Мой мастер-класс
план-конспект по математике

Открытое учебное занятие по математике «Применение производной при решении прикладных задач»

Преподаватель ОГБ ПОУ СмолАПО Пещаницкая З.И.

Занятие проводится со студентами 2 курса специальности

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет

Триединая дидактическая цель:  формирование навыков применения производной при решении экономических задач, развитие умения обобщать, конкретизировать, делать выводы,  развитие умения из многих способов деятельности выбирать наиболее подходящий для данной ситуации, развитие познавательной активности, формирование убежденности    в важности математических знаний для профессиональной подготовки, воспитание    аккуратности,    сосредоточенности.

Задачи урока:

• Обнаружить и устранить пробелы в  умениях учащихся находить производную
• Продемонстрировать прикладной характер изученной темы

Оборудование: доска, линейка, мел.

Дидактические материалы: индивидуальные карточки студентов, карточки - задания

Используемые технологии: технология уровневой дифференциации на основе обязательных результатов, обучение в сотрудничестве.

Вид учебного занятия: семинар-практикум.

Ход урока.

Организационный этап

Приветствие, фиксация отсутствующих, проверка подготовленности к учебному занятию учащихся, проверка подготовленности помещения, организация внимания.  

Этап проверки выполнения домашнего задания. (Приложение 1)

Дома необходимо было расшифровать закодированную фразу.

• Какие возникли проблемы с выполнением домашнего задания?
• Какие примеры не получилось решить?
• Какие фразы получились в результате расшифровки?

Фраза «Инвестиции в знания всегда приносят наибольший доход» принадлежит Бенджамину Франклину. Он вошел в историю Америки как изобретатель, ученый, политик, дипломат и философ. А еще – талантливый бизнесмен, музыкант, писатель и издатель. Трудно назвать сферу, в которой бы Бенджамин Франклин не преуспел. Его называют «первым американцем» и универсальным человеком. В мире Бенджамин Франклин, пожалуй, самая известная личность. Даже те, кто не интересуется наукой, политикой, историей, знают его по изображению портрета на 100-долларовой купюре еще с 1914 года.

Роль политика в истории такова, что его ошибочно считают американским президентом. В правдивости его высказывания не приходится сомневаться.

Подготовка к работе на основном этапе. Формулирование целей.

Выполненное домашнее задание свидетельствует о том, что находить производную научились. Но, «мудр не тот, кто знает много, а тот, чьи знания полезны»! В результате изучения математики Вы должны вырабатывать общеучебные компетенции (организовывать собственную деятельность, владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию, заниматься самообразованием), профессиональные компетенции, уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

Поэтому тема сегодняшнего занятия: «Применение производной при решении прикладных задач».

«Если у тебя нет своей цели в жизни, то ты будешь работать на того, у кого она есть». Ставьте перед собой цели: на всю жизнь, на год, на семестр, на месяц, на день, на каждое занятие. Сформулируйте цель на сегодняшнее занятие.

Этап усвоения новых знаний

Актуализация субъективного опыта.

Вопросы:

1. В чем заключается физический смысл производной?
2. Какие три физические величины связывает физический смысл производной?
3. Что вы понимаете под производительностью труда?

Аналогия между физическим и экономическим смыслом производной.

Контрольные вопросы:

1. Как найти функцию производительности труда, если известна функция объема произведенной продукции?
2. Как найти производительность труда через t0 часов после начала работы?
3. Как найти скорость изменения производительности труда?

Пример.

Объем продукции u(t) единиц, произведённой бригадой рабочих, может быть описан уравнением  единиц, где   – рабочее время, в часах.

Вычислить производительность труда и скорость ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания при восьмичасовом рабочем дне.

Решение

1. Функция производительности труда:

=ед/час.

Производительность труда через 1 час после начала работы:

 ед/час.

Производительность труда за 1 час до конца восьмичасового рабочего дня:

Вывод: к концу рабочего дня производительность труда увеличилась.

