Внеаудиторная самостоятельная работа
электронный образовательный ресурс по математике

Тема 1.1 Дифференциальное и интегральное исчисление.

Задание 1. Вычислить пределы.

А)           Б)

В)           Г)

Д)               Е)

Ё)           Ж)

З)         И)

Задание 2. Найти производные элементарных функций.

А)                          Б)

В)                              Г)

Д)                        Е)

Ё)                           Ж)

З)                       И)

Задание 3. Найти значения производной.

А) 

Б) 

Задание 4. Решите уравнение

А) 

Б) 

Тема  1.2. Комплексные  числа.

Задание 1. Выполнить действия:

1) (3 + 5i) + ( 4+6i) =            

2) (1+i) + (2-3i)- (3 +4i) =т

3)(   - i) + (  - I ) -  (  + i) =                  

4) ( 0,3 + 1,16i ) – ( 0,13- 0,2i )  =

5) ( 0,4 – 1.2 i) (0 4 + 1 2 i)=                  

Задание 2. Разложить на множители:    

1) а2  + в2 =              

2)  +9 =

Задание 3. Сократить дробь:  

1) =      

2)=          

3)=

Задание 4. Вычислить:

1) ( -1+i4=        

2) ( 2 – 2i ) =

Задание 5. Решить уравнение:

1) Х2 – 2Хi – 5 = 0        

2) ( 1 – i) Х2 + ( 2 – i ) Х + (2 +i) = 0

3) 2Х2 – ( 5 – i ) Х + ( 3 + i ) = 0        

4) 3Х2 + ( - 5 + i )X + 4 = 0

Задание 6. Представить в тригонометрической форме:

1)   +i=    

2) -1 -  =

3) 5 + 2i=            

4) 4 – 3i =

Задание 7. Записать в показательной форме комплексные числа:

1) –еi =

2) -  +  i=              

3) 3 + 4i =.                                

Тема 1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание 1. Решите задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

А) Составить уравнение движения тела по оси ОХ, если тело начало двигаться из точки М (4,0 ) со скоростью V = 2t +3t2.

Б) Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3), имеющей касательную с угловым коэффициентом к =4х -3.

В) Вода в открытом резервуаре в начале имеет температуру 700С, через 10 минут температура воды стала 650С, температура окружающей   резервуар среды 150С. Найти температуру воды в резервуаре через 30 минут от начального момента; в какой момент времени температура воды в резервуаре будет 200С.

Г) Опытом установлено, что скорость распада радия в каждый данный момент времени пропорциональна начальному количеству радия. Составить формулу для вычисления количества радия в любой момент времени.

Д) Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счёт трения. Установлено, что трение пропорционально угловой скорости. Найти:

1) С какой скоростью будет вращаться диск в момент t= 120 секунд, если он вращается со скоростью 12 рад/с. А при t = 10 с. Его скорость стала 8 рад./с.

2) В какой момент времени он будет вращаться со скоростью 1 рад./с.

Задание 2. Найдите общее решение дифференциальных уравнений: а)уll-2уl -15 = 0

    Б) уll  + 4уl = 0.  В) уll – 6 уl + 34 у= 0

Задание 3. Решите однородные дифференцированные уравнения: а) (х + у) dx – xdy =0

 Б) (х + у) dx + x dy =0.           В) (х + у) dx + ( y – x) dy = 0

Задание 4. Найти частный интеграл, удовлетворяющей начальным условиям

      А) у уll = ( yl )2 - ( yl)3 ; у (1) =1, уl ( 1) = 1/

Тема 1.4. Дифференциальные уравнения в частных производных.

 Задание. Решите уравнение:

1).  = x + y    

2)  = 0

 3) +  = 1            

4) x  – y  = 0      

5)  -  = 1

Тема 1.5. Ряды

Задание 1. Исследовать ряд на сходимость

а)    

б) ;  

в) ;  

г)  ;

д)

Задание 2.  Докажите расходимость следующих рядов.

а)  ;

б)  ;

в) ;

г) ;

д) ;

Задание 3. Исследовать на сходимость по Даламберу.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

Задание 4. Исследовать на сходимость знакочередующиеся ряды.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Задание 5. Докажите абсолютную сходимость рядов

а);

б) ;

в) ;

г) ;

Задание 6. Пользуясь биноминальным рядом, вычислить с точностью до 0,001

а)   б)

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Задание 1. Пусть Т = ( 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) - основное множество. Для множества: А

Задание 2. Докажите, что А      ( А сопоставьте с числовым равенством (а + в ) + с = а + ( в + с ); ( А  сопоставьте с числовым равенством (а в ) с = а ( в с );  А  сопоставьте с числовым равенством а ( в + с) = а в + а с.

Задание 3. Из 276 студентов экономического вуза – 83 изучают математику, 95 – право, 102 – финансы. Кроме того, известно, что 27 из них изучают математику и право, 24 – математику и финансы, 20 – право и финансы, а 11 – все три предмета. Сколько из них изучают финансы, но не изучают ни математику, ни право.

Задание 4. На ферме работают 40 человек. Из анкетных данных известно, что 20 человек, владеют английским языком, 20 человек – компьютером, 14 человек – делопроизводством. Английским языком и компьютером владеют – 7 человек; компьютером и делопроизводством 2 человека. Сколько человек не владеют ни английским языком, ни компьютером, ни делопроизводством?

