ПАРАБЕЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач"

Преподаватель математики и физики Кива М.Н.

Парабель – 2018

Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
• Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.
• Развивать логическое мышление, память, внимание, самостоятельность, коммуникативные навыки во время совместной работы

Результаты освоения УУД:

Личностные:способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности;

Регулятивные: умения определять и формулировать цель, проговаривать последовательность действий, оценивать правильность выполнения действий на уровне адекватной ретроспективной оценки, планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей, высказывать свое предположение;

Коммуникативные:умения оформлять свои мысли в устной форме, слушать и понимать речь других студентов;

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного), добывать новые знания.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

• Презентация;
• Мультимедийный проектор;
• Справочный материал с основными формулами и правилами.

План урока:

1. Мотивация к учебной деятельности.
2. Повторение полученных знаний: определение производной, геометрический смысл производной,  значение и применение производной.
3. Актуализация знаний.
4. Решение задач.
5. Проверка знаний: Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

(Слайд1)

1. Длина траектории за определенный промежуток времени. (Путь.)
2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости. (Ускорение.)
3. Одна из основных характеристик движения. (Скорость.)
4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа. (Лейбниц.)
5. Наука, изучающая общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения. (Физика.)
6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени. (Движение.)
7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики. (Ньютон.)
8. Что определяет положение тела в выбранной системе отсчета. (Координаты.)
9. Учение о движении и силах, вызывающих это движение. (Механика.)
10. Наука, изучающая методы и способы решения уравнений. (Алгебра.)
11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость. (Время.)

Сформулировать тему и  цели урока (Слайд 3).Изучение материала по данной теме урока имеет важное  значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных физических задач,  т.е. возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира. Дифференциальные исчисления тесно связаны с понятием производной.

2. Повторение полученных знаний: определение производной, геометрический смысл производной,  значение и применение производной.

Студентам предлагается рассмотреть  чертеж и дать определение производной функции, рассмотреть типовые задания на применение производной, ее геометрический смысл (Слайды4-6)

Что называется производной функции в точке?

Ответ: производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел отношенияприращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления. Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.  

В чем заключается геометрический смысл производной?

Ответ: Геометрический смысл производной заключается в следующем: если к графику функции y=f(x) в точке  xoможно провести касательную, не параллельную оси y , то

f′ (xo) выражает угловой         коэффициент касательной.

3. Актуализация знаний.

Перед тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики

 (Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске)

1. Что такое мгновенная скорость?
2. Что такое ускорение?
3. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t)=x0+vt
4. Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения s x(t) =vxt
5. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t)=x0+v0xt+axt2/2
6. Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения v x (t)= v0x + axt
7. Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s x(t) = v0xt+axt2/2

Повторив вопросы, студентырешают задачу по этой теме:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=-2+4t+3t.Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Выясняют, в чем состоит физический смысл производной.

Ответ:  Физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение. (Слайд 7-9)

Применение производной в физике очень обширно. Рассматривают несколько примеров применения производной в физических задачах.

Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Алгоритм нахождения скорости тела с помощью производной.

Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой-нибудь определенный момент времени надо:

1.Найти производную v = s '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Производная в электротехнике

В наших домах, на транспорте, на заводах : всюду работает электрический ток.

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

 Сила есть производная работы по перемещению,   т.е. F=A /(x)

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q/(t)

d(l)=m/(l) - линейная плотность

K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ/(t) - угловая скорость

а (t)= ω/(t) - угловое ускорение

N(t) = A/(t) – мощность  (слайды 10-12)

4. Решение задач.

На обычной классной доске решаются типичные базовые задачи (слайды 13-18),  используя (Слайды 10-12)  как справочный материал, дается  теоретическое обоснование способа решения.

Задача 1

Дано уравнение прямолинейного движения тела:

S=3t2-5t+2,  гдеS- путь, пройденный телом, м; t- время, с.

Найдите скорость тела в момент времени t=4 c.

Задача 2

Задача 3

Пусть q= 3t2 - 5t +8      - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время .

Найти силу тока в данный момент времени =3c.

Задача 4

Пусть дан неоднородный стержень длины,  масса неоднородного стержня меняется по закону: m=3x2 -5x +12.  

Найти  линейную плотность стержня в данной точке =4

Задача 5(экономический смысл производной)

Образец решения:

Выбрать оптимальный объем производстваN фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: F(q)  = q2 - 8q + 10.

Решение: Оптимальный объём производства есть производная от функции прибыли, т.е. N= F(q)

F'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4

При qextr = 4 → F'(q) < 0 и прибыль убывает

При q>qextr = 4 → F'(q) > 0 и прибыль возрастает

При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.

Задание:

Прибыль фирмы  задана  зависимостью:  F(q)  = 5q2 - 5q + 12.

Найти оптимальный объём производства N фирмы.

Решение задач фронтально со взаимопроверкой (слайд 19)

1. Тело движется по закону x(t)=2t3 -2,5t2 + 3t +1. Найти скорость тела при t=1c.
2. Тело движется по закону x(t)= 3t4 -3t3 + 4t + 2. Найти скорость тела при t=1с.
3. Заряд  q изменяется по закону  q(t)= 0,4t2/, найти силу тока при t=10c.
4. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону ϕ(t)= 0,3t2 – 0,5t + 0,4.  Найти угловую скорость при  t= 10с.
5. Температура тела   Т изменяется по закону Т(t)=4t3 -7t+4. Какова скорость изменения температуры при t=2с?

5.Проверка знаний. Самостоятельная работа.  

Самостоятельная работа по вариантам, совместная проверка, используя презентацию (слайд 20-21).

6. Подведение итогов (слайды 22-23)

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

Домашнее задание:карточки-задания.