Конспект урока по алгебре за 10 класс по теме: «Решение показательных уравнений»
план-конспект урока по математике (10 класс)

Конспект урока по алгебре за 10 класс по теме: «Решение показательных уравнений»

Цели урока:

образовательные

• научиться распознавать различные виды показательных уравнений;
• научиться решать показательные уравнения;
• научить применять различные методы решения показательных уравнений;

развивающие

• развивать навыки логического мышления;
• развивать навыки вычисления.

воспитательные

• воспитывать внимательность и аккуратность при решении показательных уравнений;
• воспитывать самостоятельность и устойчивый интерес к предмету.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Формы работы учащихся: фронтальный опрос.

Оборудование: –

Литература: «Алгебра 10-11», Учебник. Алимов Ш.А. и др.

(2012, 464с.)        

План урока:

Организационный момент (2 минуты);

Актуализация знаний (5 минут);

Решение задач (33 минуты);

Подведение итогов (3 минуты);

Домашнее задание (2 минуты).

Ход урока

Организационный момент (2 минуты).

Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.

Актуализация знаний (8 минут).

Учитель. На прошлых уроках мы познакомились с понятием показательной функции, научились решать показательные уравнения, так давайте вспомним, что называется показательной функцией?

Ученик. Показательной функцией называется функция y=ах, где а заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Учитель. Какова область определения функции y=0,3x?

Ученик. Область определения данной функции все действительные числа.

Учитель. Каково множество значения функции y=3x?

Ученик. Множество значений данной функции – действительные положительные числа.

Учитель. При каком условии показательная функция является возрастающей?

Ученик. Функция будет являться возрастающей, если а > 1.

Учитель. При каком условии показательная функция является убывающей?

Ученик. Функция будет являться убывающей, если 0 < а < 1.

Учитель. Возрастает или убывает функция у=0,5х и почему?

Ученик. Даная функция убывает, так как основание данной функции меньше единицы.

Учитель. Возрастает или убывает функция у=2х и почему?

Ученик. Даная функция возрастает, так как основание данной функции больше единицы.

Учитель. Определите при каком значении а функция у=ах проходит через точку А(1; 2)?

Ученик. Функция у=ах будет проходить через точку А(1; 2) при а = 2.

Учитель. Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?

Ученик. Приведение к одному основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной.

Решение задач (34 минут).

Учитель. Запишите в тетради число, классная работа, тема урока – решение показательных уравнений.

Запись на доске и в тетрадях:

Число

Классная работа

Решение показательных уравнений

Для начала поработаем устно. Обратите внимание на доску.

Записано на доске:

Учитель. В первом уравнении следует обратить внимание на то, что в левой части дана сумма степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями.

Ученик. Для решения первого примера необходимо вынести за скобки общий множитель 5х.

Учитель. Во втором уравнении, в левой части, в основании степени мы видим число 27, а в правой части в знаменателе 81. Степень какого числа будет равна 27 и 81?

Ученик. 27 равно 33, а 81 равно 34.

Учитель. Следовательно, каким способом стоит воспользоваться для решения этого уравнения?

Ученик. Для решения этого уравнения нужно привести обе части этого уравнения к одному основанию, 3.

Учитель. Каким способом решения лучше воспользоваться при решении третьего уравнения?

 Ученик. Для решения третьего уравнения необходимо ввести новую переменную.

Учитель. Почему?

Ученик. Потому что, 9х можно представить как 32х, а 3х+1 как 3*3х. После этого можно ввести переменную t = 3х, тогда уравнение примет вид квадратного:  t2 + 3*t = 54.

Учитель. Правильно. Каким способом решается 4-е уравнение? И почему?

Ученик. Четвертое уравнение решается введение новой переменной, так как оно аналогично предыдущему уравнению, за исключением того, что t = 2х.

Учитель. Как будем решать уравнение под номером 5?

Если ученики затрудняются ответить.

Учитель. В левой части мы видим произведение двух чисел: 36  и 2163х+1. 216 достаточно большое число, возможно его можно представить как квадрат или куб другого числа?

Ученик. Да, 216 это 63.

Учитель. Очень удачно, ведь 36 тоже можно представить как 62. Таким образом в левой части у нас получается произведение степеней с одинаковым основанием, но в правой части уравнения у нас 1. Что если поделить обе части на 62?

Ученик. Если поделить обе части на 62 то в правой части у нас останется 69х+3, а в правой 1/62. 1/62 в свою очередь можно представить в виде 6-2, а значит, данное уравнение можно решить при помощи приведения к одному основанию.

Учитель. Верно. К какому виду относится уравнение под номером 6?

Ученик. К показательным уравнениям решаемым при помощи введения новой переменной.

Учитель. Но ведь нам дано 32х+1, а не 32х.

Ученик. 32х+1 можно представить как 3*32х. тогда если 3х обозначить за t, то уравнение примет вид 3*t2 – 8*t = 3.

Учитель. Правильно. Каким способом решается 7 уравнение?

Ученик. Вынесением общего множителя 3х за скобки.

Учитель. Как решается уравнение под номером 8?

Ученик. 8 уравнение решается при помощи введения новой переменной t = 4х.

Учитель. Правильно. Теперь поработаем письменно. Нам необходимо решить №210-216 (нечетные).

Записано на доске:

№210-216 (нечетные).

Учитель. Прочитайте первый пример.

Ученик. 3*9х=81

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81;

Учитель. Обратите внимание на правую часть уравнения, она очень похожа на общий вид показательной функции, единственное отличие это 3. Как нам представить данное уравнение в более привычном виде?

Ученик. Нужно обе части уравнения поделить на 3.

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

Учитель. Какой вид примет наше уравнение?

Ученик. Тогда наше уравнение примет вид 9х=27

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

Учитель. Обратите внимание на полученное уравнение. Мы не знаем в какую степень нужно возвести 9 чтобы получить 27, но мы знаем что 9 и 27 это степени 3. Следовательно как мы можем преобразовать наше выражение?

Ученик. 9 можно представить как 32, а 27 – как 33.

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

(32)х=33;

Учитель. В левой части нашего уравнения получилась степень в степени, каким свойством здесь необходимо воспользоваться?

Ученик. Свойством степени.

Учитель. Какой вид примет наше выражение?

Ученик. Выражение примет вид 32х=33

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

(32)х=33;

32х=33;

Учитель. В левой и правой части нашего уравнения мы получили степени с одинаковым основанием, как можно преобразовать полученное уравнение?

Ученик. Так как в левой и правой части нашего уравнения степени с одинаковым основанием, то мы можем приравнять показатели этих степеней.

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

(32)х=33;

32х=33;

2х=3;

Учитель. Мы получили линейное уравнение. Что нужно сделать, чтобы найти его корень?

Ученик. Для того чтобы найти х нужно обе части уравнения поделить на 2.

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

(32)х=33;

32х=33;

2х=3|:2;

Учитель. Чему будет равен х?

Ученик. х будет равен 3/2. Или 1,5

Запись на доске и в тетрадях:

3*9х=81|:3;

9х=27;

(32)х=33;

32х=33;

2х=3|:2;

х=3/2=1,5.

Учитель. Правильно. Решим следующий пример.

Ученик. 3х+1/2 * 3х-2 = 1.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

Учитель. Обратите внимание на левую часть уравнения. Как найти произведение степеней с одинаковым основанием.

Ученик. Для того что бы перемножить степени с одинаковым основанием, но разными показателями, необходимо основание оставить без изменений, а показатели сложить.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

Учитель. Необходимо упростить показатель степени. Что для этого нужно сделать?

Ученик. Чтобы упростить показатель степени, нужно привести в нем подобные одночлены.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

32х-3/2 = 1;

Учитель. Обратите внимание на правую часть уравнения. Как ее можно преобразовать и почему?

Ученик. Вместо 1 можно написать 30, так как какое бы число мы не возводили в нулевую степень, получится 1.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

32х-3/2 = 1;

32х-3/2 = 30;

Учитель. В левой и правой части нашего уравнения мы получили степени с одинаковым основанием, как можно преобразовать полученное уравнение?

Ученик. Так как в левой и правой части нашего уравнения степени с одинаковым основанием, то мы можем приравнять показатели этих степеней.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

32х-3/2 = 1;

32х-3/2 = 30;

2х-3/2=0;

Учитель. Мы получили линейное уравнение. Что нужно сделать, чтобы найти его корень?

Ученик. Для того чтобы найти х нужно все известные члены многочлена перенести в одну сторону,  а неизвестные – в другую, и обе части уравнения поделить на 2.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

32х-3/2 = 1;

32х-3/2 = 30;

2х-3/2=0;

2х = 3/2|:2;

Учитель. Чему будет равен х?

Ученик. х будет равен 3/4. Или 0,75.

Запись на доске и в тетрадях:

3х+1/2 * 3х-2 = 1;

3х+1/2+х-2 = 1;

32х-3/2 = 1;

32х-3/2 = 30;

2х-3/2=0;

2х = 3/2|:2;

х=3/4=0,75.

Учитель. Правильно. Решим следующий пример.

Следующие примеры решаются по аналогии.

Подведение итогов (2 минуты).

Учитель. Сегодня мы с вами продолжили решать показательные уравнения. Какие основные способы их решения мы с вами использовали?

Ученик. Для решения показательных уравнений мы применяли способы:

1. вынесения общего множителя за скобки;
2. приведения обеих частей уравнения к одинаковому основанию;
3. введения новой переменной, и сведению показательного уравнения к решению квадратного уравнения.

Домашнее задание (2 минуты).

Учитель. Дома вам необходимо повторить параграф 12, решить №217-219 (нечетные).

Запись на доске и в дневниках:

Параграф 12,  №217-219 (нечетные).

Учитель. Урок окончен, можете быть свободны.