своей профессии, именно потому, что, быть может, от учителя они слышат последние в своей жизни математические фразы, именно потому важно, чтобы они имели преставление о математике как о науке. И через математику можно передать детям научный стиль деятельности, прежде всего критичность, самостоятельность, добросовестность и ответственность» Это цитата из книги В.И. Рыжика «30000 уроков математики»

В программе по математике идет речь о знаниях и умениях, о навыках. Вводятся различные нормы, критерии, уровни, стандарты. «Высокий статус умения провоцирует школьную математику на обилие упражнений. Все правильно, ученик должен что-то уметь. И одна из бед нашей профессии в том, что «доведение до умения» поглощает практически все время, а на всякие «красивости» и «высокие материи» его почти не остается». Ведь школьный учитель большую часть урока вынужден заниматься подготовкой к контрольной, к ЕГЭ, к вступительным экзаменам – от этого зависит его профессиональная репутация. Однако каждый из нас отдает себе отчет, что дальнейшая учеба выпускника школы, его карьера, профессиональный рост зависят не от количества накопленных знаний, а от его интеллектуальных способностей, умения самостоятельно работать, творческого отношения к знаниям. И именно на уроках математики ребёнок получает ничем не заменимую возможность для естественной и регулярной деятельности преодоления интеллектуальных трудностей, связанных с абстрактным мышлением. Именно математика удовлетворяет двум важнейшим потребностям развивающегося ребенка: потребности в компетентности и потребности в преодолении трудностей. Отсюда, вполне очевидная и очень трудновыполнимая задача учителя: на каждом уроке организовать такую деятельность учеников, в которой они вынуждены творить, быть может, не замечая этого.

    Обычно, говоря о воспитании творческих способностей, имеют в виду проблемное обучение, эвристические приёмы в работе. Педагогическая мастерская является разновидностью проблемного метода обучения. Это такая форма обучения, которая дает возможность каждому участнику получать новые знания и умения в процессе самостоятельного или коллективного открытия. Творческий процесс в мастерской является главным методологическим средством достижения цели образования: открытия закона, формулирования правил, создания текста, накопления фактических знаний. В урочной системе, как правило, проблемы определяются учителем. На обычном уроке ученик приводится учителем к новому понятию логично, постепенно, многоступенчато и доказательно, а в системе мастерских учитель исподволь так организует работу учащихся, что они, сталкиваясь с проблемой, вынуждены сами искать пути её решения. В мастерской самостоятельный вывод, обобщение, закономерность или новый образ появляются чаще всего как прозрение. Происходит восхождение от старого знания к новому. Озарение – психологическое состояние участника мастерской, при котором ему внезапно открывается новое видение предмета, закона, явления, образа, отношения. «Озарение» - необходимый и важнейший элемент мастерской, её ядро. Восхождение заранее планируется руководителем мастерской. Технология создания условий для него состоит в подборе парадоксального содержания, предлагаемого участникам мастерской для осмысления. Переживание парадокса приводит мысль и эмоции исследователя сначала к состоянию тупика. Затем к поиску выхода из тупика и, наконец, к озарению или мыслительному восхождению. Значительный элемент неопределенности, неясности, даже загадочности в заданиях рождает с одной стороны интерес, а с другой – психологический дискомфорт, желание выйти из которого стимулирует творческий процесс. Но при этом задание должно быть приближено к потребностям учащихся, опираться на их имеющийся опыт, т.е. предлагаемый для постановки проблемы материал должен быть в зоне понимания учащихся. В общем алгоритме проведения мастерских этап появления какой-либо проблемы или противоречия называется фазой индукции.

    После постановки какой-либо задачи, столкновения с противоречием начинается анализ материала, индивидуальная или групповая работа с ним, поиск ответов на появившиеся вопросы. Очень важным качеством мастерской является сотрудничество её участников и их совместное творчество, самым ценным качеством мастерской является диалог всех её участников. Обсуждаются все идеи и пути решения, происходит обмен мнениями, знаниями, творческими находками между участниками мастерской, чему содействует чередование индивидуальной, групповой деятельности и работы в парах. Диалог – это двусторонний педагогический процесс, вовлекающий всех его участников в совместный поиск, это главный принцип взаимодействия, сотрудничества. Не спор, даже не дискуссия, а диалог участников мастерской, отдельных групп. Диалог с самим собой – необходимое условие личностного освоения, осознания новых знаний. Диалог создает в мастерской благотворную атмосферу постижения любого явления с разных позиций, в диалоге рождается коммуникативная культура. Этот этап в работе мастерской носит название социализация. На этом этапе мастерской дети учатся искать в других работах положительные, интересные, отличные от их собственных наблюдений и выводов, моменты. Задача руководителя мастерской - создание такой атмосферы в процессе работы, чтобы каждый её участник чувствовал себя комфортно и свободно, осознавал себя способным, равноправным и понимал, что каждый внес свой посильный вклад в общее дело.