2. Функция скорости изменения производительности труда:

Скорость изменения производительности труда через 1 час после начала работы: 8 ед/час2

Скорость изменения производительности труда  за 1 час до конца восьмичасового рабочего дня:  – 4 ед/час2.

Вывод: В первые часы рабочего дня производительность труда увеличивается, а в конце рабочего дня уменьшается.

Возникает вопрос: В какой момент времени производительность труда  наибольшая?

Пример В условии предыдущей задачи определить, в какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?

Решение:

Построение математической модели.

1. Функция зависимости производительности труда от времени      

2. .

Исследование математической модели

1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки: корни уравнения  .

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

                 0                  5              8

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

26

35

5. Среди найденных значений выбрать наибольшее.

Интерпретация полученного результата для данных задачи. 

Производительность труда будет наибольшей через 5 часов после начала работы.

При решение прикладных задач на применение производной необходимо следовать алгоритму:

• Построить математическую модель: установить исследуемую функцию и отрезок, на котором надо найти наибольшее и наименьшее значение.
• Исследовать математическую модель в соответствии с математическим алгоритмом.
• Интерпретировать полученный результат для данных задачи.

Этап первичной проверки понимания изученного

Математический диктант с взаимопроверкой по ключу.

Этап закрепления новых знаний и способов действий

Самостоятельная работа трех уровней по индивидуальным карточкам.

Этап информации о домашнем задании.

Запись, инструктаж и постановка вопросов в случае необходимости.

Домашнее задание трех уровней на индивидуальных карточках.

Подведение итогов занятия

Оценка работы группы в целом и отдельных студентов, рефлексия.

Приложение 1

Расшифруйте  высказывание

Расшифруйте высказывание

Расшифруйте высказывание

Индивидуальная карточка студента.

Группа______________________________ ФИО студента____________________________________________

Тема: Применение производной к решению прикладных задач

Цель: _______________________________________________________________________________________

Заполните  схему:

                                                       /                                                        /                                                                             

Задание В условии предыдущей задачи определить, в какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?

Решение:

Построение математической модели.

1. Функция зависимости производительности труда от времени  ______________________________

2. .

Исследование математической модели

6. Найти производную функции. ___________________________
7. Найти критические точки: корни уравнения  .

8. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

                 0                                  8

9. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

10. Среди найденных значений выбрать наибольшее.

Интерпретация полученного результата для данных задачи. 

Производительность труда будет наибольшей через ___________часов после начала работы.

Алгоритм решения задач:

• Построить математическую модель.
• Исследовать математическую модель в соответствии с математическим алгоритмом.
• Интерпретировать полученный результат для данных задачи.

Математический диктант.

1.Дано: __________________________________Найти_______________________________________

2. Найти______________________________________________________________________________

3. Найти_________________________________________________________________________________

4.__________________________________ Найти ___________________________________

5._____________________________________________________________________________________

Задания для самостоятельной работы

1 вариант

Объем продукции u(t) единиц, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением  единиц, где   – рабочее время, в часах.

  Определить:

1. А) Функцию производительности труда ____________________________________________

Б) Производительность труда через 3 часа после начала работы._________________________________

Ответ:

2. Скорость изменения производительности труда  через 2 часа после начала рабочего дня?

Ответ:

3. В какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?

Ответ:

Дополнительное задание.

Темп изменения производительности труда можно найти как логарифмическую производную

. Найдите  темп изменения производительности труда T(t) в момент времени t =2 часа.

Пожалуйста, закончите фразы:

Сегодня на занятии поставленная цель была_______________________________________________________

Сегодня на занятии для меня важно и интересно___________________________________________________

Сегодня на занятии для меня трудно _____________________________________________________________

Сегодня на занятии для меня было недостаточно___________________________________________________

Я предлагаю__________________________________________________________________________________

Индивидуальная карточка студента.

