Дифференциальные уравнения
статья по математике (10 класс)

Теория

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение , где  - независимые переменные,  - функция и  - частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Дифференциальное уравнение в частных производных – это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Степень дифференциального уравнения – это показатель степени, в которую возведена производная самого высокого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Виды:

• Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Примеры:; ; .

• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида  или . Уравнения вида  называют уравнениями с разделенными переменными.
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка  .

Примеры: ; .

• Дифференциальное уравнение Бернулли .

Примеры: , .

• Уравнения в полных дифференциалах .

Если для любых значений х и у выполняется , то того условия необходимо и достаточно, чтобы выражение  представляло собой полный дифференциал некоторой функции , то есть . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции  по ее полному дифференциалу.

 Дифференциальные уравнения второго порядка. Виды:

• Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами , .
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами , .
• Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка (ЛОДУ).
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка (ЛНДУ) .

Дифференциальные уравнения высших порядков. Виды:

• Дифференциальные уравнения, которые допускают понижение порядка.
• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами ; .
• Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков ; .

Задания

1. Решите уравнение: .
2. Решите уравнение: .
3. Решите уравнение: .
4. Решите уравнение: .
5. Решите уравнение: .
6. Решите уравнение: .
7. Решите уравнение: .
8. Решите уравнение: .
9. Решите уравнение: .
10. Решите уравнение: .
11. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

12. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

13. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

14. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Задания для самостоятельного решения:

1. Решите уравнение: .
2. Решите уравнение: .
3. Решите уравнение: .
4. Решите уравнение: .
5. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Решение заданий

1. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

2. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

3. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

4. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

5. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

6. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

7. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

8. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

Ответ: .

9. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

Ответ: .

10. Решите уравнение: .

Решение:

;

;

;

;

;

Ответ: .

11. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ: 4.

12. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ: 3.

13. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ:

14. Выясните, какая из предложенных функций является решением дифференциального уравнения .

Решение:

Ответ: 2.