Решение уравнений и неравенств, построение графиков, содержащих знак модуля
рабочая программа по математике (9, 10 класс)

        МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ № 32» НИЖНЕКАМСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

Авторская программа

Решение уравнений и неравенств, построение графиков,

содержащих знак модуля

2021 год

Содержание

Пояснительная записка

     Основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – выявление средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов. Для того, чтобы познакомить учащихся с интересными, нестандартными задачами и расширить, углубить знания обучающихся считаю целесообразным включение предметно – ориентированного курса "Решение уравнений и неравенств, построение графиков,содержащих знак модуля".

     Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, производная и первообразная функции и др.  

      В практике преподавания математики в средней школе понятие абсолютной величины (модуля) впервые вводится в 6 – ом классе. Здесь рассматривается определение модуля, его геометрический смысл. Модуль используют при формировании вычислительных навыков с положительными и отрицательными числами. В 7- ом классе это понятие встречается при изучении абсолютной и относительной погрешностей; в 8-ом классе – при изучении арифметического квадратного корня, векторов. А также на ЕГЭ и при поступлении в ВУЗы необходимы навыки решения уравнений, неравенств, построение графиков функций, содержащих знак абсолютной величины, хотя эти требования не входят в перечень математической подготовки учащихся средней общеобразовательной школы.

      В методической литературе "модулю" уделяется немало внимания, однако наблюдения показывают, что задания с модулем вызывают у учащихся затруднения, и они допускают ошибки. Однако из причин таких ошибок кроется, на наш взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:

| Х| =

      При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что Х может быть как отрицательным, так и положительным. Для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Целесообразно познакомить учащихся с определением четной и нечетной функции.

      Элективный курс посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием абсолютной величины и аспектами его применения. Этот курс углубляет и расширяет базовую программу по математике. На занятиях будут рассматриваться различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, приложения модуля к преобразованию радикалов, применение графиков функций, содержащих знак модуля к решению уранений и неравенств с параметрами.

        Поисковые и исследовательские задания будут способствовать формированию навыков самообразования, расширят знания в  программных и внепрограммных областях. Формирование всех функциональных понятий и выработка соответствующих навыков, а также изучение конкретных функций сопровождается рассмотрением примеров реальных зависимостей между величинами, что способствует усилению прикладной направленности курса алгебры.

       В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению  предполагаемого курса. На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

    Этот элективный курс, рассчитанный на 40 ч (1 ч в неделю) дополняет базовую программу, не нарушая её целостности. И способствует развитию логического мышления и интереса учащихся к математике. Самостоятельная работа позволяет ученикам утвердиться в своих способностях.

      Согласно школьному Положению об элективных курсах предпрофильной подготовки «… курсы данного вида дают возможность ученику реализовать свой познавательный интерес в выбранной им образовательной области, формирует у ученика умение и способы деятельности для решения практических задач.

     Программа элективного курса "Решение уравнений и неравенств, построение графиков,содержащих знак модуля"рассчитана для обучащихся 9-11классов общеобразовательных школ, проявляющих интерес к изучению математики.

Цель  курса:

- расширить знания учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств, построение графиков, содержащих знак модуля»;

-   выработать умение решать уравнения и неравенства и строить графики элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины;

- расположить к самостоятельному поиску решений.

Задачи курса:

-изучение различных методов решения уравнений и неравенств с модулями;

-реализация обучающимся интереса к выбранному предмету;

-уточнение готовности и способности осваивать предмет на повышенном уровне;

-создание условий для подготовки к экзаменам по выбору, т.е. наиболее вероятным предметам будущего профилирования;

-интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности;

-приобщить обучающихся к работе с математической литературой.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять полученные теоретические знания;

-решать уравнения и неравенства с модулем;

-использовать возможности персонального компьютера (ПК) для самоконтроля и отработки основных умений, приобретенных в ходе изучения курса.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

 -основные теоремы и формулы темы;

-правильно употреблять термины;

- алгоритм исследования уравнения и неравенств с модулем.

