Доклад "Математика и искусство"
статья по геометрии по теме

Математика - самая надежная форма пророчества.

В. Швебель

Математика и искусство

Математика соблюдает пристрастие к строгому дисциплинарному мышлению. Но ещё в начале XIX века её считали самой гуманитарной наукой, и до сих пор её называют искусством. Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая – аналитическая, вторая – эмоциональная. Однако, есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой. Вообще-то не существует каких-либо правил или ограничений на использование различных тем в математическом искусстве. Однако есть несколько тем, которые достаточно часто используются различными художниками. Среди них есть использование многогранников, лент Мебиуса, искаженных или необычных систем перспективы, а также фракталов. Когда раскрывается эффективность применения математических методов в различных областях науки, культуры, искусства, не ущемляется роль математики, не подменяется другими предметами, а, наоборот, повышается интерес к предмету, выявляется высокое значение математики, процесс познания её делается увлекательным.

На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни. Я решила расширить представление о сферах применения математики.

1. Выдающиеся люди в истории математического изобразительного искусства

Голландский художник М.К. Эшер (1898–1972) в некотором роде является отцом математического искусства. Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Большинство идей, часто используемых современными математическими художниками, были использованы Эшером, и его работы часто являются источником вдохновения для современных авторов. Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Платон (427–348 до н.э.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Однако открыты они были раньше Платона, и детали открытия правильных многогранников остаются загадкой. Платон соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь – тетраэдр, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр, земля – куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил Мир, это додекаэдр. Архимед (290/280–212/211 до н.э.) описал 13 полуправильных многогранников. Так же как правильные многогранники называют Платоновыми, полуправильные многогранники называют архимедовыми. Записи Архимеда об этих многогранниках были утеряны вместе с фигурами многогранников. Они были открыты вновь лишь в эпоху Ренессанса. Леонардо да Винчи (1452–1519) известен своими достижениями в качестве изобретателя и художника. В его записных книгах содержатся первые из известных примеров анаморфного искусства, использующего искаженные сетки перспективы. Его наклонные анаморфные изображения представляют объекты, которые должны рассматриваться по углом, чтобы они выглядели неискаженными. Иоганн Кеплер (1580–1630) более известен своими работами в астрономии, но также имел большой интерес к многогранникам. В своей книге он опубликовал примеры заполнения плоскости плитками в виде правильных и звездчатых многоугольников в дополнение к многогранникам, о которых было сказано выше. Коломан Мозер (1868–1918) – художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. Он исполнил пару тесселляций в виде рыб в период 1899–1900 гг. Макс Биль (1908–1994) – художник-график и скульптор, обучавшийся в Баухаузе, создавал скульптуры, основанные на ленте Мебиуса, многие из которых выставлены в общественных местах. Бенуа Мандельброт  – математик, в значительной степени ответственный за формализацию и популяризация концепции фракталов. Он открыл множество Мандельброта, наиболее известный фрактальный объект. Он также изобрел термин «фрактал», полученный из латинского слова «fractus», означающий «разбитый на куски», «сломанный».

2. Общие темы в математическом искусстве

Темы, наиболее часто использующиеся в математическом изобразительном искусстве, включают в себя использование многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов и искаженных перспектив. Отдельные работы часто включают в себя одновременно несколько тем. Каждая из этих тем приведена ниже с описанием и примерами использования.

2.1 Многогранники

Многогранник – это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников.  Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера.

2.2 Невозможные фигуры

Невозможные фигуры – эти фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении зритель понимает, что такая фигура не может существовать в трехмерном пространстве. На самом деле все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Так, все объекты, нарисованные на бумаге, являются проекциями трёхмерных объектов, следовательно, можно создать такой трёхмерный объект, который при проецировании на плоскость будет выглядеть невозможным. При взгляде на такой объект из определённой точки он также будет выглядеть невозможным, но при обзоре с любой другой точки эффект невозможности будет теряться.  «Отцом» невозможных фигур является шведский художник Оскар Реутерсвард. Одним из примеров невозможной фигуры служит картина современного венгерского художника Иштвина Ороса. Istvan Orosz «Перекрестки» (1999). Репродукция гравюры по металлу. На картине изображены мосты, которые не могут существовать в трехмерном пространстве. Например, есть отражения в воде, которые не могут быть исходными мостами. Направление в изобразительном искусстве, нацеленное на изображение невозможных фигур, называется имп-арт. Наиболее известное использование невозможных фигур в массовой культуре – логотип автоконцерна «Рено»

2.3 Лента Мебиуса

Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, перекрутив один из концов полоски, а затем склеив оба конца друг с другом. Эшер изобразил ленту Мебиуса на работах «Всадники» (1946), «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)» (1963) и «Узлы» (1965). Позднее, поверхности минимальной энергии стали вдохновением для многих математических художников. Брент Коллинз, использует ленты Мебиуса и поверхности минимальной энергии, а также другие виды абстракций в скульптуре.

3. Золотое сечение в математике

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a:b = c:d  Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:

• на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a: b = b: c или с: b = b: а.

3.1 Золотое сечение в искусстве

Древнейшим литературным памятником, в котором встречается «Золотое сечение», являются «Начала» Евклида (3 в. до н.э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н.э.). Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор. Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в математике, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга «Божественная пропорция», а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов. В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались, чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой пропорции.

Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Знание законов золотого сечения или непрерывного деления, как его называют некоторые исследователи учения о пропорциях, помогают художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого сечения, можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения, даже если оно создавалось на основе творческой интуиции. Эта сторона дела имеет немаловажное значение при изучении классического наследия и при искусствоведческом анализе произведений всех видов искусств.

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете». Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

Заключение

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен. Математическое изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы.

Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.

Литература

1. А. Азевич «Двадцать уроков гармонии» – М., Школа-Пресс, 1998
2. А.В. Волошинов «Математика и искусство», – М, Просвещение, 2000.
3. Н. Васютинский «Золотая пропорция» – М., Молодая гвардия, 1990
4. Д. Пидоу «Геометрия и искусство» – М., Мир, 1989
5. Энциклопедический словарь юного математика – М., 1989
6. Журнал «Математика в школе», 1994, №2, №3
7. Б.В. Раушенбах «Математика и искусство» (выступление на Суздале – 96)
8. Журнал «Наука и техника» Воробьёв Н.Н. «Чичла Фибоначчи» – М. Наука
9. Математика «Я познаю мир». Аванта+ 1998
10. «Электронная энциклопедия Кирилла и Мефодия»
11. Энциклопедический словарь юного математика
12. Михалкович В.И. Стигнеев В.Г. «Поэтика фотографии» М. Искусство

искусство математика золотой пропорция

Размещено на Allbest.ru