Математика и искусство
статья по математике (5, 6 класс)

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

Роль математики в нашем мире не ограничивается школьной дисциплиной или практическими подсчетами, более того, ее сфера влияния гораздо шире, чем у других наук. Учащиеся хорошо понимают связь математики с предметами естественнонаучного цикла: ее применяют в физике, химии и биологии. Тем важнее подчеркнуть гораздо менее очевидную связь между математикой и искусством, и, говоря шире, человеческими представлениями о гармонии, принципами эстетического восприятия.

Нельзя с точностью сказать, когда человек начал задаваться вопросом, почему тот или иной предмет считается красивым и что является основой прекрасного. Однако несомненно, что в древнейших цивилизациях Египта и Месопотамии этот вопрос ставился уже систематически. Все, что нам о них известно, стало достоянием человечества: письменность (реконструируемая с большим трудом), произведения искусства (немногие уцелевшие среди песков) и достижения математики, прошедшие затем через Древнюю Грецию и арабский Восток и составляющие сейчас значительную часть школьного курса математики.

В Древней Греции родилось представление о том, что основой прекрасного, да и вообще основой мироздания, является гармония. Единственная на тот момент строгая наука дала возможность представить мир, который нельзя было увидеть или измерить. Средствами математики были описаны и свойства прекрасного: пропорции человеческого тела, формы архитектуры, ритм стиха. Математика дает три основных категории для понимания искусства – симметрию, форму и пропорциональность. Именно на основе этих понятий можно показать учащимся неразрывную связь математики с искусством и принципами человеческого восприятия. Остановимся подробнее на каждом из них.

Симметрия

В переводе с греческого «симметрия» означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Искусствоведение понимает ее чуть шире – как соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в органическом единстве. Очень точно сказал о симметрии в искусстве немецкий математик Герман Вейль (1885–1955): «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Симметрия естественным образом заложена в устройстве нашего органа зрения, в строении нашего мозга и всего тела. Не удивительно, что симметрия и пропорции человеческого тела, служившего эталоном красоты, были перенесены в скульптуру, живопись, архитектуру, даже в музыку и литературу. Можно объяснить это с практической точки зрения: симметричные объекты хорошо служат своей цели – они обладают большой устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Но коль скоро речь идет о человеке, решающую роль нужно отвести мышлению. Любопытно, что изобретение гончарного круга вовсе не было началом производства керамики – это сравнительно позднее достижение. Более того, оно не было обязательным условием производства предметов круглой формы: их может сделать даже ребенок из глиняного жгута. Гончарный круг был необходим для того, чтобы сделать эту круглую форму идеальной. Человеческому глазу нужна была идеальная симметрия, ибо симметрия – это порядок, а порядок – это спокойствие. Чем совершеннее порядок, тем спокойнее и увереннее чувствует себя человек. Так на многие века установилось правило: красиво и удобно то, что симметрично.

В сознании древних греков симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности и красоты. Древние архитекторы не отступали от симметрии в своих проектах. Она господствовала не только в архитектуре и скульптуре, но и в быту, в декоративно-прикладном искусстве – от посуды, одежды и орнаментов до планов целых городов. Те же закономерности существуют вокруг нас и по сей день.

Симметрия часто используется в таком виде искусства, как музыка. «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении частей музыкального произведения, – писал в 1908 г. известный русский физик Г. В. Вульф, – Правильное же повторение сущность симметрии». Многие музыкальные формы строятся симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (от фр. rond – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь с эпизодами различного содержания. В теории музыки (основах композиции) известны различные симметрические формы, заметные в нотной записи. Есть еще и такой вид симметрии, когда нотный лист как бы ставится на голову – и в таком виде эту музыку поют или играют. (А какая экономия бумаги!) Симметрия прослеживается и в танцах, особенно в балете. Здесь повторение однотипных движений порождает эстетический эффект.

Все эти примеры показывают, что симметрия лежит в основе человеческого восприятия.

Тема «Симметрия» изучается в восьмом классе, однако на ее изучение отводится недостаточное количество часов, и поэтому целесообразно предложить ученикам самостоятельно продолжить изучение этой темы, используя исследовательскую и проектную деятельность.

Пропорциональность

 В Древней Греции задачи архитектуры решались исключительно посредством геометрии. Архитектор должен был быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным.

Можно ли «поверить алгеброй гармонию»? «Да, – считал Леонардо да Винчи и указал, как это сделать. – Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле». Золотым сечением (делением) и даже «божественной пропорцией» называли в древности и средневековье деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8. Так как соразмерность, выражаемая числом φ, по свидетельству многих исследователей наиболее приятна для глаза, то художники и архитекторы стремились использовать золотое сечение при создании своих творений. Сам термин «золотое сечение» принадлежит Леонардо да Винчи. Многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции.

Например, в большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении, близком к φ. А выбирая размеры самой картины, художники старались приблизить отношение ширины к высоте к φ. На знаменитой картине И. И. Шишкина «Сосновая роща» с очевидностью просматриваются эти пропорции. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

«Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не подозревая» – сказал Г. Лейбниц. И действительно, в 1925 году искусствовед Л. Л. Сабанеев, проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причем, чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. У Аренского, Бетховена, Бородина, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена и Шуберта золотые сечения найдены в 90% всех произведений. По мнению Л. Л. Сабанеева, золотое сечение свидетельствует о стройности музыкального сочинения. Эту же особенность отметил советский музыковед Л. Мазель, заметив, что композиция многих музыкальных произведений содержит высшую точку, кульминацию, которая не размещается в середине произведения, а смещена и находится как раз в точке золотого сечения. Такое расположение кульминации придаёт особую выразительность и гармоничность композиции произведения, а также облегчает восприятие.

В последние десятилетия на базе представлений о пропорциональности, золотом сечении и числах Фибоначчи сложилось особое направление научной мысли – математика гармонии.

В школьном курсе математики понятие пропорции вводится в шестом классе, там же целесообразно познакомить ребят и с золотым сечением. В качестве примера мне бы хотелось предложить фрагмент урока, на котором учащимся предлагалось выбрать из двух одинаковых по сюжету картинок ту, которая больше понравилась. Один объект изображался по правилу золотого сечения, а при изображении второго пропорции нарушались. Затем выбранные объекты изучались с точки зрения пропорциональности. Так как многие ребята увлекаются фотографией, можно познакомить их с композиционным правилом золотого сечения, которое позволит улучшить качество снимков и предложить сделать фотографии, используя это правило.

Форма

Математик легко может представить архитектурное сооружение как чертеж, состоящий из различных геометрических форм. Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Современные архитекторы предпринимают попытки строить здания в виде шара –  наиболее симметричной и совершенной формы. Некоторые художники представляют шарообразными города будущего. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, знаменитое здание военного ведомства США носит название «Пентагон», что означает «пятиугольник».

В современной архитектуре от конструктивизма до стиля “high-tech”, где вся конструкция открыта для обозрения, мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя пространство сооружения. Интереснейшими примерами здесь могут служить Эйфелева башня в Париже и телебашня на Шаболовке.

Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов, причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Однополостный гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси.

Башня построена по проекту замечательного инженера В. Г. Шухова. Сетчатые оболочки Владимира Шухова произвели фурор в 1896 году и стали родоначальниками стиля, который в последнее время получил мощнейший импульс. Так, в последние два десятилетия самые фантастические проекты реализуются практически только на основе сетчатых оболочек.

Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы или, например, здание Кремлевского дворца съездов, созданные из стекла и бетона. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях XX века. Они обеспечивают высокую степень прочности зданий.

В современной архитектуре используются и другие, порой причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности. Чтобы представить эти поверхности, достаточно обратиться к зданиям, возведенным Антонио Гауди – испанским архитектором, известным своими причудливо-фантастическими работами.

Этот материал служит прекрасным дополнением к уроку, на котором изучается гипербола и парабола, причем однополостной гиперболоид очень прост в изготовлении, и ребятам можно предложить сконструировать башню Шухова прямо на уроке.

Современный мир и современное искусство

В заключение хочется обратиться к современности. Современное, или так называемое актуальное искусство, мода, дизайн, архитектура почти повсеместно делают выбор в пользу асимметрии. Как это ни парадоксально, именно представление о математической гармонии дает нам возможность понять это искусство всерьез, как искусство в собственном смысле слова.