мастер-класс "Математика - язык"
учебно-методический материал по математике

Лукина Е.М. учитель математики

МБОУ Красноборской средней общеобразовательной школы

 Мастер класс

Есть проблема? Нет проблем!

Фокус группа:  не математики 4 человека.

Добрый день уважаемые коллеги! Добрый день. уважаемое жюри!

Лукина Елена Михайловна, учитель математики. И говорить мы с  вами будем о математике.

Звонок на телефон.

 «Вы знаете, мне только что сообщили, что я выиграла 50 000 руб.  Но сказали, что я получу не все деньги. Вычитают подоходный налог.  Какую сумму я получу на руки?»  

     Вы мне поможете посчитать? (50 000:100) * 13 = 500*13 = 6 500 – подоходный налог. 50 000- 6 500 = 43 500

    Спасибо. А как вы думаете, что такое математика?        Ответы.    

Важно ли уметь правильно говорить на уроках математики? Правильно формулировать определения?       Ответы.

Математика   =   язык.

Математика – особый язык. Конечно он где-то искусственный, создан для описания математических действий, но владеть им такое счастье. Вот я говорю слово бабочка. Какую бабочку вы представляете?  Ответы.

    Я представляю бабочку Морфо Менелай. Это голубая бабочка. Просто голубой мой любимый цвет. Все мы представляем разных бабочек. Математический язык он другой, в нем все определения однозначны.  

     Нарисуйте треугольник и окружность. Дайте определение треугольника и окружности.

    Треугольник – геометрическая фигура, состоящая  из трёх точек, не лежащих на одной прямой,  попарно соединенных отрезками.

     Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

     Можно сделать вывод, что математический язык учит внимательно относится к слову.

    Очень важно формулировать математические определения на основе только известных понятий. В определениях треугольника и окружности используем понятия точки, отрезка. Определение отрезка есть в нашем учебнике геометрии. Это часть прямой. А вот что такое точка?  В нашем учебнике нет определения точки, да и прямой тоже. Получается определения в геометрии  не точные. Предлагаю вам определения из Начал Евклида.

Но к математическим понятиям можно прийти через рассуждения.

Фокус группа: попробуйте дать определение математического понятия.

Цепочка рассуждений.

С давних пор человек наблюдал явление симметрии в природе. Крылья бабочек, зеркально повторяющие друг друга, симметричны. Морская звезда – пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка. Даже такие крошечные образования, как снежинки, регулируются законами симметрии. Симметрия пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области – от объектов архитектуры до предметов повседневного обихода. Симметрия окружающего нас мира находит отражение в искусстве, например, в работах голландского художника и графика М. Эшера. Человек не может не восхищаться красотой симметрии. Математика изучает свойства симметрии на плоскости и в пространстве, например, симметрию правильных многогранников.

 Понятие: «Симметрия». Симметрия – это соразмерность, одинаковость  расположения частей чего-нибудь по разные стороны точки, прямой или плоскости.

Цитата: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство» Герман Вейль, немецкий математик и физик (1885-1955)

Вернемся к моей задаче про проценты, не дает мне покоя сумма, которую я смогу потратить. Попробуйте на основе предложенного кроссенса прийти  к понятию, которое нужно вставить в высказывание.

Цепочка рассуждений.

Понятие процента основано на понятиях доли и дроби. С дробями мы встречаемся в жизни на каждом шагу, например, когда делим торт или записываем размер такта музыкального произведения. Приняв, что 1 целое = 100% (100 пуговиц – 1 набор), мы легко записываем проценты в виде десятичной дроби. Проценты находят применение во многих сферах нашей жизни. В процентах мы оцениваем вероятность наступления случайных событий. В банковском деле понятие процента означает рост капитала. В процентах выражаются относительные статистические показатели, которые помогают нам воспринимать и сравнивать большой объем фактических данных. Сравнивать и представлять информацию графически также удобно исходя из процентного соотношения величин.

Понятие: «Процент».

Цитата: «Идеи – это капиталы, которые приносят проценты лишь в руках таланта» Антуан де Ривароль, французский писатель (1753-1801)

Пригодится ли умение рассуждать, делать выводы на других уроках?                        Ответы.

Сейчас среди наших учеников много гуманитариев. Как сделать урок математики интересным для них, как вернуть гуманитария на урок математики?

  Ответы. Каждый преподаватель стремится  найти наиболее эффективные методы обучения, которые способствуют развитию учащихся. Такие методы для себя нашла и я.

      Попросить их порассуждать о математических понятиях или поставив проблему.

Предположим Вам надо повалить бетонную стену длиной в 20 метров, высотой в 3 метра и весом в 3 тонны.

