внеклассная работа по математике
материал по математике

Действие учителя

Действие обучающегося

Приветствие обучающихся

Приветствие учителя

1.        Ребята, вы любите приключения? Вячеславу Викторовичу Произволову, автору увлекательной книги «Задачи на вырост», принадлежат слова: «Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». Я предлагаю вам сегодня пережить интереснейшее приключение.

Посмотрите на картины известных и неизвестных художников. Как вы думаете, что их объединяет?

Попробуйте пофантазировать и предположить, решением каких задач могут быть  заняты персонажи картин? Возможно, что они решают задачи на построение.

А нам знакомы такие задачи?

 Какие инструменты можно использовать при решении классических задач на построение?

-Отвечают на вопросы,

-Рассматривают картинки,

-Предлагают варианты задач

-Называют инструменты

2. Но мы сегодня будем решать несколько другие задачи. А что это за задачи, догадайтесь сами.

Известно, что с этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Решения многих простых подобных задач были найдены ещё древними греками. Догадались, о каких задачах идет речь?

Да, конечно, речь идет о задачах на разрезание. Задачи на разрезание или на перекраивание фигур возникли в глубокой древности. Уже в VII—V вв. до н.э. в Индии в книге «Правила веревки» рассматриваются задачи на перекраивание фигуры, состоящей из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат и перекраивание прямоугольника в квадрат. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку – это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

        Отложим в сторону циркуль и возьмем ножницы. Кроить, вырезать, соображать – вот что требуется при решении таких геометрических задач.

Задачи на разрезание и перекраивание фигур.

-Пробуют назвать название задач

? А какие фигуры в геметрии называются равновеликими?

Задача №1.  

Перекроите фигуру, состоящую из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. 

(Для решения задачи ребятам надо найти ответ на вопрос: какие фигуры являются равновеликими? Они находят ответ либо в математическом справочнике, либо в интернете).

Решение. Разрезать по диагонали каждый квадрат. Диагонали будут являться сторонами получившегося квадрата.  

Задача №2.  

Разрежьте прямоугольник, длина которого равна 9 клеток, а ширина 4, на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

-Фигуры у которых одинаковые площади.

-учащиеся предлагают свои пути решения задачи.

Решение.

Задача №3.  

Постройте прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см. Разрежьте прямоугольник по диагонали. Сложите из получившихся частей треугольник.

Можно ли из этих частей сложить еще один треугольник, не равный данному? Если можно, то сложите еще один треугольник

_Выполняют  все условия задачи.

Задача №4.  

Постройте прямоугольный треугольник, у которого две стороны равны. Разрежьте его на три неравные части, из которых можно было бы составить два равных квадрата.

 Решение

Задача №5 .  

Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить треугольник с 3 острыми углами и тремя различными сторонами. 

Решение представлено на рисунке.

Задачи на нахождении площади фигуры на клетчатой бумаге.

-Выпускники сдают ЕГЭ, предусматривающий решение интересных, нестандартных задач из курса геометрии. Многие из них можно решить, не используя формулы, а применяя метод разрезания и перекраивания. Рассмотрим одну такую задачу

.  
Задача №5 .   Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

    .

А теперь предлагаю рассмотреть один из способов решения. Вы  не знаете формулы нахождения площади трапеции, но обладаете хорошим воображением. Способ сродни решению головоломки - как разрезать плоскую фигуру на части, чтобы из этих частей, используя каждую из них одинаковое число раз, сложить прямоугольник? Затем, просто посчитать количество клеточек внутри прямоугольника, и разделить на число повторов деталей заданной фигуры. Смотрите.

   
 Проводим дополнительную линию AC и "разрезаем" трапецию на две части, как в решении вторым способом. Проводим дополнительные линии и строим вершины E и F, как в решении третьим способом. Убеждаемся в том, что получившиеся зеленые и желтые треугольники попарно равны (подсчетом клеточек на соответствующих сторонах). Значит, для построения прямоугольника детали заданной фигуры использованы 2 раза, один комплект желтый, второй - зеленый. Считаем общее количество клеточек в закрашенном прямоугольнике. Получается 24. Делим на 2. 24/2 = 12.  Ответ: 12.

Рассмотрим еще один способ решения задачи.  Способ требует тех же самых знаний, что и предыдущий, только немножко иного взгляда на картинку. Теперь мы будем не "разрезать" нашу трапецию на части, а "вырезать" её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6×4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC. 

SAEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8.

Следовательно, площадь трапеции равна  S = 24 − 4 − 8 = 12.

Ребята сначала предлагают свои решения.

Ребята принимают участие в обсуждении и  записывают решение задачи в тетрадях.

Рассмотрите задачи из открытого банка заданий ЕГЭ, предложите их решения.

-Наше приключение подходит к концу. На следующем занятии мы продолжим решение задач на разрезание, перекраивание, нахождение площадей фигур на клетчатой бумаге, добавим еще фигуры на координатной плоскости. Я надеюсь, что мир наглядной геометрии вас увлек.

Предлагаю вам к следующему занятию выполнить одно из заданий:

• найдите или придумайте сами задачу на разрезание фигур;
• подберите и решите задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике на нахождение площадей фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Решают задачи в парах, первые, верно решившие задачу показывая верные решения на доске, остальные записывают решение в тетрадь.

Записывают задание.

ЗАДАЧИ

РЕШЕНИЕ. ОТВЕТ

1. Попробуйте решить устно

Решение:

2. Найдите простой прием вычислений и воспользуйтесь им для вычисления суммы.

Решение:

Перепишем

(1-1/2) +(1/2 -1/3)+(1/3-1/4 ) +… +(1/9 – 1/10 )=1-1/10 =9/10

3. Найдите возможно быстрее частное и какой остаток получается при делении числа  на 5

Решение:  частное 1 остаток

4. Вычислите:

1000000-(1000000-(1000000 –(1000000-(1000000-999999))))

Решение:

1000000-(1000000-(1000000 –(1000000-1)))= 1000000-(1000000-(1000000 –999999))=

=1000000-(1000000-1)= 1000000-999999=1

5.Запишите число 100, пользуясь знаком «+»1) четырьмя 9, 2) шестью 9

(Допускается использование дробной черты)

Решение:

1. 99+9/9
2. 99+99/99

6. Какое натуральное число в 7 раз больше цифры его единиц?

Ответ:35

7. Как нужно расставить знаки + в записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1 =99

Ответ: 9+8+7+65+4+3+2+1=99

8. Как 7 яблок разделить поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного яблока больше, чем на 4 части?

Решение: Каждому достанется 1/3 яблока+1/4 яблока 1/3+1/4= 7/12

9.Найдите число, одна треть и одна четверть которого составляет 21.

Решение: 

(1/3+1/4)х =21

х=36

10.Полтрети- число100. Что это за число?

Решение:

1/2( 1/3х)=100

х=600

Действия учителя

Действия обучающихся

Слово учителя: При решении логических задач часто бывает трудно запомнить многочисленные условия, данные в задаче, и установить связь между ними. Решать такие задачи помогают графы, дающие возможность наглядно представить отношения между данными задачи.

«Граф» имеет корнем греческое слово «графо», что означает «пишу»

Для иллюстрации понятия графа рассмотрим пример:

Задача 1.

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем и Борисом; Дмитрий- с Виктором и Елена- с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Обсуждение:

Изобразим данные задачи в виде схемы:

Участников будем изображать точками:

Андрея- точкой А, Бориса- точкой Б, и т.д.

Если двое участников уже сыграли между собой,

то будем соединять изображающие их точки отрезками.

Такие схемы называются графами. Точки А, Б ,В,Г,Д,Е

Называются – вершинами графа, соединяющие их отрезки – ребрами графа. Число игр, проведенных к настоящему времени, равно числу ребер, т.е.7.

Чтобы найти число игр, которые осталось провести, построим еще один граф с теми же вершинами, но ребрами будем соединять тех участников, которые еще не играли друг с другом. Ребер у этого графа оказалось 8, значит осталось провести 8 игр.

Ответ: проведено 7 игр, осталось 8 игр.

--Графами мы пользуемся довольно часто. Возьмите схему железнодорожных дорог: здесь станции – это вершины графа, перегоны - (участки пути между станциями) – ребра графа. Вершины и ребра многогранника – тоже образуют граф.

Учащиеся принимают участие в обсуждении задачи, делают необходимые записи в тетрадях. Находят пути решения

Записывают решение задачи .

На листе ставя точки, соответственно называют их.

Соединяют отрезками сыгранных между собой игроков.

Считают число сыгранных игр.

Рисуют граф для несыгранных игр.

Записывают ответ.

Задача 2.

Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3?

Решение:

Все клетки шахматной доски перенумеруем с 1 до 9.

Представим каждую клетку в виде вершины графа, т.е точки с соответствующим номером.

Затем клетки(вершины) соединим ребрами, если из одной из них можно одним ходом коня перейти в другую. Например, из клетки с номером «1» можно ходом коня попасть в клетку с номерами«6» и «8» и обратно. Из клетки с номером «2» в «7» и «9» и т.д. В результате получим схему.

Как видно вершина с номером «5» не соединены ребром ни с одной из других вершин. Это значит, что в клетку «5» ни из одной клетки нельзя попасть ходом коня и, если конь стоит на этой клетке, то у него нет хода в другие клетки.

Ответ: Клетки шахматной доски 3×3 нельзя обойти ходом коня, побывав в каждой клетке.

Задача 3.

Выпишите в ряд цифры от 1 до 9 так, чтобы число составленное из двух соседних цифр, делилось либо на 7, либо на 13.

Решение:

Напишем цифры на листе. Соединим  стрелками те цифры, которые могут следовать друг за другом. Стрелка от «7» к «8» показывает, что на 7 или 13делится число 78, а от «4» к «2» и «9», что таких чисел два: 42 и 49.Из рисунка видно «7»  выходит только одна стрелка – это означает, что «7» можеттолько первой, а «6»- наоборот только последней, так как из «6» не выходит ни одной стрелки.

Выпишем первые цифры числа. Это будут 784: Из «7» выходит только одна стрелка и из «8» выходит тоже только одна стрелка. Цифры 7,8 и  4 уже использованы, поэтому стрелки «9-8», «2-8» и «1-4» уже не могут быть использованы  (каждая цифра используется по условию задачи только один раз). Тогда получим следующий рисунок.

После цифры 4 могут стоять либо 2, либо 9.

Рассмотрим первый случай: допустим, четвертая цифра – это «2», тогда за «2» должна следовать «1», а за «1» - «3».После «3» есть также две возможности: либо «5», либо «9». Но в том и другом случае одна цифра не используется, а по условию должны быть использованы все девять цифр. Следовательно после «4» «2» не может стоять – это тупиковый путь. Рассмотрим «9» .Из «9» выходит только одна стрелка, т.е. следующей будет «1», дальше «3», «5», «2», «6».

Ответ: 784913526

Задача 4.

На занятиях кружка  пришли 15 учеников. Некоторые из них поздоровались за руку. Могло ли быть так, что каждый поздоровался ровно с пятью другими.

Решение:

Предположим что, это возможно. Рассмотрим тогда граф, вершины которого ученики, а ребрами соединим тех из них, которые поздоровались за руку. В этом  графе степень каждой вершины 5. Просуммируем все степени, получим 5*15. Это число равно удвоенному числу всех ребер, так как каждое рукопожатие считалось два раза, но число 5*15 нечетно.

Ответ: Нет, такого не могло быть.

--Решение этой задачи показывает, что сумма степеней всех вершин должна быть четной. Вершина называется четной, если ее степень четна, в противном случае нечетной.

Теорема. Число нечетных вершин любого графа четно.

Граф называется четным, если у него все вершины четные, связным-если между любыми вершинами существует путь, состоящий из ребер графа, плоским – если он нарисован на плоскости так, что его ребра не пересекаются.

--Теперь ребята, я предлагаю вам поработать в группах. Вам предлагается для решения 4 задачи.

Записывают теорему, определения

Решают задачи, работая в группах. Обсуждают решение, задают вопросы учителю