Содержание курса

1.Уравнения, содержащие неизвестные под знаком модуля ( 17 часов)

Абсолютная величина действительного числа и его основные свойства. Модули противоположных чисел. Геометрическая интерпретация понятия модуля  а. Модуль суммы и модуль разности конечного числа действительных чисел. Модуль разности модулей двух чисел. Модуль произведения и модуль частного.  Операции над абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля. Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля по определению, переход от исходного уравнения к равносильной системе, возведение в квадрат обеих частей уравнения, метод интервалов, использование свойств абсолютной величины. Уравнения вида:

,

│f(х)│=  а

│f(х)│= g(х) ,     f(|х|)=g(х)

│f(х)│ = │ g(х)│

+

│f1(х)│+│ f2(х)│ +│ fn(х) │+… + =g(х)

Метод замены переменных при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Метод интервалов при решении уравнений, содержащих абсолютные величины. Способ последовательного раскрытия модуля при решении уравнений, содержащих "модуль в модуле".

2. Решение неравенств, содержащих знак модуля ( 8 часов)

Неравенства, содержащие абсолютные величины. Основные методы решения неравенств с модулем. Метод интервалов при решении неравенств, содержащих знак модуля. Неравенства вида:

│х│<  а; │х│>  а

│f(х)│<  а; │f(х)│>  а

3. Метод интервалов (2часа).

Решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину, методом интервалов.

4.Применение свойств абсолютной величины при решении уравнений и неравенств (1час).

Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных, степени выше второй), а также систем уравнений и неравенств с помощью свойств абсолютной величины.

5.Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой (1час).

Решение линейных уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой.

6. Модуль и преобразование корней (1час).

Применение понятия модуля при оперировании арифметическими корнями. Преобразование иррациональных выражений, при решении которых используется модуль.

7. Построение графиков функций, содержащих знак модуля (  10  часов)

Правила и алгоритмы построения графиков уравнений, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графическое решение уравнений, содержащих абсолютные величины. Построение множества точек на координатной прямой, плоскости, содержащих знак модуля числа. Графики некоторых простейших функций, заданных явно и неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений:

у = f(|х|)

у = │f(х)│

│y │= f(х)

у=,  у=,

у=ау=

Учебный план

Список литературы для учителя

1. Голубев В.И. Абсолютная величина числа в конкурсных экзаменах по математике (по материалам ведущих ВУЗов страны).- Львов: Квантор, 1991.
2. Голубев В. Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина».- М.: Чистые пруды, 2006.
3. Данкова И.Н., Бондаренко Т.Е., Емелина Л.Л., Плетнева О.К. Предпрофильная  подготовка учащихся 9 классов по математике.- М.: 5 за знания, 2006.
4. Рурукин А.Н. Пособие для интенсивной подготовки к экзамену по математике «Выпускной, вступительный, ЕГЭ на 5+».- М.: ВАКО, 2006.
5. Смыкалова Е.В.  Математика (модули, параметры, многочлены), предпрофильная подготовка, 8-9  кл.- Санкт-Петербург: СМИО-Пресс,  2006.

Список литературы для обучающихся

1. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1988.
2. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по Математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1973.
3. Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа,1974.
4. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной сложности по алгебре и началам анализа.- М.: Просвещение, 1990.
5. Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции, издательство «Наука», главная редакция  физико-математической литературы.- М.: Наука, 1975.
6. Круликовский Н.Н. Математические задачи для абитуриентов.- Томск: изд. Томского Университета, 1973.
7. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Задачи вступительных экзаменов по математике.- М.: Наука, 1986.
8. Шарыгин И.Ф. Математика для школьников старших классов, Москва, «Дрофа», 1995.

Приложение

Методические материалы

Определение абсолютной величины числа (модуля числа), его геометрический смысл и основные свойства.

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и это число, взятое с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Модуль числа а обозначается так:. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения:

                                           =

  Модулем числа называется также расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. В  этом состоит геометрический смысл модуля. Т.о. используются термины «модуль», «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа. В соответствии с приведенным определением  = 5,  = 3,  =0. Модуль числа может быть определен и как наибольшее из чисел а и – а.