Как вы выполните эту задачу, если в вашем распоряжении нет абсолютно никаких инструментов?

Ответ? Такая стена, при таком весе и заданных размерах, будет иметь толщину лишь около 2 сантиметров и легко может быть повалена рукой

Ну и еще одна проблема. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1коп., во второй день за 100 000 руб. – 2 коп. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».

Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Создается проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Учащиеся предлагают записать геометрическую прогрессию и найти сумму 30-ти ее членов: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,…, но понимают, что это трудоемко. Вопрос: А можно ли решить эту задачу более рациональным способом?

Ученики говорят да, если будем знать формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии. Формулируем тему урока и выводим формулу.

, q или

S30 = 230 – 1 = 1073741823 (коп.) = 10 737 418,23 (руб). Ответ очевиден!

Вывод:

Сегодня я попыталась показать вам, что создание проблемных ситуаций на уроках  самым естественным образом развивает у школьников творческую активность. Нельзя заставлять ребёнка слепо штудировать предмет в погоне за общей успеваемостью. Необходимо давать ему  возможность экспериментировать и не бояться ошибок, воспитывать у учащихся смелость быть не согласным с учителем. Всякий раз при разрешении проблемной ситуации я с удовольствием наблюдаю, как ребята не только усваивают новое для себя, но и переживают этот процесс как «открытие» ещё чего-то неизвестного: кто сдержанно, а кто с нетерпением и  восторгом. А мне на каждом уроке приходится думать о том, как ободрить их, заставить поверить в свои силы, снова увидеть горящие глаза. Именно это заставляет меня искать что-то новое, всегда быть в поиске.

https://youtu.be/f2DCCVOHqUQ

Я думаю, что с такой ситуацией мы часто сталкиваемся и на своих уроках. Учитель рассказывает, показывает иллюстрации, но некоторые ученики его не слышат, поскольку голова занята совсем другим. Как до таких «достучаться», и «вернуть» на урок?

Великий Сократ сказал: «Человек глубоко постигает лишь то, до чего додумывается сам»

Действительно, открывать самому интересно, следовательно, меняется отношение школьника к учебе. Предложите ребенку поучаствовать в составлении определения, доказательстве фактов, иногда даже при  планировании урока, т. е. «заразите» его поиском пути решения  заданной проблемы, и вы увидите горящие глаза своего ученика

Коллеги, ваши версии о теме моего мастер класса? (выслушиваю)

Свой мастер класс я назвала «Создать проблему? Нет проблем!»  

Свой мастер класс я назвала «Создать проблему? Нет проблем!»  Сегодня я предлагаю  вашему вниманию некоторые приемы и методы создания проблемных ситуаций на уроках математики, которые я использую.

Создать проблемную ситуацию значит ввести противоречие, столкновение, которое вызывает реакцию удивления и затруднения.

• Вы можете выполнить это задание?
• В чем затруднение?
• Почему не получается выполнить?
• Что вас удивляет?
• Какова же будет тема урока?  И т.д.

 Существует масса приемов создания проблемных ситуаций

1.Предварительные домашние задания или задания, на материале учебника, в которых нет готового ответа.

2..Использование экспериментов и жизненных наблюдений (осознание неточности своих представлений вызывает потребность в новых знаниях)

3.Задания с элементами исследования.

4.Создание ситуации выбора (столкновение различных точек зрения) или сообщение противоположных мнений.

5.Предложение выполнить практическое действие, на первый взгляд, не вызывающее затруднений.

6.Постановка проблемных вопросов и организация дискуссий. Вопрос является проблемным, если он для школьников новый, интересный, содержащий противоречия. Различные мнения учащихся усиливают ситуацию проблемности и активизируют поиск.

7.Учитель сам ставит проблему.

8.Ученикам дается задание, в процессе выполнения которого рождается проблемная ситуаци

10.Перед учащимися ставится вопрос, ответить на который они должны, прослушав объяснение учителя и сделав соответствующие выводы.

Итак некоторые примеры создания проблемы на уроке

Примеры:

1. Создание проблемных ситуаций через решение задач, связанных с жизнью (практико-ориентированные задачи)

Пример 1. 5 кл. Тема «Проценты»

«Вы знаете, мне только что сообщили, что я выиграла 50 000 руб.  Но я получу не все деньги. Вычитают подоходный налог 13%. Какую сумму я получу на руки?»