Группа______________________________ ФИО студента____________________________________________

Тема: Применение производной к решению прикладных задач

Цель: _______________________________________________________________________________________

Заполните  схему:

                                                       /                                                        /                                                                             

Задание.  В условии предыдущей задачи определить, в какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?

Решение:

Построение математической модели.

1. Функция зависимости производительности труда от времени      ______________________________

2. .

Исследование математической модели

1. Найти производную функции. ___________________________
2. Найти критические точки: корни уравнения  .

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.

                 0                                  8

4. Вычислить значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

5. Среди найденных значений выбрать наибольшее.

Интерпретация полученного результата для данных задачи. 

Производительность труда будет наибольшей через ___________часов после начала работы.

Алгоритм решения задач:

• Построить математическую модель.
• Исследовать математическую модель в соответствии с математическим алгоритмом.
• Интерпретировать полученный результат для данных задачи.

Математический диктант.

1.Дано: __________________________________Найти_______________________________________

2. Найти______________________________________________________________________________

3. Найти_________________________________________________________________________________

4.__________________________________ Найти ___________________________________

5._____________________________________________________________________________________

Задания для самостоятельной работы

 2 вариант

Объем продукции u(t) единиц, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением  единиц, где   – рабочее время, в часах.

  Определить:

1. А) Функцию производительности труда ____________________________________________

Б) Производительность труда через 2 часа после начала работы._________________________________

Ответ:

2. Скорость изменения производительности труда  через 2 часа после начала рабочего дня?

Ответ:

3. В какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?

Ответ:

Дополнительное задание.

Темп изменения производительности труда можно найти как логарифмическую производную

. Найдите  темп изменения производительности труда T(t) в момент времени t =2 часа.

Пожалуйста, закончите фразы:

Сегодня на занятии поставленная цель была_______________________________________________________

Сегодня на занятии для меня важно и интересно___________________________________________________

Сегодня на занятии для меня трудно _____________________________________________________________

Сегодня на занятии для меня было недостаточно___________________________________________________

Я предлагаю__________________________________________________________________________________

Дополнительные задачи.

Задача 1.  Затраты на производство продукции объёма  х задаются функцией . Производитель реализует продукцию по цене 25 тысяч рублей. Найдите максимальную прибыль и соответствующий объём продукции х.

Решение:

Этап построения математической модели (этап формализации).

Оптимизируемая величина – прибыль. Обозначим у.     Объём производства обозначим х.

Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С:   у= U – С

Выручка:  (реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку).     Затраты: .

Значит,

Определяем (по смыслу задачи) область определения функции. По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.

Формулируем математическую задачу. Найти наибольшее значение функции при  

Этап исследования математической модели.

Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке

Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит  – точка максимума.      

Этап интерпретации результатов.

Максимальная прибыль, равная 96 тысяч рублей, достигается при объёме производства 10 единиц.

Задача 2.  Функция спроса  от цены  продукта имеет вид  . Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара  единицы.

Решение.

Пусть спрос зависит от цены по закону . Функция   показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно , т.е. с увеличением цены спрос падает, то  берут со знаком «–», т.е. .

Если   то говорят, что спрос эластичен.

Если  , то не эластичен.

Если же   то спрос нейтрален.

 Коэффициент эластичности спроса равен

.

При  получаем:  .  

Значит, при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%.  Так как 0,25< 1, то спрос при цене 2 единицы не эластичен.

Домашнее задание.

Объем продукции u(t) единиц, произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением  единиц, где   – рабочее время, в часах. Определить:

1. А) Функцию производительности труда

Б) Производительность труда через 2 часа после начала работы.

2. В какое время в течение восьмичасового рабочего дня производительность труда будет наибольшей?
3. Скорость изменения производительности труда  через 2 часа после начала рабочего дня?

Литература.

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М. ЮНИТИ, 2014.
2. Дадаян А. А. Математика: Учебник – М.: Форум:Инфра-М, 2014.
3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов.  – СПб.: Питер, 2014.