Линейная алгебра
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Матрицы Основные понятия.

Слайд 2

Матрицей – называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины ( или n столбцов одинаковой длины). Или, сокращено записывают А = ( )

Слайд 3

Матрицу А называют матрицей размера m n и пишут . Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образует главную диагональ. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т.е. А=В, если = , где i= j =

Слайд 4

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n×n называют матрицей n- го порядка . Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Слайд 5

Диагональная матрица , у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. Пример: = - единичная матрица 3-го порядка

Слайд 6

Квадратная матрица называется треугольной , если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О . В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Слайд 7

Матрица содержащая один столбец или одну строку, называется вектором ( или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно). Имеет вид: А = В= ( … ).

Слайд 8

М атрица размера 1 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. есть 5 . Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается .

Слайд 9

Так, если А= , то = , если А= , то = ( 1 0) Транспонированная матрица обладает следующим свойством: = А ⁡

Слайд 1

Матрицы Действия над матрицами

Слайд 2

Сложение Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров. Суммой двух матриц = ( ) и = ( ) называется матрица такая, что + (i = j = Записывают С = А + В Пример: + =

Слайд 3

Умножение на число Произведением матрицы = ( ) на число k называется матрица = ( ) такая, что = k ( i = j= ,) Записывают В = k А. Пример: А = , k = 2 , A k = Матрица – А=(-1) А называется противоположной матрице А.

Слайд 4

Разность матриц Разность матриц А – в можно определить так: А – В = А = (-В). Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами : 1. А+В = В+А; 2. А+ (В+С) = (А+В) +С; 3. А+О=А; 4.А-А=О; 5. 1 * А=А; 6. 7.( ) * А = ; 8. , где А,В,С, - матрицы, -числа.

Слайд 5

Элементарные преобразования матриц Элементарными преобразованиями матриц являются: Перестановка местами двух параллельных рядов матриц; Умножения всех элементов ряда матрицы на число, отличие от нуля; Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Слайд 6

Две матрицы А и В называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А . При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической .

Слайд 7

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например:

Слайд 8

Произведение матриц Операция умножения двух матриц вводится для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы = на матрицу называется матрица такая, что = + где i = k =

Слайд 9

Элемент i -й строки и k -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведение элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В . Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А Е = Е А=А, где А - квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

Слайд 10

Пример: А = , В = . Т огда произведение А В не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2). При этом определено произведение В А, которое считают следующим образом: В А = =

Слайд 11

Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А * (В + С) = ( А * В) * С; 2.А * (В+С) + АВ + АС; 3.(А+В) * С + СА + ВС; 4. (АВ) = ( А) В,

Слайд 12

Если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операции транспонирования верны свойства: Для операции транспонирования верны свойства: ( А + В) = + (AB) =

Слайд 1

ТЕМА ЛЕКЦИИ: «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»

Слайд 2

ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ 2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Слайд 3

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Слайд 4

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Слайд 5

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

Слайд 6

МНЕМОНИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2-го ПОРЯДКА РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ МИНУС ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПОБОЧНОЙ ДИАГОНАЛИ

Слайд 7

МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

Слайд 8

МИНОР ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МИНОРОМ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ, ПОЛУЧЕННЫЙ ИЗ ИСХОДНОГО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПРИ ПОМОЩИ ВЫЧЕРКИВАНИЯ СТРОКИ И СТОЛБЦА , В КОТОРЫХ СТОИТ ЭТОТ ЭЛЕМЕНТ

Слайд 9

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ МИНОРА

Слайд 10

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

Слайд 11

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Слайд 12

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛЮБОЙ СТРОКЕ (ЛЮБОМУ СТОЛБЦУ) ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ ЛЮБОЙ СТРОКИ (ЛЮБОГО СТОЛБЦА) НА ИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

Слайд 13

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Слайд 14

МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИ-ТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА

Слайд 15

ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Слайд 16

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ

Слайд 1

Системы линейных уравнений.

Слайд 2

Основные понятия. Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида: где коэффициенты при неизвестных, свободные коэффициенты.

Слайд 3

Х- вектор- столбец из неизвестных х i , В- вектор-столбец из свободных членов b i . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме Здесь А- матрица коэффициента системы, называемая основой матрицей:

Слайд 4

Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов Решением системы называется n значений неизвестных х 1 =с 1, х 2 =с 2 ,…, х n = c n , при подстановки которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Слайд 5

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы . Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему - это значить выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. СЛУ называется однородной , если все свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как х 1 =х 2 =…=х n =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Слайд 6

Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера- Капелли. Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неизвестными Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой ситемы дает теорема Кронекера- Капелли.

Слайд 7

Теорема 1: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы. Теорема 2: Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Теорема 3: Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Слайд 8

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера. Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестных Или в матричной форме АХ=В. Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы называется определителем системы . Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Найдем решение данной системы уравнений в случае Отыскание решения системы по формуле Х=А -1 В называют матричным способом решения системы.

Слайд 9

, где -Формула Крамера. Итак, невырожденная система n линейных уравнений c n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом либо по формулам Крамера. i i i i

Слайд 10

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса , состоящий в последовательном исключении неизвестных. Пусть данна система уравнений Данный метод применим к СЛУ любой размерности.

Слайд 11

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Слайд 12

Опишем метод Гаусса подробнее: Будем считать, что элемент а 11 не равно нулю(если а 11 равен нулю, то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х 1 отличен от нуля.) Преобразуем систему, для этого умножаем обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на и тд. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему.

Слайд 13

Продолжая этот процесс получим эквивалентную систему: Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида 0= b i , а b i не равно 0,то это свидетельствует о несовместности системы. Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений.

Слайд 14

Замечания: Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n , то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим х n , из предпоследнего уравнения x n-1 , далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные ( x n-2 ,…, x 1 ). На практике удобнее работать с расширенной системой ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками.

Слайд 15

Системы линейных однородных уравнений. Однородная система всегда совместна, она имеет нулевое (тривиальное) решение x 1 =x 2 =…=x n =0. Теорема 1: Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r

Слайд 16

Теорема 2: Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю. Если система имеет ненулевые решения, то определитель равен нулю. Ибо определитель не равен нулю система имеет только единственное, нулевое решение. Если же определитель равен нулю, то ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r