урок "Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши"
методическая разработка по алгебре по теме

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задача Коши.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

Цели урока:

-  помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

-  помочь овладеть методами решения ДУ;

-  отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

   порядка;

-  развить логическое мышление студентов;

-  развивать творческие способности студентов:

-  побудить интерес к изучаемому предмету.

Задачи урока

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

Средства обучения:

1. дидактический материал;
2. проектор;
3. презентация.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Коррекция пройденного материала.
3. Актуализация знаний.
4. Объяснение нового материала.
5. Закрепление изученного материала.
6. Информация о  домашнем задании.
7. Подведение итогов.

Ход урока:

1. Организационный момент:

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы , были выделены следующие типичные ошибки ( показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты ( объявить оценки за сам. работу).

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

      (3х)'=…          (х3)'=…     (6х2)'=…     (х+5)'=…  (5х-4)'=…   (2sinx)'=…

(е2х)'=…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

     У=3х+4

     У=6-7х

в) Чему равен  угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х0? ( ответ: производной функции при х0)

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F'dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а)  ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

в)  ().

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

 Совершенно секретно

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у'=2х.

Подозреваю функцию  . Cherchez la femme! Майор Пронин.

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ).

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

 Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

 В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

 Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

 В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и  Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то  уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две  или больше , то уравнение называется в частных производных.

         Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

Примеры:

ху'+у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

- обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у'''-2у=х- обыкновенное диф. уравнение  третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример:                                                                                    ,                                                                                     ,                                                                                                                 -                                                                                                                       общее      решение                                                                                                                

При х= 2, у=5, тогда 5=, 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

                                                                     - частное решение.

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

1. разделить сначала переменные;
2. проинтегрировать обе части полученного равенства.

Рассмотрим пример:

1)

Общее решение.

2) ,  

                                         ,             ,

       ,

-общее решение

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С2/(-3), тогда С2=9.

Частное решение имеет вид: .

3)

5.Закрепление:

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

1. у'=4х3.Найти общее решение.( ответ: у=х4+С)
2. (ответ: )

Найти частные решения ДУ:

3. ,  при  х=, у=3(ответ: y=tgx+2)
4. , при х=0, у=1 ( ответ: )
5. , ,

  общее решение.

6. Найти частное решение ДУ .

общее решение.

тогда у=2sinx-1- частное решение.

Дополнительно:

1.           , при х=π, у=0     . Ответ:

2.Ответ: у=х2+4

3. ,х=2,у=-4. ответ:

Практическое приложение ДУ.

Мини-КВН:

-Откуда берутся ОДУ?

- Из задачников.

-А откуда берут их авторы задачников?

- С потолка или из пальца!

К сожалению, такое тоже бывает, но это не типично. Основным поставщиком ДУ для математиков является практика.

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

, .

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль  за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Решение:

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

Отсюда:

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно  k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Решение:

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .

При  t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

При t=4, Q==5,7гр.

Ответ: 5,7гр.

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

Решить уравнения:1.

2.

3.

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Практические задания

Найти общее решение ОДУ:

1.у'=4х3

2.

Найти частное решение ОДУ:

3. при  х=, у=3

4. при х=0, у=1

Дополнительно:

1.           , при х=π, у=0     .

2.

3. ,х=2,у=-4.

Задание на дом:

Решить уравнения:1.

2.

3.

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

Практические задания

Найти общее решение ОДУ:

1.у'=4х3

2.

Найти частное решение ОДУ:

3. при  х=, у=3

4. при х=0, у=1

Дополнительно:

1.           , при х=π, у=0     .

2.

3. ,х=2,у=-4.

Задание на дом:

Решить уравнения:1.

2.

3.

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

Задачи

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль  за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Задачи

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль  за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Задачи

Задача №1

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Задача №2

Определить путь , который пройдет автомобиль  за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

Задача №3

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ

Методическая разработка

открытого урока

по дисциплине «Математика»

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задача Коши.

Для специальностей: 190604 «Техническое обслуживание и ремонт

 автомобилей на транспорте»

                                                                         190701 «Организация грузовых перевозок на

автомобильном транспорте»

                                                                         080110 «Экономика и бухгалтерский учет на

транспорте (по видам)»

Брянск,2010г.

РЕЦЕНЗИЯ

на методическую разработку  открытого урока по дисциплине «Математика» по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши», разработанного преподавателем  математики Жуковой Н.В.

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура  урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

 В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту  и роли в математике.

 На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что  повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

 Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

  К  разработке  данного урока преподаватель подошел с творчеством.  Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

  Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.  

Рецензент: Немцова З.Н.- преподаватель математики Брянского автотранспортного

                                                              техникума.

РЕЦЕНЗИЯ

на методическую разработку  открытого урока по дисциплине «Математика» по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши», разработанного преподавателем  математики Жуковой Н.В.

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура  урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

 В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту  и роли в математике.

 На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что  повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

 Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

  К  разработке  данного урока преподаватель подошел с творчеством.  Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

  Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.  

Рецензент: Толстенок И.Л.- преподаватель математики Брянского торгово-экономического

                                                              техникума.