Сначала у детей радость и ликование. Но я возвращаю их к реальному вопросу. Сможем ли мы ответить на этот вопрос? Вот тут затруднение (побуждение к осознанию противоречия). Ученики отвечают: «А как же мы вам поможем, если мы не знаем, что такое процент?» (побуждение к формулировке проблемы). Проблемная ситуация создана. Ребята сами формулируют проблему «Что же такое процент?» Высказываются  различные предположения (какое-то число, дробь, деньги и т.д). С помощью учителя ученики формулируют гипотезу: «Процент- это сотая часть». В конце урока доводят решение данной задачи до конца и делают вывод о важности и нужности темы «Проценты» в нашей жизни. Затем участвуют вместе со мной в возможном распределении денег. Я вижу их радостные лица.

Пример. 8 класс. Тема «Теорема Пифагора»

«У Мити заболел зуб во время урока. Татьяна Петровна, учитель Мити, сообщила родителям. Мама работает в магазине на расстоянии 3 км от школы. Папа работает в больнице на расстоянии 4 км от школы. Но приехали они одновременно. На каком расстоянии

« На охоте с двух отвесных скал два первобытных охотника заметили козла и разом в него выстрелили, причем стрелы достигли цели одновременно. Охотники одновременно начали спуск к добыче с одинаковой скоростью. Кому достанется козел?

Проблемная ситуация очевидна при построении математической модели практической задачи. Её можно сопровождать вопросами:

- Как на чертеже изобразить скалы?

- Как изобразить путь каждой стрелы?

- Как изобразить путь каждого охотника?

- Что означает тот факт, что стрелы достигли цели одновременно? (CD=CE)

Использование только того факта, что отрезки равны не  приведет к решению данной задачи. Возникает проблема: Существует ли зависимость между катетами и гипотенузой? И как она формулируется?

Для решения этой проблемы организую поиск формулировки, предложив задание по рядам: Построить прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4, 12 и 5, 6 и 8 см, измерить гипотенузу, результаты занести в таблицу. Далее обсуждаем разные гипотезы и приходим к выводу: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Создание проблемных ситуаций через использование занимательных заданий.

Пример 1.         7 кл. Тема: «Линейная функция»

Обычная форма задания.  Функция задана формулой  У = Х + 5. Найдите значение функции при Х = 0, 7, -5, 1.

Занимательная форма задания.  Приглашаю к доске ученика, даю ему карточку, на которой  написано  У = Х + 5. На доске заготовлена таблица:

Один ученик из класса называет какое-нибудь значение Х. Ученик у доски вписывает это число в таблицу и, поставив его в формулу, находит и вписывает в таблицу соответствующее ему значение У. Затем другой ученик из класса называет другое значение Х и ученик у доски проделывает те же операции. Возникает проблема: “Угадать” формулу, записанную на карточке. Проблемная ситуация создана. Гипотеза: для того чтобы угадать формулу, надо найти какую-то закономерность. Продолжаем подставлять значения х и находим закономерность, и делаем вывод: зная закономерность, легко угадать формулу. В итоге выигрывает тот ученик, который первый назовет формулу.

Пример№2 9 кл. «Сумма первых n членов геометрической прогрессии»

Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: « Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1коп., во второй день за 100 000 руб. – 2 коп.и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».

Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Создается проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

Учащиеся предлагают записать геометрическую прогрессию и найти сумму 30-ти ее членов: 1,2,4,8,16,32,128,…, но понимают, что это трудоемко. Вопрос: А можно ли решить эту задачу более рациональным способом?

Ученики говорят да, если будем знать формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии. Формулируем тему урока и выводим формулу.

, q или

S30 = 230 – 1 = 1073741823 (коп.) = 10 737 418,23 (руб). Ответ очевиден!

3. Создание  проблемных ситуаций через решение задач на внимание и сравнение.

Пример 2. Третьекласснице Даше учительница дала задание сосчитать, сколько треугольников изображено на рисунке. Она нашла 5 треугольников. Подошла  Лена и нашла 7 треугольников. Кто из них прав? Попробуем посчитать вместе.

Сможете ли вы сосчитать все треугольники? Затруднение для учащихся. Проблема: как же их сосчитать? Предлагают гипотезы (считаем все подряд, которые найдём, считаем сначала все маленькие, затем побольше, считаем все слева направо и т.д.). Проверяем предположения на практике. Выбираем лучший вариант.  Делаем вывод, что Лена посчитала лучше (наверное, она старше и умнее или просто внимательнее!).

Определите, сколько треугольников вы видите на рис.1 и квадратов на рис.2а, 2б?

4.Одним из самых интересных методов, по мнению учеников,  являются исследовательские и лабораторные работы. Да,да уважаемые биологи и в математике есть такое…

Приглашаю 6 человек (фокус-группа)

1. Создание проблемной ситуации.

Всем очевидно ясно, что это  старое колесо от самопрялки какую математическую модель оно напоминает?

 – окружность. 