    Деятельность каждого участника мастерской имитирует метод «проб и ошибок», но реализуется по строгим правилам мастерской. Вот как их формулирует Мухина И.А.:

1. Равенство всех участников, включая педагога
2. Ненасильственное вовлечение в процесс деятельности
3. Отсутствие оценки
4. Отсутствие соперничества, соревнования
5. Чередование индивидуальной и групповой работы
6. Важность не столько результата творчества, Сколько самого процесса
7. Разнообразие используемого материала
8. Ответственность каждого за свой выбор

    Соблюдение этих правил гарантирует нравственную работу каждого участника мастерской и создает условия необходимые для творчества.

    В психологии различают два типа рефлексивных процессов: авторефлексию, то есть осознание собственных мыслей, чувств, поступков, и рефлексию как отражение того, о чем думает другой человек. В педагогической мастерской постоянно действуют оба типа  рефлексии. Однако рефлексивная деятельность обоих типов протекает для каждого участника мастерской своеобразно (не синхронно, индивидуально)  В ходе мастерской происходит постоянное чередование  спонтанной деятельности и её последующего осознания. Это сближает данный процесс с процессом настоящего научного и художественного открытия. Рефлексия является универсальным психологическим механизмом изменения и развития сознания человека. На этапе рефлексии участники рассказывают о своих чувствах и впечатлениях, делятся положительными и отрицательными эмоциями. Одно из замечательных качеств мастерской – то ощущение свободы, творчества и полноценной жизни, которое переживают и запоминают её участники. У детей повышается мотивация, интерес к предмету, развивается креативное мышление. Подробнее о педагогических мастерских можно прочитать в работах Окунева

Мастерская – данная технология позволяет научить учащихся самостоятельно формулировать цели урока, находить наиболее эффективные пути для их достижения, развивает интеллект, способствует приобретению опыта групповой деятельности. Мастерская схожа с проектным обучением, потому что есть проблема, которую надо решить. Педагог создаёт условия, помогает осознать суть проблемы, над которой надо работать. Учащиеся формулируют эту проблему и предлагают варианты её решения. В качестве проблем могут выступать различные типы практических заданий.

Педагогическая мастерская «Софизмы в математике», проведенная мной для учителей района легла в основу Круглого стола, а затем этот опыт был обобщен в сборнике НМЦ

Аннотация к педагогической мастерской «Софизмы в математике»

    В начале 13 века в городе Пиза жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Фибоначчи. Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который впоследствии оказался полезным в науке: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…

Закон образования членов этого ряда очень прост: первые два члена – единицы, а каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удовлетворяет одному из уравнений:

x2- xy - y2=1 или x2- xy -y2= -1

    Ряд Фибоначчи известен не только математикам, но и природоведам. Если листья на ветке сидят одиноко, то они всегда располагаются кругом стебля, но не по окружности, а по винтовой линии. При этом для каждого растения характерен свой угол расхождения двух соседних листьев, который, как утверждают ботаники, сохраняется также в расположении веток, почек, чешек, цветов. Так, у липы и вяза угол расхождения листьев составляет окружности; у бука - , у дуба и вишни - , у тополя и груши - .

    Ряд числителей и ряд знаменателей здесь - числа Фибоначчи.

    С числами Фибоначчи косвенно связан занятный геометрический парадокс. Совершенно очевидно, что если какую-либо плоскую фигуру разрезать на несколько частей, затем, прикладывая полученные части друг к другу (но не накладывая одну на другую), образовать новую фигуру, то по форме новая фигура может отличаться от первоначальной, но площадь ее должна остаться прежней. Это очевидное утверждение считается в геометрии одним из тех первичных положений, на которых строится вся теория измерения площадей.

Используемая литература:

Кордемский  Б.А.  Математическая смекалка.  М.: Наука, 1965

Рыжик В.И.   3000 уроков математики.  М.: Просвещение,  2003

        План проведения мастерской.        

1.Участники мастерской получают квадрат со стороной 8см., разрезанный на два равных треугольника и на две равных трапеции. Учитель предлагает составить простейшие геометрические фигуры, используя все четыре части квадрата и найти площадь составленных фигур.

2.Учитель обращает внимание учащихся на разные значения площадей полученных фигур.

3.Учитель предлагает учащимся объяснить появление лишней единицы в значении площади прямоугольника.

4.Рассматриваются различные способы доказательства того, что линии EHP и EFP- ломаные.

5.Учитель задает вопрос о разрешимости этой задачи. Можно ли разделить квадрат на части так, чтобы его площадь совпала с площадью прямоугольника?

Только при таком иррациональном отношении частей x и y стороны квадрата на два равных треугольника и две равные трапеции возможно полноценное превращение квадрата в прямоугольник. При рациональных значениях x и y разность между площадями не может равняться нулю. При целых значениях x и y наименьшая возможная разность между площадями 1. Эта наименьшая разность достигается, если в качестве значений x и y брать пару рядом стоящих чисел Фибоначчи (в данном случае x=5, y=3), так как именно они удовлетворяют одному из уравнений

 x2- xy -y2=1 или x2- xy -y2= -1

Данная мастерская может быть применена при изучении различных тем школьного курса геометрии.

РЯД ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

1. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ

         Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то  осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все  сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций и  для порождения золотого  сечения  пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Задание для самостоятельной работы

Постарайтесь объяснить появление «лишнего» квадрата.