Тема 2.2. Основные понятия теории графов.

Построение графов (решение задач)

Задание 1. В стане Цифра, есть 9 городов с названиями 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Путешественник обнаружил, что 2 города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр названий этих городов, делиться на 3.Можно ли добраться из города 1 в город 9.

Задание 2. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходят 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Задание 3. Докажите, что в любом графе: а) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (и следовательно, чётно) б) число вершин нечётной степени, чётно.

Задание 4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе) 11 - по 4 друга, а 10 - по 5 друзей?

Задание 5. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было 4 телефона, каждый из которых соединён с тремя другими, 8 телефонов, каждый из которых соединён с шестью, и 3 телефона, каждый из которых соединён с пятью другими?

Задание 6. Докажите, что при удалении любого ребра из дерева, оно превращается в несвязанный граф.

Задание 7. Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, чтобы изготовить требуемый каркас?

Задание 8. Грани некоторого многогранника раскрашены в два разные цвета. Известно, что все грани, кроме одной, имеют число рёбер кратное 3.Доказать, что и эта одна грань имеет кратное 3-м числа рёбер.

Задание 9.  В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно один переводит двум другим). Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которой имеет общий язык.

Задание 10. Можно        ли провести в городе 10 автобусных маршрутов и установить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдётся остановка, не лежащая ни на одном из них, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки.

Тема 3.1. Вероятность. Теория сложения вероятностей.

Задание 1. Взятая наугад деталь может оказаться либо первого (события А) либо второго (события В) либо третьего (события С) сорта, что представляет собой события А+В; А+С;  АВ=С?.

Задание 2. Докажите, что А + В = АВ?

Задание 3. В урне 5 красных, 2 синих и 3 белых шаров. Все они пронумерованы цифрами 1,2,…..10. Из урны берётся на удачу 1 шар .Событие-шар с чётным номером обозначим через А, с номером, кратным 3,-через В, шар красного цвета-через С, синего –через Д, и наконец ,белого – через Е. Что представляют собой следующие события: А + В, С + Е, АД, А – В, ВЕ, АД- Е.

Задание 4. Из 5000 взятых наудачу деталей 32 бракованные. Найти частность бракованных деталей в данной партии.

Задание 5. В книге 500 страниц. Чему  равна вероятность того ,что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 7,

Задание 6. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность ,что в нём а) все цифры различные, б) все цифры чётные.

Задание 7. Найти вероятность того, что  наудачу взятое двузначное число окажется либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Задание 8. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найдите вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Задание 9. В урне 20 белых и 6 чёрных шаров .Из неё вынимают наугад 2 шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара чёрные.

Задание 10. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого равна0,6 для второго -0,7 и для третьего 0,75. Найти вероятность по крайней мере одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.                                                                                                                                      

Тема 3.2. Случайная величина, её функция распределения.

Задание. Составить конспекты по вопросам.

1.Случайная величина.

2 Дискретная и непрерывная случайная величина.

3.Закон распределения случайной величины.

Тема 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Задание 1. Найти математическое ожидание и дисперсию , среднее  квадратичное отклонение дискретной величины для следующих случайных величин, заданных таблицами распределения.

А)

Б)

Задание 2. Даны  независимые случайные величины:

Составить распределение их суммы Х + У и их произведение Х У. Найти МХ, М У, М(У+Х), М(Х У), Д (Х + У).

Задание 3. Стрельбу по цели ведут до получения 2-х попаданий. Найти математическое ожидание числа произведения выстрелов ,если  вероятность попаданий в цель при одном выстреле равна 0,2.

Задание 4. Некий человек, имея 8 ключей хочет открыть дверь. При этом он подбирает ключи случайно. Найти математическое ожидание и дисперсию числа испытаний при следующих условиях: 1)испробованный ключ не устраняется из дальнейшего выбора ;2) устраняется, предполагается, что  только один ключ подходит к двери.

Задание 5. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго – 0,8, для третьего – 0,75 и для четвёртого 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Тема 4.1. Численное интегрирование.

Задание 1. Вычислить приближённо интеграл с помощью формул прямоугольников, трапеций. Оцените абсолютную погрешность

а) ʃ 60 (х + 3) d х        

,) ʃ21   = ln2. Вычислить ln2.

) ʃ30  (n= 6)                

Задание 2.  Вычислить приближённо интеграл с помощью формулы Симпсона.

ʃ 10   n= 2,  

Х0= 0                    У = 0,5

Х1/2 = 0,25        2        У 1/2 =1,88235

X1 =0,5        У1 = 0,8

Х3/2=0,75        2 У3/2=1,28

Х2 = 1        У2 = 0,25.

Тема 4.2. Численное дифференцирование.

Задание 1. Решить интегральное уравнение.

А) у = ех + t) dt.  

Б) у(х) =  +

В) у (х) = х – 1 +

Задание 2. Методом последовательных приближений решить уравнение:

 А) у (х) = 1 -  у0(х) = 1

 Б) у (х) = 1 + ,  у0(х) = 1

 В) у(х) = + х -  0 (X) =1

Г) у(х) = ,1 + ,     у0 (х) =1.

Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных равнений.

Задание. Построить интегральную кривую.

1) = -.  y( 0) = 1    

2) = y2, у ( 1) = 1    

3)  =

4)       =  -              

5)  =