Практические занятия ПО МАТЕМАТИКЕ
электронный образовательный ресурс по математике

Тема 1. 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Практическое занятие № 1

Тема: «Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов. Исследование функций на непрерывность»

Цель: научиться вычислять пределы функций с использованием замечательных пределов; учиться исследовать функцию на непрерывность.

Задания для выполнения практического занятия

1. Вычислить пределы функций:

1. ;  

2. Исследовать функцию и построить график:  y=x3-3x2
3. Исследовать функцию на непрерывность:

а) f(x)=3x

б) f(x)=x2-2 при x=3

в) f(x)=sin 2x в точке

г) f(x)3x2-2x  x=2

Сделать вывод

Практическое занятие №2

Тема «Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций».

Цель: научиться вычислять производные элементарных и сложных функций.

Задания для выполнения практического занятия

1. Найти производные функции.

Сделайте вывод

Практическое занятие №3

Тема  «Интегрирование функции»

Цель: научиться находить неопределенный интеграл.

Задание. Найти интегралы:

Сделайте вывод.

Практическое занятие №4

Тема  «Вычисление определенных интегралов».

Цель: научиться находить и вычислять определенный интеграл.

Задания для выполнения практического занятия

1. Вычислить определенные интегралы.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

2. Найти объем тела вращения.

Сделайте вывод.

Практическое занятие №5

Тема  «Функции нескольких переменных. Приложение интеграла к решению прикладных (профессиональных) задач».

Цель: отработать навыки применять интеграл для решения задач.

Задача 1. Вычислить объем тела образованного линиями  ,  ,  

Задача 2. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ox:

,  ,  

Задача 3. Найти длину окружности  

Вычислить длину четверти.

Задача 4. Найти площадь, образованной вращением дуги (условие предыдущей задачи)

Задача 5. Найдите путь, пройденный телом при равномерном движении

 м/с  ,  

Задача 6. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см.

Задача 7. Скорость движения точки 0,5 м/с. Найти путь пройденный точкой за 8 секунд после начала движения. Чему равна средняя скорость движения за этот промежуток.

Сделайте вывод.

Практическое занятие №6

Тема: «Частные производные. Решение прикладных задач. Нахождение частных производных».

Цель: научиться находить частные производные, производить приближенные вычисления.

Задания для выполнения практического занятия

1. Найти частные производные первого порядка.

2. Найти частные производные второго порядка.

3. Приближенные вычисления.

Вычислить: 1.         2.          3.          

4.

Сделайте вывод.

Тема 1.2. Комплексные числа

Практическое занятие №7

Тема: «Решение прикладных технических задач методом комплексных

чисел».

Цель: применять навыки к решению комплексных чисел.

Задания для выполнения практического занятия

1. Выполнить действия.

2. Разложить на множители.

3. Представить комплексное число в тригонометрической форме:

4. Представить комплексное число в показательной форме

5. Перевести в алгебраическую форму

Тема 1.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Практическое занятие №8

Тема:  «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных дифференциальных уравнений первого

порядка, линейных дифференциальных уравнений первого порядка».

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения.

Задания для выполнения практического занятия

1. Решить уравнения.

1.     y(0)=b;
2. ;

2. Найти частые решения

1.    y(1)=1;
2.    y(1)=0;
3.    y(1)=1;
4. ;
5. , при

Тема 1.4. Дифференциальные уравнения в частных производных

Практическое занятие №9

Тема:  «Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение прикладных задач».

Цель: научиться решать дифференциальные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задания для выполнения практического занятия

1. Решить уравнения.

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. , если x=0, y=2, ;
7. , если x=0, y=9, ;
8. , если x=0, y=1, .

Практическое занятие №10

Тема  «Решение простейших дифференциальных уравнений линейных относительно частных производных».

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения.

Задания для выполнения практического занятия

1. Найти частные решения.

1. , если
2. , при
3. , при
4. , при .

2. Решить уравнение

Тема 1.5.  Ряды

Практическое занятие №11

Тема: «Определение сходимости рядов по признаку Даламбера.

Определение сходимости знакопеременных рядов».

Цель: научиться уметь определять сходимость рядов по признаку Даламбера и знакопеременных рядов.

Задания для выполнения практического занятия

Задание 1. Написать шесть первых членов по данному общему члену.

а) ;

б)

Задание 2. Определить сходимость ряда.

а)

б)

в)

Задание 3. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера.

а)

б)

в)

Задание 4. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд.

а)

б)

в)

г)

Практическое занятие №12

Тема:   «Разложение функций в ряд Маклорена».

Цель: научиться разлаживать функцию в ряд Маклорена.

Задания для выполнения практического занятия

1. Разложить ряд Маклорена

1.    
2. , вычислим значения и ее производных при х=0

Практическое занятие №13

Тема: «Применение рядов в приближенных вычислениях».

Задания для выполнения практического занятия

Цель: научиться приводить выражения в ряд и находить приближенные значения выражения.

Задания для выполнения практического занятия

1. Вычислить.

1.  с точностью 0,001
2.  с точностью до 0,01
3.   с точностью до 0,001
4.  с точностью до 0,01
5.   с точностью до 0,01
6.  с точностью 0,0001.

Тема 3.1. Вероятность. Теория сложения вероятностей

Практическое занятие №14

Тема:  «Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей».

Цель: формировать умения решать задачи на определения вероятности с использованием теорем сложения вероятности.

Задания для выполнения практического занятия

Задача1. В урне 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из неё вынимают наугад один шар. Какова вероятность того, что этот шар не белый?

Задача2. Какова вероятность того, что при одном бросании игровой кости выпадает не 6 очков?

Задача3. Многократные испытания показали, что для некоторого стрелка вероятность выбить при стрельбе 10 очков равна 0,1, а вероятность выбивать 9 очков равна 0,3. Чему равна для этого стрелка вероятность выбить не менее 9 очков.

Задача4. Мастер обслуживает 5 станков 20% рабочего времени он проводит у первого станка, 10%-у второго, 15%-у третьего, 25%-у четвертого и наконец 30% у пятого. Найти вероятность того, что наудачу выбранный момент времени он находится: а) у 1-го или 3-го станка; б) у 2-го или 5-го; в) 1-го или 4-го; г) 1 и 2 или 3; д) 4-го и 5-го

Задача5. Для украшения елки принесли коробку, в которой находятся 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым.

Задача6. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому.

Задача7. Данное предприятие в среднем даёт 21% продукции высшего сорта и 70% продуктов первого сорта. Найти вероятность того, что случайное взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

Тема 3.2.  Случайная величина, ее функция распределения

Практическое занятие №15

Тема: «Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины. По заданному условию построить закон распределения случайной величины».

Цель: научиться строить закон распределения случайной величины.

Задания для выполнения практического занятия

Задача 1. Как следует считать вероятность из 4х бросаний игрального кубика «3» выпадает: а) ровно 2 раза; б) ровно 3 раза; в) ровно 4 раза; г) не выпадает ни разу.

Задача 2. Из набора домино случайно вытаскивают одну доминушку, записываю сумму очков на ней и  возвращают ее обратно, так делают 3 раза. Найти вероятность того, что: а) дубль появится 1 раз; б) дубль появится 2 раза, эксперимент с 28 исходами.

Задача 3. Из партии 10 деталей имеется 8 стандартных х. Из партии наугад взято 2 детали. Найдите закон распределения случайных величин: а) обе детали стандартные; б) обе нестандартные; в) одна стандартная, одна нестандартная.

Задача 4. Даны две независимые случайные величины. х–число появления герба при двух подбрасыванием пятикопеечной монеты и у–число очков выпавших при бросании  игральной кости. Найти закон распределения разности этих двух случайных величин х-у.

Задача 5. На стол одновременно бросают  два игральных тетраэдра, грани которых прономерованы числами 1,2,3,4. Составим таблицу распределения  по вероятностям значений случайной величины  х-суммы очков на гранях тетраэдров касающихся поверхности  стола.

Тема 3.3.  Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Практическое занятие №16

Тема:   «Нахождение математического ожидания дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины заданной законом распределения. Решение задач для различных профессиональных ситуаций».

Цель: научиться находить математическое ожидания дисперсии и среднего квадратичного отклонения случайной величины, составляет закон распределения. Применять при решении задач для профессиональной ситуации.

Задания для выполнения практического занятия

Задание1. Пусть известны законы распределения двух взаимно независимых случайных величин.

1. Найти числовые характеристики х: M(x); D(x); .
2. Найти числовые характеристики у: M(у); D(у); .
3. Найти M(2х+у); D(2х+у); D(х+у)
4. Найти M(2х+у), составив закон распределения случайной величины.

Задание2. По статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчиков равна 0,515. Составит закон распределения случайной величины х–числа мальчиков в семье, имеющих 4-ч детей. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Задание3. Даны законы распределения 2х независимых случайных величин.

Составить закон распределения их разности.

Тема 4.1. Численное интегрирование

Практическое занятие №17

Тема:   «Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формул Симпсона. Оценка погрешности».

Цель: научиться вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и формул Симпсона.

Задания для выполнения практического занятия

1. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников, трапеций и формул Симпсона.

Тема 4.2. Численное дифференцирование

Практическое занятие №18

Тема:   «Численное дифференцирование. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной».

Цель: Научиться с помощью формул приближенного находить значения величины.

Задания для выполнения практического занятия

Вычислить

1.         2.        3.        4.

Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Практическое занятие №19

Тема:   «Нахождение значений функции с использованием

метода Эйлера».

Цель: научиться строить приближенно способом Эйлера интегральную кривую уравнения.

Задания для выполнения практического занятия

1. В интервале 1 ≤ х ≤ 5 построить приближенно способом Эйлера интегральную кривую уравнения , проходящую через точку (1; 1).
2. Используя метод Эйлера, построить приближенно в интервале 0,5 ≤ х ≤ 3,5 интегральную кривую дифференциального уравнения .
3. Найти приближенное решение уравнения на промежутке (0; 1) при начальном условии х0=0 у0=1. Разделим промежутки на 10 равных частей: