Олимпиада по математике (школьный тур)
олимпиадные задания по математике

5 класс

№1

Вычеркните в числе 4000538 пять цифр так, чтобы оставшееся число стало наибольшим.

№2

Для того чтобы разрезать металлическую балку на две части, надо заплатить 50 рублей. Сколько будет стоить работа, если балку надо распилить на 10 частей?

№3

На скотном дворе гуляли гуси и поросята. У гусят и поросят вместе 30 голов и 84 ноги. Сколько гусей и сколько поросят было на скотном дворе?

№4

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

№5

Разделите данную фигуру на 4 равные фигуры (см.рис.).

№6

Для нумерации страниц книги потребовалось всего 2019 цифры. Сколько страниц в книге?

6 класс

№1

Масса бочки с водой 32 кг, без воды – 2 кг. Какова масса бочки, наполненной наполовину водой?

№2

Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами – разные цифры.

№3

Выясните, делится ли данная сумма 1 + 2 + 3 + 4 + … + 2017 + 2018 + 2019 на 2019 нацело? Ответ объясните.

№4

Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.

№5

Какая часть квадрата закрашена (см.рис.)?

№6 (древнегреческая задача)

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

- Вот сколько, - ответил Пифагор. – половина изучает математику, четверть – природу, седьмая часть проводит в размышлении и, кроме того, есть еще три женщины.

Сколько всего учеников посещают школу Пифагора?        

7 класс

№1

При каких значениях с уравнение сх = 9: а) имеет корень, равный -9; 0; 0,2; б) не имеет корней; в) имеет положительные корни?

№2

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых не употребляется цифра 1?

№3

Участок под клубнику прямоугольной формы, длина которого в 3 раза больше ширины, окружен оградой, отстоящей от сторон участка на 2 м. Площадь, ограниченная оградой, на 128 м2 больше самого участка под клубнику. Определите длину участка под клубникой.

№4

Разрежьте треугольник, проведя 2 прямые линии, на 2 треугольника, 1 четырехугольник и 1 пятиугольник.

№5

Число а составляет 80% числа b, а число с составляет 140% числа b. Найдите числа a, b, с, если известно, что с больше а на 72.

№6

Найдите угол между часовой и минутной стрелкой в 7 часов 38 минут.

8 класс

№1

Упростите выражение:

№2

В треугольнике АВС проведены биссектрисы углов А и В, угол между ними равен 125⁰. Найдите градусную меру угла С.

№3

За весну пес Аргус потерял   своего веса. Затем за лето прибавил в весе  часть. За осень опять похудел на  веса, а за зиму вновь прибавил  веса. Похудел или поправился пес Аргус за прошедший год?

№4

Постройте график уравнения:  

№5

Натуральные числа р и т таковы, что 19р = 97т. Докажите, что р + т делится нацело на 116.

№6

По кругу расставлено 100 фишек. Двое играют в игру. За ход разрешается взять одну или две подряд идущие фишки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре, начинающий или партнер?

9 класс

№1

Решите уравнение:  

№2

При каких значениях b и с вершина параболы у = х2 + bх + с находится в точке К (-4; 7)?

№3

Равнобокая трапеция АВСР разбивается диагональю АС на два равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.

№4

Постройте график функции: .

№5

Докажите, что среди шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых между собой людей.

№6

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из его ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

10 класс

№1

Решите неравенство: (х2 – 4х)2 ≥ 16

№2

Известно, что   Вычислите:

№3

Последовательность а1, а2, а3, … задана первыми двумя членами а1 = 2, а2 = 3 и законом  (n = 1, 2, 3, …). Найдите а2019.

№4

Среди пяти внешне одинаковых монет 3 настоящие и две фальшивые, одинаковые по весу, но неизвестно, тяжелее или легче настоящих. Как за наименьшее число взвешиваний найти хотя бы одну настоящую монету?

№5

Длина сторона квадрата ABCD равна 6 см. Точка М удалена от каждой вершины на 17 см. Найдите расстояние от середины отрезка МА до середины каждой из сторон квадрата.

№6

Решите в целых числах уравнение х2 – 3ху +2у2 = 7.

11 класс

№1

Решите неравенство: log0,5(х + 1) – log0,5(х – 2) ≤ 1.

№2

Докажите, что - целое число и найдите его.

№3

АВСDA1B1C1D1 – куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани АВА1В1. Какую наименьшую длину может иметь путь паука по поверхности куба в вершину С?

№4

Разложите многочлен х8 + х4 + 1 на три множителя.

№5

Докажите, что если  А, В, С – углы треугольника, то справедливо тождество

№6

Представьте числа от 1 до 10 с помощью числа π, используя знаки арифметических действий, скобки, извлечение квадратного корня, а также символ функции [x] ([x] – целая часть числа х).

В школьных олимпиадах имеют право принимать участие все желающие.

Продолжительность школьной олимпиады рекомендуется:

в 5-6 кл. — 1-1,5 ч;

в 7-8кл. — 1,5-2 ч;

в 9-11 кл. — 2-3 ч.

Содержание

№1-2 - обычные задачи продвинутого уровня, аналогичные задачам из контрольных работ, а также и не изучаемые в школе, но которые должно решить большинство участников. Это необходимо, так как в школьной олимпиаде участвуют все желающие. А участник, не решивший ни одной задачи, теряет уверенность в своих силах, а иногда и интерес к математике.

№3-4 - задачи продвинутого уровня из контрольных работ, но с измененными условиями (задачи со «звездочками»).

№5-6 - задания уровня районных (городских) олимпиад.

Проверка заданий

Все задания оцениваются исходя из 5 баллов.

5 баллов ставится за верное решение;

4 балла - за верное решение с недочетами;

3 балла - решение в основных чертах верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки;

2 балла - решение в целом неверно, но содержит существенное продвижение в верном направлении;

1 балл - решение в целом неверно, но содержит незначительное продвижение в верном направлении;

0 баллов - решение неверно или отсутствует.

Решение считается неполным, если оно:

• содержит основные идеи, но не доведено до конца;

• при верной общей схеме рассуждений содержит пробелы, то есть явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными.