Памятка к решению задач ЕГЭ по теме "Производная"
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке (тангенсу угла между касательной и осью Ох)

f’(хo) = k = tg α

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

V(t)=x’(t)

• Если f’(x) > 0 на промежутке, то функция f(x)  возрастает на этом  промежутке.

Если f’(x) < 0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке

• Если функция f(x)  возрастает на промежутке, то  f’(x) > 0 на этом  промежутке.

Если функция f(x) убывает на промежутке, то f’(x) < 0 на этом промежутке

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны

• Точка хo называется точкой максимума функции f(х), если  существует такая окрестность точки хo, что для всех х≠ хo из этой окрестности выполняется неравенство f(х) < f(хo).
• Точка хo называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки хo, что для всех х≠ хo из этой  окрестности выполняется неравенство f(х) > f(хo) = 0.
• Если хo – точка экстремума функции f(х), то f’(хo) = 0.

Пусть функция f(х) дифференцируема на интервале (a;b), хo Є (a; b)   и  f’(хo) = 0, то:

• при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то хo – точка максимума функции f(х);
• при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то хo – точка минимума функции f(х).

№

Задание

Что делать?

На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Найти тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс (отношение противолежащего катета к прилежащему катету).

На рисунке выделены точки на касательной, на которых как на гипотенузе надо достроить прямоугольный треугольник. Если α <900, то tg α >0,

если α >900, то tg α <0.

На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый на интервале (-10;2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Подсчитать количество точек экстремума(минимумы и максимумы)

На рисунке изображен график функции y=f(x), определённый на интервале (-1;12). Найдите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Подсчитать целые точки на промежутках убывания функции

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

x=-2, то f ↓ => f’ <0

x=-1, то f имеет экстремум =>f’=0

x=2, то f ↑ => f’ >0

x=3, то f ↓ => f’ <0

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), и отмечены семь точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8,х9 . В скольких из этих точек производная функции  f(x) отрицательна?

В скольких точках функция убывает

На рисунке изображен график функции y=f’(x ) – производной функции f(x), определённой на интервале (-6;5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Промежутки убывания функции =производная на данном графике отрицательна, т.е.расположена ниже оси Ох. Найти сумму целых точек.

На рисунке изображен график функции y=f’(x ) – производной функции f(x), определённой на интервале (-8;6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Промежутки возрастания функции =производная на данном графике положительна, т.е.расположена выше оси Ох. Записать длину большего промежутка

На рисунке изображены график функции y=f’(x ) – производной функции f(x) и семь точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7. В скольких из этих точек функция  f(x) возрастает?

Сосчитать количество точек, в которых производная на данном графике положительна

Прямая y=6x+9 параллельна касательной к графику функции y=x2+7х-6. Найдите абсциссу точки касания.

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны.

Найти производную функции (x2+7х-6)’=2x+7=kкас=6 

=>  x=-0,5

Прямая y=-9x+5 параллельна касательной к графику функции y=аx2+15х+11. Найдите a.

Найти производную функции (аx2+15х+11)’=2a+15= -9

=> a= -12

На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-9;3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y=2x-19 или совпадает с ней.

Провести горизонтальную прямую y=2 и сосчитать количество точек пересечения с графиком.

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-3;9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику f(x) параллельна прямой y=12.

Т.к. угловой коэффициент прямой y=12 равен 0, то считаем количество точек пересечения с осью Ох.

На рисунке изображен график производной функции y=f’(x). Найдите абсциссу точки, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или  совпадает ней.

Находим точку на графике y=f’(x), в которой у=0, т.е.точку пересечения данного графика с осью Ох => -3

На рисунке изображен график производной функции y=f’(x), определенной на интервале (-7;4). В какой точке отрезка

[-6;-1] функция f(x) принимает наибольшее значение?

На отрезке [-6;-1] производная положительна (лежит выше Ох)

=> функция возрастает, т.е. достигает наибольшего значения при наибольшем значении аргумента => -1 

Значит в х=-6 достигает наименьшего значения.

На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-7;4). Найдите точку максимума функции f(x).

Находим точку на оси Ох, в которой производная меняет свой знак с «+» на «-»

=> -1

На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-6;5). Найдите точку экстремума функции f(x), принадлежащую отрезку [-5;4].

Находим точку на оси Ох, в которой производная меняет свой знак =>  -2

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-5;7). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Считаем сумму «горбов и впадин» по оси Ох: -3 + (-1) +0+2+3+5+6=12

На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-10;8). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-9;6].

Находим точки на оси Ох, в которой производная меняет свой знак  с  «+» на «-»

=>  х= -4 и х=4 => 2

На рисунке изображён график y=f’(x) – производной функции f(x), определённой на интервале (-16;4). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку

[-14;2].

Считаем количество точек пересечения графика производной на рисунке с осью Ох => 5

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t2-3t-29, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3с.

V(t=3)=x’(t)=( t2-3t-29)’=

=2t-3=2*3-3=3

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=1/6t3-2t2-4t+39, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равной 38м/с.

V(t)=x’(t)=( 1/6t3-2t2-4t+39)’=

=1/6 *3t2-2*2t-4=0.5t-4t-4

Если V=38, то 0.5t2-4t-4=38

                        0.5t2-4t-4-38=0

                       t2-8t-84=0

Решая уравнение через D, находим t=14