Использование дифференциальных уравнений в естествознании
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Использование дифференциальных уравнений в естествознании. Цель работы : изучить линейные дифференциальные уравнения показательного роста и гармонических колебаний в естествознании. Задачи : - применение уравнений для изучения радиоактивного распада;

Слайд 2

Уравнение показательного роста. Уравнение показательного роста имеет следующий смысл: для каждого значения аргумента скорость изменения функции пропорциональна значению этой функции. При решении задач надо сначала составить дифференциальное уравнение, указать (исходя из условий задачи) начальное условие, а затем решить уравнение. При составлении уравнения обычно используют известные из курсов химии и физики законы.

Слайд 3

З а д а ч а. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 км/ч. На полном ходу её мотор выключен; через 4 с.её скорость стала 1 м/с. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определить, через сколько секунд после выключения мотора скорость уменьшится до 4 см/с. Р е ш е н и е. Будем считать, что лодка движется прямолинейно. Направим ось Ох вдоль движения лодки. Обозначим через скорость движения лодки в момент времени после выключения мотора. В момент выключения мотора скорость, по условию, равна 5 м/с, т.е. Это начальное условие задачи. Составим дифференциальное уравнение. По условию, на движущуюся лодку действует сила , где (знак минус указывает на то, что сила воды направлена против скорости движения лодки). Подставив значение в уравнение и положив , получим дифференциальное уравнение

Слайд 4

Радиоактивный распад . Из физики известно, что количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся в единицу времени, составляет постоянную часть от количества нераспавшихся атомов. Для каждого вида радиоактивного вещества эта постоянная часть своя, она называется постоянной распада и обозначается через λ. Другими словами: скорость распада атомов радиоактивного вещества пропорциональна наличному количеству нераспавшихся атомов. Так с течением времени количество нераспавшихся атомов уменьшается, то и производная отрицательна. Учитывая связь между числом ядер и массой радиоактивного вещества, будем говорить просто о распаде радиоактивного вещества.

Слайд 5

Поглощение света. При прохождении света через воду (или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды перпендикулярно к ней падает свет с интенсивностью. Производная –скорость поглощения света на глубине . Из оптики известно, что для таких сред как вода или стекло, скорость поглощения света на глубине пропорциональна интенсивности света на этой глубине. Так как интенсивность света с увеличением глубины уменьшается, то производная отрицательна.

Слайд 6

З а д а ч а. Десятиметровый слой воды поглощает 40% падающего на её поверхность света. На какой глубине дневной свет будет по яркости таким же, как лунный свет на поверхности воды, если яркость лунного света составляет яркости дневного света?

Слайд 7

Концентрация раствора. Зада ч а. Имеется сосуд ёмкостью л, наполненный водным раствором соли. В сосуд вливается вода со скоростью л в минуту, перемешивается, и получающийся раствор однородной концентрации вытекает из с сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет содержаться в растворе в момент времени , если в начальный момент её было в растворе кг? Вычислить ответ, если 100 л, 3 л в мин , 1 ч.

Слайд 8

Охлаждение тела . Нагретое тело, погружённое в среду с более низкой температурой, будет охлаждаться, при этом скорость охлаждения с течением времени уменьшается. Как известно, скорость охлаждения поверхности тела в любой её точке пропорциональна разности температур поверхности тела и окружающей среды. З а д а ч а. Металлическая деталь, нагретая до , охлаждается в воздухе при температуре . Через 10 мин после начала охлаждения температура на поверхности детали понизилась до . Какой будет температура на поверхности детали через 20 мин?

Слайд 9

Простейшие электрические цепи. Если в замкнутую электрическую цепь последовательно включены источник тока с электродвижущей силой (э.д.с.) В, активное сопротивление Ом, катушка с индуктивностью Г и конденсатор ёмкости Ф , то, как известно из электротехники, между э.д.с и напряжениями на активном сопротивлении , катушке индуктивности в конденсаторе в любой момент времени с уществует такая зависимость:

Слайд 10

Падение тел. При падении тел в пустоте движения происходит прямолинейно под действием силы тяжести. При падении тел в воздухе движение можно также считать прямолинейным, происходящем под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха, направленной вверх.

Слайд 11

Колебательный контур. Колебательным контуром называют электрическую цепь, которая состоит из конденсатора и катушки, присоединённой к обкладкам конденсатора. Если конденсатор присоединить к батарее, то его пластины получат некоторый заряд и на его обкладках возникает разность потенциалов. После присоединения заряженного таким образом конденсатора к катушке он начнёт разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Однако сила тока благодаря явлению самоиндукции будет увеличиваться постепенно. И достигнет своего наибольшего значения, когда конденсатор полностью разрядится. При этом в силу явления самоиндукции ток исчезнет не сразу. Постепенное уменьшение силы тока вызовет перезарядку обкладок конденсатора. Когда ток исчезнет, обкладки конденсатора окажутся презаряженными, система вернётся в исходное состояние и процесс пойдёт в обратном направлении. Возникнут электрические колебания.

Слайд 12

Заключение. В своей работе я исследовала качественно различные физические явления, при исследовании которых приходится решать аналогичные дифференциальные уравнения первого или второго порядка. Это обстоятельство имеет не только философское значение, подтверждая единство природы, и не только естественнонаучное значение, подчёркивая силу математических методов в естествознании. Оно имеет и большое практическое значение. Аналогичность дифференциальных уравнений, относящихся к различным явлениям жизни, привела к важному методу решения практических задач - методу математического моделирования . Дифференциальное уравнение, возникшее при рассмотрении какой-нибудь технической задачи, моделируют , например, электрическим прибором, т.е. конструируют такой электроприбор, работа которого описывается тем же дифференциальным уравнением, что и технический объект.