Историческая справка: термин «модуль» (от лат.modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682—1716), а знак модуля немецкий математик К.Вейерштрасс (1815-1897), в 1841 г.

Основные свойства модуля:

1. Модуль любого действительного числа а есть неотрицательное число: 0.
2. Каждое действительное число а не больше своего модуля и не меньше числа, противоположного модулю, т.е. -а.
3. Если число a 0 и для числа   х справедливо одно из неравенств ха или х-а, то модуль числа х удовлетворяет неравенству  а. Каждое число х, удовлетворяющее неравенству  а, удовлетворяет  одному из неравенств ха или х-а.
4. Если число а>0 и число х удовлетворяет неравенству  -аха, то модуль числа х удовлетворяет неравенству  а. Если  а, то справедливо неравенство:

-аха.

5. Модуль суммы двух или более слагаемых не больше суммы модулей этих чисел:  +,
6. Модуль разности двух чисел не меньше разности модулей этих чисел -.
7.  Модуль произведения двух или более множителей равен произведению модулей этих чисел:  =.
8. Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел: =:.  
9. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа: n= причем если п=2к – четное число, то 2к=а2к. 
10. Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, изображающими эти числа: =p(а, в). Из этого свойства следует важное равенство:  =. В частности,  =.
11. Сумма модулей чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно  нулю.
12. Модуль разности модулей двух чисел не больше модуля разности этих чисел:

.

13. Квадратный корень квадрата числа равен модулю этого числа: =.

Примеры: №1  

Противоположные числа имеют равные модули, т.е.

Расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Это можно считать геометрической интерпретацией модуля числа а.

Если | а | = 3, то а = 3.

Уравнения и неравенства, содержащие модуль, решаются с использованием аналитического определения модуля, а так же и с использованием его геометрического смысла.

Уравнения вида | f(x)| = b, b R

При b<0 решений нет,

При b=0 имеем f(x)=0,

При b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно совокупности двух уравнений

Пример №2: | х-5 | =2  

     откуда х = 7 и х = 3.

Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так:

  |  х – 5 |= 2

Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 2 равно 5. Откладываем на числовой прямой от точки 2 отрезок длиной 5 (в обе стороны)

Получим ответ: 7 и 3.

Упражнения.

Решить уравнения:  1). | 8х+5|=10                          3).    | х2  -5х +3|=1

                                   2). | 3х+2|=4                            4).   |х2-7х+9 |=3

Уравнение вида f(| x| )=g(x), где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения

Уравнение равносильно совокупности систем: и  

Пример№3: решить уравнение  х2 + | х | -6 =0

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

и

Уравнение имеет два решения: -3 и 2.

Решением уравнения являются числа 3 и –2.

Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2.

Решением второй системы совокупности есть число –2.

Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2.

Замечание:

Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного.

Пусть | х| =t, тогда и уравнение можно записать так:

Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2.

Берем только 2. Имеем | х| =2, т.е. х= .

Уравнение вида     | f(x)| =g(x)

Уравнение равносильно совокупности систем: и  g(х)?0

Пример №4: | 2х-5| =х-1

и

и

и

Числа х=4 и х=2 удовлетворяют данному уравнению.

Пример №5: | х3+3х2 +х|=-х+х3

Решение. Решим уравнения  х3+3х2 +х=-х+х3  и х3+3х2 +х=х –х3.  Первое из них имеет корни  - 2/3 и 0, а второе 0  и  -3/2. Легко  видеть, что условие х3 – х ? 0выолняется только при х = 0 и при х = -2/3. Следовательно,  -2/3 и 0 корни исходного уравнения.

Упражнения.

Решить уравнения:  1). | 8х+5|+2х=4х                 3). | х2  -3х|= х 2 -2х

                                   2). | 3х+2|=4х -2                  4).  |3х2  -5х - 8| =3х +8

Уравнение вида │f1(х)│+│ f2(х)│ +│ fn(х) │+… + =g(х)

Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к совокупности систем, не содержащих знак модуля.

Пример №6: | 2х-3| +| х-3| =| 4х-1|

2х-3=0, х=1,5,          х – 3 = 0    х = 3

х-3=0, х=3,

4х-1=0, х=0,25

Вся числовая прямая разбивается на четыре промежутка.

х = -5

2) х = 1

3) Нет решений

4) Нет решений

Ответ: -5 и 1.

Пример №7: | | х-1| +2| =1

Можно при решении данного уравнения ввести вспомогательную переменную | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так:

Получаем:

Данные уравнения решения не имеют, т.к. модуль числа неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Пример № 8. Решить уравнение =4.

По определению модуля; х=4 или х =-4.

Пример № 9. Решить уравнение:  =3.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:                                                                                               

Откуда: х1 =2 и х 2=-1.

Пример № 10. Решить уравнение: =-2.

По свойству 1: модуль любого действительного числа есть число неотрицательное, делаем вывод, что  решения нет.

Пример № 11. Решить уравнение:  =х–5.

По этому же свойству 1:   х–50, х5.

Пример № 12. Решить уравнение: +х=0.

=- х,  х0.

Пример № 13. Решить уравнение: =х+2.

В отличие от предыдущего примера в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что х +20,т.е. х-2. Тогда имеем:

                        2х+1= х +2    или 

                        2х+1 = - х – 2.

                  Т.о. при   х  -2, имеем:

                        х =  1,

                        х =  - 1.

Упражнения для самостоятельной работы:                                                                                                              

Решить уравнения:

1.      =х–3,
2.     =х+2,
3.     =,
4.      -2=3,
5.     2=3х+1,
6.      +х=9,
7.      х+ =11,
8.      + х+2=6,
9.      х–4-=-2,
10. –=3,
11. +х+3=,
12. -=6х–1,
13. +3х=–18,
14. ++3х=2.  
15.  | х+2| + |х - 2| =6    

 16.    | х+3| - | х -3| =6      

 17.    | х+ 1| -|х - 3| =2         

 18.    |х2 -9| +|х - 2| = 5

 19.    |х - 2|+2 |х-4|=3х-10 

При решении линейных уравнений используется или геометрический смысл модуля числа или раскрытие знака модуля. Рассмотрим на примере: решить уравнение

                              + = 7.

а) Используем геометрический смысл модуля числа. Запишем уравнение в виде: +=7. Тогда d=х–5  - расстояние от точки х до точки 5  на  числовой прямой, f =х–(-2) - расстояние от точки х до точки (-2) .По условию задачи сумма этих расстояний d+f=7. Нанесем точки 5 и -2 на числовую прямую. Легко проверить, что для любого числа из отрезка [-2;5]  сумма расстояний d+f  равна длине отрезка АВ, т.е. 7. Так же легко установить, что для точек х<2 или х>5 сумма расстояний d+f>7. Поэтому решением уравнения является интервал .

б) Раскроем знак модуля. Для этого нанесем точки -2 и 5 на числовую прямую. Эти точки разбивают ее на три интервала. Рассмотрим знаки модулей в каждом из промежутков.

В интервале 1 (х<-2) получаем: -(х–5)–(х+2)=7 или –х+5–х–2=7 или –2х+3=7, откуда получаем: х=-2. Но эта точка в рассматриваемый промежуток не входит. Поэтому х=-2 не является решением.      

В интервале 2: х получаем: -(х–5)+(х+2)=7 или 7=7. Так как получилось верное равенство, то любая точка из этого промежутка является решением данного уравнения.

 В интервале 3 (х>5) получаем:  (х-5)+(х+2)=7 или 2х-3=7, откуда х=5. Точка х=5 в рассматриваемый промежуток не входит и не является решением уравнения.

Итак, решение данного уравнения: -2х5.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решить уравнения:

№1.  х=+,

№2.  ++=2,

№3. +-=2х+4,

№4.  ++=11,

№5. -2=0.

Решение квадратных уравнений с модулем.

Рассмотрим решение квадратных уравнений с модулями на примерах:

№1.  Решить уравнение

    х2  -6+8=0. 

Введем замену =у, тогда при у 0 уравнение принимает вид:

  y2–6у+8=0, откуда у1=2 и у2=4. а  х=2 или -2; 4 или -4.

№2. Решить уравнение:

 +  = 0.

Уравнение равносильно системе: Откуда х=1.    

№3. Решить уравнение:

     = 2х – 1.  

Уравнение имеет решение при условии, что 2х–10, а равенство возможно при условии: значения выражений х2+х–1 и 2х–1 одинаковы либо противоположны. Т.о. имеем:   х0,5. Составим уравнения:  х2+х–1=2х–1 или х2+х–1=-(2х–1); решая которые, получим        

Ответ: .    

№4. Найти  корни уравнения: .

Представим данное уравнение в виде:  = х 2 – 1, откуда:

х2 – 1,

х – 1 = х2 – 1,

или х – 1 = - (х2  – 1).

х2  – 1   при х  - 1 и х  1.Решая уравнения, получим из первого: х=0 и х=1, из второго: х=-2 и х=1.

Ответ: х=1; х=-2. 

№5. Найти целые корни уравнения:   = .

Используя определение модуля, прходим к выводу, что равенство возможно, если значения выражений х–х2–1 и 2х+3–х2 равны или противоположны, т.е. данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Решая совокупность, получим корни данного уравнения: х=-4;-0,5;2. Целые среди них: -4 и 2.

№6. Решить уравнение:   =2х2–3х+1. 

Обозначим выражение 3х-1-2х2  буквой а. Тогда данное уравнение примет вид: =-а.  Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству: 3х–1-2х20, решая которое, получим ответ: х0,5 и х1.

Упражнения для самостоятельной работы.

 Решить уравнение:

№1.=х2+ х–20.

№2. + 3х -5=0,

№3. =(х–1)(х+1),

№4. х2–6+5=0,

№5.  х2+8=9,

№6.=х2 –6х+6,

№7. х   =-8.

Решение уравнений, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Рассмотрим пример: решить уравнение с параметром

3–х=.

Построим графики функций у=3–х и у=. График у=3–х фиксирован и от параметра не зависит. График у=получается из графика фукции у=, зависит от параметра а. Поэтому рассмотрим 3 случая:

1. Этот случай, как видно из рисунка, будет при а<3. Графики этих функций пересекаются  в единственной точке В. Рассмотрим  треугольник АВС, в котором угол А равен углу В и равен 450, проведем в этом треугольнике высоту ВД. Т.к. треугольник АВС – равнобедренный, то ВД также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки Д   х =(а + 3)/2.

2. Этот случай имеет место  при  а=3. Тогда графики функций совпадают по отрезку АВ, и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е. х<3.

3. В этом случае,  а>3. Видно, что графики функций не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Поэтому уравнение решения не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы:

Решите уравнения:

№1.=а,

№2. а=3,

№3. (а–2)=а–2,

№4. а2х2+а=0.

Решение неравенств, содержащих знак модуля

Примеры:                                                

1) | 2х-5| <7                                         

-7 < 2x-5 < 7

-2 < 2x < 12

-1 < x < 6

Ответ: (-1;6).

2) | x-3| >1

x-3 >1   и   x-3 < -1

x > 4   и   x < 2

Ответ: 

4).2х+1| >7

2x+1>7 и 2x+1<-7

2x>6 и 2x<-8

x>3 и x<-4

Ответ: 

Упражнения.

Решить уравнения:  1) | х+2| ?3     2) |х - 2|?2        3) |х2  -5|>4

 Неравенство вида | f(x)|

Данное неравенство равносильно системе:
Для тех х, при которых , эта система,
(а значит и данное неравенство), решений не имеет.

Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно системе:

   2 < x < 5

Ответ: (2; 5)

Ответ:                                   

Упражнения:

Решить неравенства:  1) |3х-2| +х >1               2). |х - 1|? 2х +1

 2). | х+ 1| <-|х - 3|          4).  |х2 -9| >|х - 2|

Решить неравенство:

>4.

 Первый способ: Имеем: >4,

            >4,

                                                 >2.

Геометрически выражение     означает расстояние на  координатной прямой между точками х и 2,5. Значит, нам нужно найти все такие точки х, которые удалены от точки 2,5 более чем на 2, - это точки из промежутков х<0,5 и х>4,5.

Второй способ: Поскольку обе части заданного неравенства неотрицательны, то возведем обе части этого неравенства в квадрат:2>42 .

(2х–5)2>42,

(2х–5)2–16>0,

(2х–5–4)(2х–5+4)>0,

2(х–4,5) 2(х–0,5)>0,

(х–4,5)(х–0,5)>0.

Применив метод интервалов, получим: х<0,5 и х>4,5.

Третий способ: Выражение 2х–5 может быть неотрицательным или отрицательным. Т.е. имеем совокупность двух  систем:

Откуда: х<0,5 и  х>4,5.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример №2.Решить неравенство: <3.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Из первой системы получаем 2х<5, из второй  -1<х<2. Объединяя эти два решения, получаем: -1<х<5.

Пример №3. Решить неравенство: 3х+3.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству   -х-33х–3х+3 или системе   

Имеем:  0х3.

Упражнения для самостоятельной работы:

 Решить неравенства:

№1. <3х+1,

 №2.  +>2,

 №3. ->-2.

Решение квадратных неравенств с модулями.

Рассмотрим пример №1. Решите неравенство:  +х–2<0.

Данное неравенство можно решить методом интервалов. Рассмотрим иное решение, основанное на следующем утверждении: при любом значении а неравенство  равносильно системе неравенств: , а неравенство равносильно совокупности неравенств .^[1]

Поэтому наше неравенство равносильно системе неравенств:  решая которые,  получим:  

Запишем ответ: (1-;2-).

Пример №2. Найти целые решения неравенства: 2х–х2 . Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:

Решим первую систему: из первого неравенства имеем: х1; х2.

                                          из второго:    2х2–5х+20, или  0,5х2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств первой системы  на  координатной  прямой, находим пересечение решений.

Т.о. 0,5х1 и х=2. Это решение первой системы.

Решим вторую систему: из первого неравенства имеем: 1<х<2, из второго:   -(х2 -3х+2)2х–х2, или – х2+3х–2–2х+ х20, или х2.

Отметив найденные решения первого и второго неравенств второй системы на координатной прямой, получим: 1<х<2. Это решение второй системы. Объединив найденные решения систем неравенств 0,5x1; х=2; 1, получаем: 0,5x2 и т.о. целыми решениями будут х=1 и х=2.

 Упражнения для самостоятельной работы:

Решите неравенства:

№1.  <6,

№2.  <х,

№3. <3х–3,

№4. х2-3+2>0,

№5. х2-х<3,

№6. х2-6х+7-<0,

№7. 3+х2–7>0,

№8. >.

Решение неравенств, содержащих абсолютную величину, с параметрами.

Пример. При каких значениях а верно неравенство: ах2+4+а+3<0?

При х0 имеем ах2+4х+а+3<0. Старший   коэффициент а должен быть отрицательным, дискриминант – меньше нуля.

а<0, Д=16–4а(а+3)<0; 16-4а2-12а<0; а2+3а-4>0; а<-4 и а>1;

абсцисса вершины параболы  х0=-в/2а=- 4/2а=-2/а 0, откуда а<-4.

При х<0 имеем ах2–4х+а+3<0. Рассуждая аналогично, получим: а<-4.

Ответ:  при а<-4  данное неравенство выполняется при всех действительных значениях х.

Упражнения для самостоятельной работы: 

Решите неравенства с параметрами:

№1.>-а,

№2.  (х–а)<0,

№3. Существуют ли такие значения а, при которых неравенство ах2>2+5 не имеет решений?