(Слайд 4) Ось колеса – центр окружности, спица – радиус, две спицы, лежащие на одной прямой – диаметр.  Их  легко измерить с помощью линейки.  Для прочности деревянные колеса в старину обивали металлическим ободом. Как узнать, сколько метров металлической пластины потребуется, для того чтобы обить данное колесо снаружи?

Давайте измерим длину окружности. В чем трудность? Да, к сожалению, специального прибора для измерения длины окружности нет. Но и это не останавливало человека. Предложите свой способ измерения длины окружности (обсуждение в группах).

-- верёвкой

Ниткой, веревкой удобно пользоваться для измерения длины окружности малого радиуса. А как быть, если требуется измерить длину окружности предмета круглой формы большого размера, например, трубы завода? С помощью нитки и веревки это сделать можно, но весьма трудоемко и результат таких измерений может быть неточным.

Ещё древние находили длину окружности по формуле С=Пхд  Д это диаметр окружности.

Вопрос: а что же такое п? пока для нас это тайна

Приглашаю вас в лабораторию раскрытия тайн.

^ Работа в группах по 2 человека.

У вас на столах лежат 3 круга с отмеченным центром, а также ниточка. Как можно измерить длину окружности, которая является границей круга? (С помощью ниточки). Измерьте, пожалуйста, и запишите результат измерения в таблицу. С помощью линейки измерьте диаметр круга и результат измерения занесите в таблицу.

Тема: «Нахождение значения числа П».

Цель: с помощью эксперимента найти значение числа П

Оборудование: предмет, имеющий форму цилиндра, рулетка, линейка, микрокалькулятор.

Ход работы

Делайте так:

1. С помощью рулетки измерьте длину окружности предмета.
2. Сделайте запись С = …
3. Линейкой измерьте диаметр окружности.
4. Сделайте запись D =…
5. Найдите отношение длины окружности к её диаметру (разделите с помощью калькулятора длину окружности на диаметр).
6. Сделайте запись. Ответ округлите до десятых.
7. Занесите полученные результаты в таблицу на доске.

Вывод: закончите предложение «Число П равно от …до…»

Лист МЕБИУСА

Пока фокус группа работает мы с вами немного поэкспериментируем. Посмотрите на эту полоску бумаги. Что я получу если склею ее концы? (Цилиндр, Кольцо…) Сколько сторон у него? Сколько поверхностей? (две)

Однажды служанка немецкого геометра Августа Фердинанда Мёбиуса сшила неправильно концы ленты, чем сподвигла математика к великому открытию. А именно, удивительной фигуры, названной лентой Мебиуса.

Как вы думаете сколько сторон у данной ленты? Поверхностей? (одна)

Проведем эксперимент

Возьмем нами приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких (это тоже лучше продемонстрировать). А что сейчас?

Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два.

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Точно посередине - вы уже пробовали. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма "затейливое" переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса?.. Попробуйте сами!

Итак, наши исследователи готовы? Какие значения вы получили? Найдём среднее арифметическое ваших результатов                                            

Первым ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «периферия», что в переводе означает «окружность».

П это бесконечная дробь, Точное значение π  неизвестно и сейчас.

 Но современные машины могут определить до миллиона знаков после запятой.

П=3,1415926…

В дальнейшей работе мы будем использовать значение П =3,14

И так, теперь мы можем узнать, сколько сантиметров металлической пластины потребуется, для того чтобы обить данное колесо.

Дано: R = 27 см,  3,14.

Найти: С.

Решение. С = 2R;   С = 2 · 3,14 · 27 = 169,56(см).

Ответ: 169,56см.

ИТОГ. Исследование проведено. На уроке кроме исследовательской работы удачно использовалась работа в парах. Сотрудничество и взаимопомощь  принесли  желаемый  результат. Проблема решена.

Имея успех в небольших исследованиях на уроках, некоторые ребята вовлекаются в более серьёзные исследования, требующие много времени.

Вывод:

Сегодня я попыталась показать вам, что создание проблемных ситуаций на уроках  самым естественным образом развивает у школьников творческую активность. Нельзя заставлять ребёнка слепо штудировать предмет в погоне за общей успеваемостью. Необходимо давать ему  возможность экспериментировать и не бояться ошибок, воспитывать у учащихся смелость быть не согласным с учителем. Всякий раз при разрешении проблемной ситуации я с удовольствием наблюдаю, как ребята не только усваивают новое для себя, но и переживают этот процесс как «открытие» ещё чего-то неизвестного: кто сдержанно, а кто с нетерпением и  восторгом. А мне на каждом уроке приходится думать о том, как ободрить их, заставить поверить в свои силы, снова увидеть горящие глаза. Именно это заставляет меня искать что-то новое, всегда быть в поиске.