Практическое занятие: ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
учебно-методическое пособие по математике (10, 11 класс)

Практическое занятие

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Цель практического занятия:

приобрести навыки выполнения действий над векторами;

научиться применять  векторы и метод координат к решению  геометрических задач.

1. Краткие сведения из теории

Понятие вектора. Некоторые физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины принято изображать направленными отрезками, которые называются векторами.

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой вектор  можно разложить единственным образом по базисным векторам

=++ ,

коэффициенты  , и  этого разложения называются координатами вектора    в данной системе координат.

Абсолютная величина вектора    равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:   .

Действия над векторами, заданными своими координатами.

1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:  

.

2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:

3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:

 .

4. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

 .

Скалярное произведение равно сумме попарных произведений соответствующих координат векторов:  

 .

Вычисление угла между векторами.

Из определения скалярного произведения векторов можно получить величину угла между векторами:

   или в координатах:   .

Пример 1:       Даны два вектора   и   (1;3;0).

1.  Найдите координаты векторов  и   ;

  Координаты векторов  и  находим по правилу умножения вектора на число:        3 .

           Координаты вектора   находятся по правилу вычитания векторов:  

  Координаты вектора:  

2.  Вычислите скалярное произведение векторов   и   ;

  По формуле скалярного произведения:

=  1(-3) + (-12)(-9)+9·0 = -3 + 108 +0= 105.

3. Найдите длину векторов   и  ;

Длина вектора   ;

Длина вектора    .

       4.  Определите угол между векторами      и   .

           Угол между векторами      и    определяется по формуле:

.

2.  Выполните задания в соответствии с номером варианта:

3.   Решение типовых примеров:

Даны вершины   :   A (-2; 5; 2), B (2; 3; -1), C (6; 4; -3).

1) Найти  .

  - это угол между векторами    и    .

Найдём координаты вектора  :

 = ()

 = (-2-2; 5-3; 2-(-1)) = (-4; 2; 3)

Аналогично находим координаты вектора :

 = (6-2; 4-3; -3-(-1)) = (4; 1; -2)

=.

Ответ: =.

2) Определить вид .

Чтобы определить вид  треугольника нужно найти длины его сторон и проверить по теореме Пифагора является ли он прямоугольным.

 =

 =

 =

По т. Пифагора:

90  29+21

Следовательно, - косоугольный, разносторонний.

 3) Вычислить координаты вектора  =2 - 4 + 3

2  = 2 (8; -1; -5) = (16; -2; -10)

-4= -4 (-4; 2; 3) = (16; -8; -12)

3 = -3 = -3 (4; 1; -2) = (-12; -3; 6)

2  = (16; -2; -10)

-4= (16; -8; -12)

2 -4+3= (20;-13;-16)

Ответ: (20;-13;-16)