Практическое занятие: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
учебно-методическое пособие по математике (10, 11 класс)

При вычислениях надо использовать инженерный калькулятор

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл Практическое занятие106.49 КБ

Предварительный просмотр:

Практическое занятие

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Цель практического занятия:

приобрести навыки выполнения действий над векторами;

научиться применять  векторы и метод координат к решению  геометрических задач.

  1. Краткие сведения из теории

Понятие вектора. Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины принято изображать направленными отрезками, которые называются векторами.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор  можно разложить единственным образом по базисным векторам

=++ ,

коэффициенты  , и  этого разложения называются координатами вектора    в данной системе координат.

Абсолютная величина вектора    равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:   .

Действия над векторами, заданными своими координатами.

  1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:  

.

  1. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

  1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:

 .

  1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

 .

Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:  

 .

Вычисление угла между векторами.

Из определения скалярного произведения векторов можно получить величину угла между векторами:

   или в координатах:   .

Пример 1:       Даны два вектора   и   (1;3;0).

1.  Найдите координаты векторов  и   ;

  Координаты векторов  и  находим по правилу умножения вектора на число:        3 .

           Координаты вектора   находятся по правилу вычитания векторов:  

  Координаты вектора:  

  1.  Вычислите скалярное произведение векторов   и   ;

  По формуле скалярного произведения:

=  1(-3) + (-12)(-9)+9·0 = -3 + 108 +0= 105.

  1. Найдите длину векторов   и  ;

Длина вектора   ;

Длина вектора    .

       4.  Определите угол между векторами      и   .

           Угол между векторами      и    определяется по формуле:

.

2.  Выполните задания в соответствии с номером варианта:

        Даны координаты вершин треугольника ABC.

  1. Вычислите  в .
  2. Определите вид .
  3. Найдите координаты вектора=2+-3.

№ варианта

Координаты вершин треугольника ABC

A (4; 6; 3), B (-5; 2; 6), C (4;-4; -3).

A (4; 3; -2), B (-3; -1; 4), C (2; 2; 1).

A (-2; -2; 4), B (1; 3; -2), C (1; 4; 2).

A (2; 4; 3), B (3; 1; -4), C (-1; 2; 2).

A (2; 4; 5), B (1; -2; 3), C (-1; -2; 4).

A (-1; -2; 4), B (-1; 3; 5), C (1; 4; 2).

A (1; 3; 2), B (-2; 4; -1), C (1; 3; -2).

A (2; -4; 3), B (-3; -2; 4), C (0; 0; -2).

3.   Решение типовых примеров:

Даны вершины   :   A (-2; 5; 2), B (2; 3; -1), C (6; 4; -3).

1) Найти  .

  - это угол между векторами    и    .

   

Найдём координаты вектора  :

 = ()

 = (-2-2; 5-3; 2-(-1)) = (-4; 2; 3)

Аналогично находим координаты вектора :

 = (6-2; 4-3; -3-(-1)) = (4; 1; -2)

=.

Ответ: =.

2) Определить вид .

Чтобы определить вид  треугольника нужно найти длины его сторон и проверить по теореме Пифагора является ли он прямоугольным.

 =

 =

 =

По т. Пифагора:

 

90  29+21

Следовательно, - косоугольный, разносторонний.

 3) Вычислить координаты вектора  =2 - 4 + 3

2  = 2 (8; -1; -5) = (16; -2; -10)

-4= -4 (-4; 2; 3) = (16; -8; -12)

3 = -3 = -3 (4; 1; -2) = (-12; -3; 6)

2  = (16; -2; -10)

-4= (16; -8; -12)

2 -4+3= (20;-13;-16)

Ответ: (20;-13;-16)


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Метод координат в решении стереометрических задач

Методическая разработка "Метод координат в решении стереометрических задач" предназначена для учителей и учащихся 10-11 классов, испытывающих затруднения при решении геометрических задач на вычисление...

Метод площадей при решении геометрических задач

В школьном курсе математики, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, а...

Векторы в пространстве. Применение метода координат к решению задач.

Представлена технологическая карта урока по геометрии  в 11 классе.  Тип урока: обобщение и систематизация  изученного материала....

Разработка урока по геометрии в 11 классе "Метод координат при решении стереометрических задач"

Обобщается метод координат для нахождения углов в пространстве. Рассматриваются различные подходы к решению некоторых задач....

Использование метода ассоциаций в решении геометрических задач (из опыта подготовки выпускников к ОГЭ по математике)

В статье обобщен опыт использования метода ассоциаций в обучении  математике....

Метод площадей при решении геометрических задач

Методическая разработка для организации повторения курса планиметрии при подготовке обучающихся к ГИА...

Применение метода координат при решении стереометрических задач ЕГЭ

Очень часто задачи из курса стереометрии сложны и вызывают затруднения у учащихся. Некоторые виды задач рекомендую решать с помощью метода координат. Характерной особенностью метода координат явл...